অধ্যায়-১০: দ্বিপদী বিস্তৃতি

এসএসসি · উচ্চতর গণিত

অধ্যায়-১০: দ্বিপদী বিস্তৃতি - উচ্চতর গণিত বহুনির্বাচনি ও বোর্ড সমাধান

২৮টি প্রশ্ন রয়েছে। নিচে কয়েকটি নমুনা দেখো; সব প্রশ্ন, উত্তর ও ব্যাখ্যা পেতে সাবস্ক্রাইব করো।

১. $\frac{1}{4}, \frac{2}{7}, \frac{1}{4}, \frac{4}{19}, \ldots \ldots$. অনুক্রমটির সাধারণ পদ কোনটি?
  1. ক
    $\frac{n}{n+3}$
  2. খ
    $\frac{n}{2 n+2}$
  3. গ
    $\frac{n}{3 n^2+1}$
  4. $\frac{n}{n^2+3}$
ব্যাখ্যা
প্রশ্নটি উচ্চতর গণিতের 'অধ্যায়-১০: দ্বিপদী বিস্তার' অধ্যায়ের গাণিতিক সূত্রাবলি ও প্রতিপাদনের ভিত্তিতে সংকলিত। সঠিক উত্তর: '$\frac{n}{n^2+3}$'।
২. $(a+b)^5$ এর বিস্তৃতিতে দ্বিপদী সহগগুলো হল-
  1. ক
    $1,5,10,5,1$
  2. খ
    $1,5,5,10,1$
  3. গ
    $1,5,5,10,10,1$
  4. $1,5,10,10,5,1$
ব্যাখ্যা
প্রশ্নটি উচ্চতর গণিতের 'অধ্যায়-১০: দ্বিপদী বিস্তার' অধ্যায়ের গাণিতিক সূত্রাবলি ও প্রতিপাদনের ভিত্তিতে সংকলিত। সঠিক উত্তর: '$1,5,10,10,5,1$'।
৩.

$0, 1, 0, 1, \cdots\cdots\cdots$ অনুক্রমটির—

i. $12$ তম পদ $1$

ii. প্রথম $9$ পদের সমষ্টি $5$

iii. সাধারণ পদ $\frac{1 + (-1)^n}{2}$
নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    i ও ii
  2. i ও iii
  3. গ
    ii ও iii
  4. ঘ
    i, ii ও iii
ব্যাখ্যা
প্রশ্নটি উচ্চতর গণিতের 'অধ্যায়-১০: দ্বিপদী বিস্তার' অধ্যায়ের গাণিতিক সূত্রাবলি ও প্রতিপাদনের ভিত্তিতে সংকলিত। সঠিক উত্তর: 'i ও iii'।
$p=(a+bx)^{n}$ একটি দ্বিপদী রাশি এবং $Q=p^{-1}$ একটি গুণোত্তর ধারার $n$ তম পদ।
৪. $1, \frac{4}{3}, \frac{9}{5}, \frac{16}{7}, \ldots$ অনুক্রমটির সাধারণ পদ নির্ণয় করো।
যদি $b=-\frac{1}{3}, n=7$ এবং $p=r-1701 x+mx^2+\ldots$ হয়, তাহলে $a, m$ ও $r$ এর মান নির্ণয় করো।
যদি $a=3$ এবং $b=2$ হয়, তাহলে $x$ এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে ধারাটি অসীমতক সমষ্টি থাকবে তা নির্ণয় করে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করো।
সমাধান ও উত্তর
(ক)

অনুক্রমটি,

$1,\frac{4}{3},\frac{9}{5},\frac{16}{7},\cdots$

লবগুলো 1², 2², 3², 4², ... এবং হরগুলো 1, 3, 5, 7, ...

অতএব n-তম পদের লব n² এবং হর 2n − 1

সুতরাং সাধারণ পদ,

$a_n=\frac{n²}{2n-1}$
(খ)

দেওয়া আছে,

$p=\left(a-\frac{x}{3}\right)^7$

দ্বিপদী বিস্তৃতির প্রথম তিনটি পদ,

$p=a⁷+7a⁶\left(-\frac{x}{3}\right)+\binom{7}{2}a⁵\left(-\frac{x}{3}\right)²+\cdots$

$=a⁷-\frac{7a⁶}{3}x+\frac{7a⁵}{3}x²+\cdots$

আবার,

p = r − 1701x + mx² + ⋯

সহগ তুলনা করে পাই,

$-\frac{7a⁶}{3}=-1701$

a⁶ = 729

a = 3 অথবা −3

যদি a = 3 হয়, তবে

$r=a⁷=2187$

$m=\frac{7a⁵}{3}=567$

যদি a = −3 হয়, তবে

r = −2187

m = −567

অতএব (a, m, r) = (3, 567, 2187) অথবা (−3, −567, −2187)

শুধু প্রথম মানটি পেতে a > 0 শর্তটি প্রয়োজন
(গ)

a = 3 এবং b = 2 হলে,

$p=(3+2x)^n$

প্রশ্নের বর্ণনা অনুযায়ী গুণোত্তর ধারার n-তম পদ,

$T_n=p^{-1}$

$=(3+2x)^{-n}$

তাই প্রথম পদ ও সাধারণ অনুপাত উভয়ই,

$r=\frac{1}{3+2x}$

অসীমতক সমষ্টি থাকার শর্ত,

$\left|\frac{1}{3+2x}\right|<1$

$|3+2x|>1$

অতএব x > −1 অথবা x < −2

এখন,

$S_\infty=\frac{\frac{1}{3+2x}}{1-\frac{1}{3+2x}}$

$=\frac{1}{2x+2}$

$=\frac{1}{2(x+1)}$

অতএব x > −1 অথবা x < −2 হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি $\frac{1}{2(x+1)}$

অধ্যায়-১০: দ্বিপদী বিস্তৃতি আনলক করো

এই অধ্যায়টি প্রিমিয়াম প্যাকেজের অন্তর্ভুক্ত। সব প্রশ্ন অনুশীলন করতে সাবস্ক্রাইব করো।
প্যাকেজ দেখো লগইন