Chapter 12: দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণ

এসএসসি · গণিত

Chapter 12: দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণ - গণিত বহুনির্বাচনি ও বোর্ড সমাধান

১১৯টি প্রশ্ন রয়েছে। নিচে কয়েকটি নমুনা দেখো; সব প্রশ্ন, উত্তর ও ব্যাখ্যা পেতে সাবস্ক্রাইব করো।

১.

$\left.\begin{aligned} x+3y=1 \\ 2x+6y=2 \end{aligned}\right\}$ সমীকরণ জোট-

i. সমঞ্জস

ii. পরস্পর নির্ভরশীল

iii. এর একটিমাত্র সমাধান আছে

নিচের কোনটি সঠিক?
  1. i ও ii
  2. খ
    i ও iii
  3. গ
    ii ও iii
  4. ঘ
    i, ii ও iii
ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমীকরণজোট:
$\begin{cases} x + 3y = 1 \\ 2x + 6y = 2 \end{cases}$

এখানে সহগ ও ধ্রুবকের অনুপাত তুলনা করে পাই:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{1}{2}$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$:
i. সমীকরণজোটটি সঙ্গতিপূর্ণ / সামঞ্জস্যপূর্ণ (সত্য)
ii. সমীকরণজোটটি পরস্পর নির্ভরশীল (সত্য)
iii. এর অসংখ্য সমাধান আছে (একটিমাত্র সমাধান আছে উক্তিটি মিথ্যা)

অতএব সঠিক উত্তর: i ও ii
২.

$\left.\begin{aligned} -\frac{1}{2}x + y &= -1 \\ x - 2y &= 2 \end{aligned}\right\}$ সমীকরণ জোটটি-

i. সমঞ্জস

ii. পরস্পর নির্ভরশীল

iii. একটিমাত্র সমাধান আছে

নিচের কোনটি সঠিক?
  1. i ও ii
  2. খ
    i ও iii
  3. গ
    ii ও iii
  4. ঘ
    i, ii ও iii
ব্যাখ্যা

প্রদত্ত সমীকরণজোট:
$\left.\begin{aligned} -\frac{1}{2}x + y &= -1 \\ x - 2y &= 2 \end{aligned}\right\}$

এখানে চলকদ্বয়ের সহগ ও ধ্রুবকপদের অনুপাত:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{-1/2}{1} = -\frac{1}{2}$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$

যেহেতু $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = -\frac{1}{2}$,
১. সমীকরণজোটটি পরস্পর সমঞ্জস (i সঠিক)
২. সমীকরণজোটটি পরস্পর নির্ভরশীল (ii সঠিক)
৩. সমীকরণজোটের অসংখ্য সমাধান রয়েছে (iii ভুল, কারণ এতে বলা হয়েছে 'একটিমাত্র সমাধান আছে')

অতএব সঠিক উত্তর: (ক) i ও ii।
$U = \{x \in \mathbb{N} : x\text{ মৌলিক সংখ্যা এবং } x \le 7\}$, $A = \{x \in \mathbb{N} : x^2 - 3x + 2 = 0\}$ এবং $f(y) = \frac{7y-1}{y^2}$
৩. উৎপাদকে বিশ্লেষণ করো: $b^2 - 1 + 2c - c^2$.
$P(A')$ নির্ণয় করো।
$f(a) = 1$ হলে, প্রমাণ করো যে, $a^4 = 2207 - \frac{1}{a^4}$.
সমাধান ও উত্তর
(ক)
$b²-1+2c-c²$
$=b²-(c-1)²$
$=(b-c+1)(b+c-1)$
(খ)

$U=\{2,3,5,7\}$
$x²-3x+2=0$
=> $(x-1)(x-2)=0$
=> $x=1$ অথবা $x=2$
=> $A=\{1,2\}$
=> $A'=U-A=\{3,5,7\}$

অতএব, $P(A')$
$=\{∅,\{3\},\{5\},\{7\},$
$\{3,5\},\{3,7\},\{5,7\},\{3,5,7\}\}$
(গ)

$f(a)=1$
=> $\frac{7a-1}{a²}=1$
=> $a²-7a+1=0$
=> $a+\frac{1}{a}=7$

উভয় পক্ষ বর্গ করে পাই,
$a²+2+\frac{1}{a²}=49$
=> $a²+\frac{1}{a²}=47$

আবার বর্গ করে,
$a⁴+2+\frac{1}{a⁴}=47²$
=> $a⁴+\frac{1}{a⁴}=2207$
=> $a⁴=2207-\frac{1}{a⁴}$
$D = p^4 - p^2 + 1$, $E = 2a + 3b$ এবং $F = 2a – 3b$.
৪. 1, $x$, 16 ক্রমিক সমানুপাতী হলে, $x$ এর মান নির্ণয় করো।
$D=0$ হলে, $\frac{p^6+1}{p^3}$ এর মান নির্ণয় করো।
$y=\frac{\sqrt{E}+\sqrt{F}}{\sqrt{E}-\sqrt{F}}$ হলে, প্রমাণ করো যে, $3by^2 - 4ay + 3b = 0$.
সমাধান ও উত্তর
(ক)
1, x, 16 ক্রমিক সমানুপাতী
=> 1 : x = x : 16
=> x² = 16
মধ্য সমানুপাতী ধনাত্মক হওয়ায় x = 4
(খ)

p⁶ + 1 = (p² + 1)(p⁴ − p² + 1)
= (p² + 1)D

D = 0 হলে p⁶ + 1 = 0
অতএব, $\frac{(p⁶ + 1)}{p³}$ = 0
(গ)

y = $\frac{(√E + √F)}{(√E − √F)}$
=> y(√E − √F) = √E + √F
=> (y − 1)√E = (y + 1)√F

উভয় পক্ষ বর্গ করে পাই,
E(y − 1)² = F(y + 1)²
=> (2a + 3b)(y − 1)² = (2a − 3b)(y + 1)²

বিস্তার করে বিয়োজন করে পাই,
6by² − 8ay + 6b = 0
উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই,
3by² − 4ay + 3b = 0

Chapter 12: দুই চলকবিশিষ্ট সরল সহসমীকরণ আনলক করো

এই অধ্যায়টি প্রিমিয়াম প্যাকেজের অন্তর্ভুক্ত। সব প্রশ্ন অনুশীলন করতে সাবস্ক্রাইব করো।
প্যাকেজ দেখো লগইন