চিত্রে $\mathbf{BC} \| \mathbf{DE}, \mathrm{AE}=\mathrm{CE}$ এবং $\mathrm{AB}=8 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=6 \mathrm{~cm}$ হলে-
i. $\mathrm{DE}=3 \mathrm{~cm}$
ii. $\mathrm{AD}=4 \mathrm{~cm}$
iii. $\triangle \mathrm{ABC}$ ও $\triangle \mathrm{ADE}$ সদৃশ
নিচের কোনটি সঠিক?
-
i ও ii
-
i ও iii
-
ii ও iii
-
i, ii ও iii
উদ্দীপকের চিত্রে $\Delta \mathrm{ABC}$-এর $BC$ বাহুর সমান্তরাল রেখাংশ $DE$ ($BC \parallel DE$):
১. বিবৃতি iii যাচাই ($\Delta \mathrm{ABC}$ ও $\Delta \mathrm{ADE}$ সদৃশ):
$\Delta \mathrm{ADE}$ ও $\Delta \mathrm{ABC}$-এ:
- $\angle \mathrm{ADE} = \angle \mathrm{ABC}$ ($DE \parallel BC$ এবং $AB$ তাদের ছেদক হওয়ায় অনুরূপ কোণ)
- $\angle \mathrm{AED} = \angle \mathrm{ACB}$ ($DE \parallel BC$ এবং $AC$ তাদের ছেদক হওয়ায় অনুরূপ কোণ)
- $\angle \mathrm{DAE} = \angle \mathrm{BAC}$ (উভয় ত্রিভুজের সাধারণ কোণ)
যেহেতু ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ কোণগুলো পরস্পর সমান, তাই কোণ-কোণ-কোণ (AAA) সদৃশতার উপপাদ্য অনুযায়ী $\Delta \mathrm{ABC}$ ও $\Delta \mathrm{ADE}$ সদৃশকোণী এবং সদৃশ।
$\therefore$ বিবৃতি iii সঠিক।
২. বিবৃতি ii যাচাই ($AD = 4\text{ cm}$):
দেওয়া আছে, $AE = CE$, অর্থাৎ $E$ বিন্দুটি $AC$ বাহুর মধ্যবিন্দু।
$\therefore \frac{AE}{AC} = \frac{AE}{AE + CE} = \frac{AE}{2AE} = \frac{1}{2}$
সদৃশ ত্রিভুজের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান:
$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{2}$
$\implies AD = \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 8\text{ cm} = 4\text{ cm}$
$\therefore$ বিবৃতি ii সঠিক।
৩. বিবৃতি i যাচাই ($DE = 3\text{ cm}$):
অনুরূপভাবে, সদৃশ ত্রিভুজের বাহুগুলোর অনুপাত থেকে পাই:
$\frac{DE}{BC} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{2}$
$\implies DE = \frac{1}{2} \times BC = \frac{1}{2} \times 6\text{ cm} = 3\text{ cm}$
$\therefore$ বিবৃতি i সঠিক।
অতএব, i, ii ও iii—তিনটি বিবৃতিই সঠিক।
সঠিক উত্তর: ঘ (i, ii ও iii)।