Chapter 10: দূরত্ব ও উচ্চতা - গণিত বহুনির্বাচনি ও বোর্ড সমাধান

এনসিটিবি (NCTB) নবম-দশম শ্রেণির সাধারণ গণিত পাঠ্যবইয়ের ‘দূরত্ব ও উচ্চতা’ (অধ্যায় ১০) অনুসারে সমাধান:

১. উদ্দীপকের চিত্র বিশ্লেষণ:
প্রদত্ত চিত্রে:
• ভূমিরেখা $DBC$-এর ওপর $AB$ একটি উলম্ব রেখাংশ, যার ফলে $\angle ABC = 90^\circ$ (সমকোণ)।
• সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এ সূক্ষ্মকোণ $\angle ACB = 60^\circ$।
• সন্নিহিত বাহু (ভূমি) $BC = 18\text{ মিটার}$।
• অতিভুজ $AC$-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হবে।

২. ত্রিকোণমিতিক অনুপাত প্রয়োগ ($AC$ নির্ণয়):
সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এ কোসাইন ($\\cos$) অনুপাত প্রয়োগ করে পাই:
$$\cos \angle ACB = \frac{\text{সন্নিহিত বাহু (ভূমি)}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{BC}{AC}$$

বা,
$$\cos 60^\circ = \frac{18}{AC}$$

যেহেতু $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,
$$\frac{1}{2} = \frac{18}{AC}$$

বা,
$$AC = 18 \times 2 = 36\text{ মিটার}$$

অতএব, $AC$-এর দৈর্ঘ্য হলো 36 মিটার।

সঠিক উত্তর: 36 মিটার (ঘ)।

এনসিটিবি (NCTB) নবম-দশম শ্রেণির সাধারণ গণিত পাঠ্যবইয়ের ‘দূরত্ব ও উচ্চতা’ (অধ্যায় ১০) অনুসারে সমাধান:

১. উদ্দীপকের চিত্র বিশ্লেষণ:
• অনুভূমিক রেখা $EA \parallel DBC$ হওয়ায় $A$ বিন্দুতে অবনতি কোণ $\angle EAD$ এবং $D$ বিন্দুতে উন্নতি কোণ $\angle ADB$ পরস্পর একান্তর কোণ।
$$\therefore \angle ADB = \angle EAD = 30^\circ$$

২. লম্ব $AB$-এর উচ্চতা নির্ণয়:
সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABC$-এ ($\\angle ABC = 90^\circ$, $\angle ACB = 60^\circ$ এবং $BC = 18\text{ মিটার}$):
$$\tan 60^\circ = \frac{AB}{BC}$$

বা,
$$\sqrt{3} = \frac{AB}{18}$$

$$\therefore AB = 18\sqrt{3}\text{ মিটার}$$

৩. অতিভুজ $AD$-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle ABD$-এ ($\\angle ABD = 90^\circ$, $\angle ADB = 30^\circ$):
$$\sin 30^\circ = \frac{AB}{AD}$$

বা,
$$\frac{1}{2} = \frac{18\sqrt{3}}{AD}$$

$$\therefore AD = 2 \times 18\sqrt{3} = 36\sqrt{3}\text{ মিটার}$$

অতএব, $AD$-এর দৈর্ঘ্য হলো $36\sqrt{3}$ মিটার।

সঠিক উত্তর: $36\sqrt{3}$ (ক)।

সঠিক উত্তর: গ (30 মিটার)

গাণিতিক বিশ্লেষণ ও ব্যাখ্যা:

এনসিটিবি নবম-দশম শ্রেণির সাধারণ গণিত পাঠ্যবইয়ের ‘অধ্যায়-১০: দূরত্ব ও উচ্চতা’ (গাছ ভাঙা সংক্রান্ত ত্রিকোণমিতিক সমস্যা)-এর নিয়মানুযায়ী:

১. উদ্দীপকের চিত্র ও তথ্য বিশ্লেষণ:

• সম্পূর্ণ গাছটির আদি উচ্চতা $= AB = AC + BC$।
• গাছটি $C$ বিন্দুতে ভেঙে গিয়ে সম্পূর্ণ বিচ্ছিন্ন না হয়ে দণ্ডায়মান অংশ $BC$-এর সাথে $\angle BCD = 60^{\circ}$ কোণ উৎপন্ন করে ভূমিতে $D$ বিন্দু স্পর্শ করেছে।
• ভাঙা অংশটি মাটিতে হেলে পড়ায় $AC = CD$।
• চিত্রে দণ্ডায়মান অংশের উচ্চতা $BC = 10\text{ মিটার}$ এবং উৎপন্ন কোণ $\angle BCD = 60^{\circ}$।

২. ভাঙা অংশ $CD$-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle BCD$-এ $\angle CBD = 90^{\circ}$ এবং সূক্ষ্মকোণ $\angle BCD = 60^{\circ}$-এর সাপেক্ষে:

• সন্নিহিত বাহু (ভূমি) $= BC = 10\text{ মিটার}$
• অতিভুজ $= CD$

আমরা জানি:
$$\cos \angle BCD = \frac{\text{ভূমি}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{BC}{CD}$$

বা, $\cos 60^{\circ} = \frac{10}{CD}$

বা, $\frac{1}{2} = \frac{10}{CD}$

$$\therefore CD = 10 \times 2 = 20\text{ মিটার}$$

৩. গাছটির সম্পূর্ণ উচ্চতা $AB$ নির্ণয়:
যেহেতু ভাঙা অংশ $AC = CD = 20\text{ মিটার}$:
$$AB = AC + BC = 20 + 10 = 30\text{ মিটার}$$

অতএব, সম্পূর্ণ গাছটির দৈর্ঘ্য $AB =$ 30 মিটার।