অধ্যায়-৯: সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন - উচ্চতর গণিত বহুনির্বাচনি ও বোর্ড সমাধান

বাস্তব ঘাতের জন্য x > 0

দেওয়া আছে,

$x^x\sqrt[3]{x}=(x\sqrt[3]{x})^x$

বামপক্ষ,

$x^x\sqrt[3]{x}=x^{x+\frac{1}{3}}$

ডানপক্ষ,

$(x\sqrt[3]{x})^x$

$=(x^{\frac{4}{3}})^x$

$=x^{\frac{4x}{3}}$

x = 1 হলে উভয় পক্ষের মান 1, তাই x = 1 একটি সমাধান

x ≠ 1 হলে একই ভিত্তির ঘাত তুলনা করে পাই,

$x+\frac{1}{3}=\frac{4x}{3}$

3x + 1 = 4x

x = 1

অতএব একমাত্র সমাধান x = 1

ধরি,

$t=2^{\frac{1}{3}}$

তাহলে,

$p=t²+t^{-2}$

দেওয়া আছে,

p = a² + 2

তাই,

a² = t² + t⁻² − 2

$=(t-t^{-1})²$

অতএব,

$a=\pm(t-t^{-1})$

যদি $a=t-t^{-1}$ হয়, তবে

$a³+3a=t³-t^{-3}$

$=2-\frac{1}{2}$

$=\frac{3}{2}$

তাই,

2a³ + 6a = 3

আর ঋণাত্মক মানটি নিলে,

2a³ + 6a = −3

অতএব প্রদত্ত তথ্য থেকে 2a³ + 6a-এর মান 3 অথবা −3, কখনোই 5 নয়

প্রশ্নের দাবিটি গাণিতিকভাবে অসংগত

$f(x)=\ln\frac{2x+3}{2x-3}$

ডোমেনের জন্য,

$\frac{2x+3}{2x-3}>0$

লব ও হরের সংকটবিন্দু যথাক্রমে $-\frac{3}{2}$ এবং $\frac{3}{2}$

চিহ্ন বিশ্লেষণ করে পাই,

$x<-\frac{3}{2}$ অথবা $x>\frac{3}{2}$

অতএব ডোমেন,

$\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)\cup\left(\frac{3}{2},\infty\right)$

রেঞ্জ নির্ণয়ের জন্য ধরি,

$y=\ln\frac{2x+3}{2x-3}$

তাহলে,

$e^y=\frac{2x+3}{2x-3}$

সমাধান করে পাই,

$x=\frac{3(e^y+1)}{2(e^y-1)}$

এখানে y = 0 হলে হর শূন্য হয় এবং কোনো সসীম x পাওয়া যায় না

অন্য সব বাস্তব y-এর জন্য x ডোমেনের কোনো একটি ব্যবধানে থাকে

অতএব রেঞ্জ,

$(-\infty,0)\cup(0,\infty)$

দেওয়া আছে,

$\log_8\left[62+\sqrt{x²-10x+25}\right]=2$

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী,

$62+\sqrt{(x-5)²}=8²$

$62+|x-5|=64$

|x − 5| = 2

তাই,

x − 5 = 2 অথবা x − 5 = −2

অতএব x = 7 অথবা x = 3

$f(x)=\ln\frac{7+x}{7-x}$

প্রথমে ডোমেনের শর্ত,

$\frac{7+x}{7-x}>0$

এ থেকে পাই,

−7 < x < 7

রেঞ্জ নির্ণয়ের জন্য ধরি,

$y=\ln\frac{7+x}{7-x}$

তাহলে,

$e^y=\frac{7+x}{7-x}$

সমাধান করে পাই,

$x=\frac{7(e^y-1)}{e^y+1}$

যেকোনো বাস্তব y-এর জন্য eʸ > 0 এবং প্রাপ্ত x সর্বদা −7 < x < 7 পূরণ করে

অতএব f(x)-এর রেঞ্জ সকল বাস্তব সংখ্যা

অর্থাৎ $(-\infty,\infty)$

ধরি,

$t=3^{\frac{1}{3}}$

তাহলে,

$M=t²+t^{-2}$

দেওয়া আছে,

b² − 2 = M

তাই,

b² = t² + t⁻² + 2

$=(t+t^{-1})²$

b ≥ 0 হওয়ায়,

$b=t+t^{-1}$

এখন,

$b³-3b=t³+t^{-3}$

$=3+\frac{1}{3}$

$=\frac{10}{3}$

উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,

3b³ − 9b = 10

অতএব প্রমাণিত

বাস্তব সূচকের জন্য p > 0

দেওয়া আছে,

$p^{p\sqrt{p}}=(p\sqrt{p})^p$

যদি p = 1 হয়, তবে সমীকরণটির উভয় পক্ষের মান 1

এক্ষেত্রে $\sqrt{p}=1$

আবার p ≠ 1 হলে,

$(p\sqrt{p})^p=(p^{3/2})^p$

$=p^{3p/2}$

একই ধনাত্মক ও 1 ব্যতীত ভিত্তির ঘাত সমান হওয়ায়,

$p\sqrt{p}=\frac{3p}{2}$

$\sqrt{p}=\frac{3}{2}$

অতএব প্রদত্ত শর্তে $\sqrt{p}=1$ অথবা $\frac{3}{2}$

শুধু $\frac{3}{2}$ পেতে প্রশ্নে p ≠ 1 শর্তটি প্রয়োজন

দেওয়া আছে,

$\log_e(3+m)=2\log_e m$

লগারিদম সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য m > 0

লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী,

$\log_e(3+m)=\log_e m²$

তাই,

3 + m = m²

m² − m − 3 = 0

দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$m=\frac{1\pm\sqrt{1+12}}{2}$

$=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$

যেহেতু m > 0, তাই ঋণাত্মক মানটি গ্রহণযোগ্য নয়

অতএব $m=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$

ধরি,

$\sqrt[a]{x}=\sqrt[b]{y}=\sqrt[c]{z}=k$

তাহলে,

x = kᵃ, y = kᵇ এবং z = kᶜ

আবার xyz = 1

তাই,

kᵃkᵇkᶜ = 1

ধরি A = kᵃ, B = kᵇ এবং C = kᶜ

তাহলে ABC = 1

প্রদত্ত রাশির প্রথম পদ,

$\frac{1}{k^{-a}+k^b+1}$

$=\frac{1}{A^{-1}+B+1}$

$=\frac{A}{1+A+AB}$

দ্বিতীয় পদ,

$\frac{1}{k^{-b}+k^c+1}$

$=\frac{B}{1+B+BC}$

ABC = 1 ব্যবহার করে লব ও হরকে A দ্বারা গুণ করলে,

$=\frac{AB}{1+A+AB}$

তৃতীয় পদ,

$\frac{1}{k^{-c}+k^a+1}$

$=\frac{C}{1+C+CA}$

ABC = 1 ব্যবহার করে লব ও হরকে AB দ্বারা গুণ করলে,

$=\frac{1}{1+A+AB}$

অতএব প্রদত্ত যোগফল,

$=\frac{A+AB+1}{1+A+AB}$

= 1

অতএব প্রমাণিত