অধ্যায়-৪: জ্যামিতিক অঙ্কন - উচ্চতর গণিত বহুনির্বাচনি ও বোর্ড সমাধান

সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 12 সেমি বলে প্রতিটি বাহু 4 সেমি

প্রতিটি মধ্যমার দৈর্ঘ্য = √(4²-2²) = 2√3 সেমি

অতএব তিনটি মধ্যমার সমষ্টি = 6√3 সেমি

বিশেষ নির্বচন:

PQRS একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এবং PR ও QS এর কর্ণ

প্রমাণ করতে হবে, PR×QS = PQ×SR+PS×QR

অঙ্কন:

PR-এর উপর K বিন্দু এমনভাবে নিই যেন ∠PQK = ∠RQS এবং QK যোগ করি

প্রমাণ:

বৃত্তস্থ কোণের ধর্ম ও অঙ্কন অনুসারে ∆PQK ~ ∆RQS

অতএব,

PK×QS = PQ×SR ...(1)

একইভাবে ∆QKR ~ ∆QPS

অতএব,

KR×QS = QR×PS ...(2)

(1) ও (2) যোগ করে পাই,

(PK+KR)×QS = PQ×SR+PS×QR

যেহেতু PK+KR = PR, তাই

PR×QS = PQ×SR+PS×QR

বিশেষ নির্বচন:

∆QPS-এ PT হলো ∠QPS-এর সমদ্বিখণ্ডক এবং T বিন্দু QS-এর উপর

প্রমাণ করতে হবে, PT² = PQ×PS-QT×TS

প্রমাণ:

ধরি, PQ = c, PS = b, QT = m, TS = n এবং PT = d

কোণদ্বিখণ্ডক উপপাদ্যে,

m/n = c/b

=> bm = cn ...(1)

∆QPS-এ PT cevian-এর জন্য Stewart-এর উপপাদ্যে,

b²m+c²n = (m+n)(d²+mn)

(1) ব্যবহার করে বামপক্ষ,

b²m+c²n = bc(m+n)

অতএব,

bc(m+n) = (m+n)(d²+mn)

=> d² = bc-mn

সুতরাং, PT² = PQ×PS-QT×TS

চিত্রে PF ⟂ CD, তাই ∆PFD সমকোণী

PD = 3 সেমি এবং PF = 1 সেমি

পিথাগোরাসের উপপাদ্যে,

FD = √(PD²-PF²)

= √(3²-1²)

= 2√2 সেমি

অতএব CD-এর উপর PD-এর লম্ব অভিক্ষেপের মান 2√2 সেমি

বিশেষ নির্বচন:

বৃত্তস্থ ABCD চতুর্ভুজের কর্ণ AC ও BD পরস্পরকে P বিন্দুতে লম্বভাবে ছেদ করে

E, P ও F সমরেখ এবং PF ⟂ CD

প্রমাণ করতে হবে, AE = BE

অঙ্কন:

P-কে মূলবিন্দু, BD-কে x-অক্ষ এবং AC-কে y-অক্ষ ধরি

প্রমাণ:

ধরি, A = (0,a), B = (-b,0), C = (0,-c) এবং D = (3,0)

ছেদকারী জ্যার উপপাদ্যে,

AP×PC = BP×PD

=> ac = 3b ...(1)

CD রেখার সমীকরণ cx-3y-3c = 0

P থেকে CD-এর দূরত্ব PF = 1 বলে,

3c/√(c²+9) = 1

=> c = 3/(2√2)

(1) থেকে b = a/(2√2)

AB-এর মধ্যবিন্দু M = (-b/2,a/2) = (-a/(4√2),a/2)

CD-এর উপর P থেকে অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ y = -2√2x

M-এর স্থানাঙ্ক এই সমীকরণ সিদ্ধ করে

অতএব M বিন্দুই E

সুতরাং E হলো AB-এর মধ্যবিন্দু এবং AE = BE

বিশেষ নির্বচন:

O কেন্দ্রবিশিষ্ট নির্দিষ্ট বৃত্তের P বিন্দুতে স্পর্শকারী এবং বহিঃস্থ Q বিন্দুগামী একটি বৃত্ত আঁকতে হবে

অঙ্কন:

1. OP ও PQ যোগ করি

2. PQ-এর লম্বদ্বিখণ্ডক আঁকি

3. লম্বদ্বিখণ্ডকটি OP সরলরেখাকে C বিন্দুতে ছেদ করে

4. C কেন্দ্র এবং CP ব্যাসার্ধে বৃত্ত আঁকি

প্রমাণ:

C বিন্দু PQ-এর লম্বদ্বিখণ্ডকের উপর বলে CP = CQ

তাই বৃত্তটি P ও Q দিয়ে যায়

O, P ও C সমরেখ বলে বৃত্তদ্বয় P বিন্দুতে পরস্পরকে স্পর্শ করে

বিশেষ নির্বচন:

ধরা যাক, নির্দিষ্ট বিন্দু দুটি A ও B এবং নির্দিষ্ট সরলরেখা ℓ

অঙ্কন:

1. A ও B কেন্দ্র করে সমান ব্যাসার্ধে দুই জোড়া বৃত্তচাপ এঁকে তাদের ছেদবিন্দু U ও V নির্ণয় করি

2. U ও V যোগ করে AB-এর লম্বদ্বিখণ্ডক আঁকি

3. লম্বদ্বিখণ্ডকটি ℓ-কে O বিন্দুতে ছেদ করে

4. O কেন্দ্র এবং OA ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি

প্রমাণ:

O বিন্দু AB-এর লম্বদ্বিখণ্ডকের উপর অবস্থিত বলে OA = OB

তাই O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি A ও B উভয় বিন্দু দিয়ে যায় এবং এর কেন্দ্র নির্দিষ্ট সরলরেখা ℓ-এর উপর অবস্থিত

বিশেষ নির্বচন:

MNOP একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এবং এর কর্ণদ্বয় MO ও NP

প্রমাণ করতে হবে,

MO×NP = MN×OP + MP×ON

অঙ্কন:

MO কর্ণের উপর K বিন্দু এমনভাবে নিই যেন ∠MNK = ∠ONP এবং NK যোগ করি

প্রমাণ:

∠NMK = ∠NPO, কারণ উভয় কোণ একই NO চাপের উপর দণ্ডায়মান

আবার, ∠MNK = ∠ONP

সুতরাং, ΔMNK ~ ΔPNO

=> MK/OP = MN/NP

=> MK×NP = MN×OP ...(1)

এখন, ∠NOK = ∠NMP, কারণ উভয় কোণ একই NP চাপের উপর দণ্ডায়মান

আবার, ∠ONK = ∠NPM

সুতরাং, ΔNOK ~ ΔNMP

=> OK/MP = ON/NP

=> OK×NP = ON×MP ...(2)

(1) ও (2) যোগ করে পাই,

(MK+OK)×NP = MN×OP + ON×MP

যেহেতু MK+OK = MO, তাই

MO×NP = MN×OP + MP×ON

T বিন্দুকে মূলবিন্দু ধরে ধরি,

M, N ও P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে m, n ও -n

কারণ T হলো NP-এর মধ্যবিন্দু

তাহলে,

MN² = |n-m|²

MP² = |-n-m|² = |n+m|²

সুতরাং,

MN²+MP²

= |n-m|²+|n+m|²

= (n-m)·(n-m)+(n+m)·(n+m)

= 2|m|²+2|n|²

= 2(MT²+NT²)

অতএব, MN²+MP² = 2(MT²+NT²)

বিশেষ নির্বচন:

O কেন্দ্রবিশিষ্ট নির্দিষ্ট বৃত্তের P বিন্দুতে স্পর্শকারী এবং বহিঃস্থ Q বিন্দুগামী একটি বৃত্ত আঁকতে হবে

অঙ্কন:

1. OP ও PQ যোগ করি

2. PQ-এর লম্বদ্বিখণ্ডক আঁকি

3. লম্বদ্বিখণ্ডকটি OP সরলরেখাকে C বিন্দুতে ছেদ করে

4. C কেন্দ্র এবং CP ব্যাসার্ধে বৃত্ত আঁকি

প্রমাণ:

C বিন্দু PQ-এর লম্বদ্বিখণ্ডকের উপর বলে CP = CQ

তাই বৃত্তটি P ও Q বিন্দু দিয়ে যায়

আবার O, P ও C সমরেখ বলে P বিন্দুতে বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধ একই সরলরেখায় অবস্থিত

অতএব বৃত্তদ্বয় P বিন্দুতে পরস্পরকে স্পর্শ করে

বিশেষ নির্বচন:

∆PQR-এ PD হলো QR বাহুর মধ্যমা, তাই QD = RD

প্রমাণ করতে হবে, PQ²+PR² = 2(QD²+PD²)

অঙ্কন:

P থেকে QR-এর উপর PL লম্ব আঁকি

প্রমাণ:

সমকোণী ∆PQL ও ∆PRL থেকে,

PQ² = PL²+QL² এবং PR² = PL²+RL²

যেহেতু QD = RD, তাই QL = QD-DL এবং RL = RD+DL

অতএব,

PQ²+PR²

= 2PL²+(QD-DL)²+(QD+DL)²

= 2PL²+2QD²+2DL²

= 2(PL²+DL²)+2QD²

সমকোণী ∆PDL থেকে PD² = PL²+DL²

সুতরাং, PQ²+PR² = 2(QD²+PD²)

পরিকেন্দ্র S-কে মূলবিন্দু ধরে P, Q ও R-এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে p, q ও r ধরি

তাহলে |p| = |q| = |r|

ধরি, h = p+q+r

এখন,

(h-p)·(q-r) = (q+r)·(q-r) = |q|²-|r|² = 0

অতএব h বিন্দুগামী রেখা PQ-এর উপর অঙ্কিত লম্বের উপর অবস্থিত

একইভাবে h অন্য দুইটি লম্বের উপরও অবস্থিত

তাই h হলো লম্ববিন্দু O-এর অবস্থান ভেক্টর

আবার ভরকেন্দ্র G-এর অবস্থান ভেক্টর,

g = (p+q+r)/3 = h/3

অতএব S, G ও O-এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 0, h/3 ও h

সুতরাং S, G ও O একই সরলরেখায় অবস্থিত