Chapter 8: বৃত্ত - গণিত বহুনির্বাচনি ও বোর্ড সমাধান

উদ্দীপকের চিত্রে $ABCD$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ (Cyclic Quadrilateral):

১. পদ্ধতি ১ (বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের উপপাদ্য অনুযায়ী):
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের যেকোনো একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান।

এখানে, $AD$ বাহুকে $E$ পর্যন্ত বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ $\angle \mathrm{CDE} = 82^\circ$।
বহিঃস্থ $\angle \mathrm{CDE}$-এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ হলো $\angle \mathrm{ABC}$।

$\therefore \angle \mathrm{ABC} = \angle \mathrm{CDE} = 82^\circ$

২. পদ্ধতি ২ (পদক্ষেপভিত্তিক জ্যামিতিক হিসাব):

• $ADE$ একটি সরলরেখা হওয়ায়:
  $\angle \mathrm{ADC} + \angle \mathrm{CDE} = 180^\circ$
  বা, $\angle \mathrm{ADC} = 180^\circ - 82^\circ = 98^\circ$

• বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ বা $180^\circ$:
  $\angle \mathrm{ABC} + \angle \mathrm{ADC} = 180^\circ$
  বা, $\angle \mathrm{ABC} = 180^\circ - \angle \mathrm{ADC}$
  বা, $\angle \mathrm{ABC} = 180^\circ - 98^\circ = 82^\circ$

$\therefore \angle \mathrm{ABC} = 82^\circ$

সঠিক উত্তর: গ ($82^\circ$)।

দেওয়া আছে, $O$ বৃত্তের কেন্দ্র এবং $\angle\text{OAB} = 40^\circ$।

যেহেতু $OA$ ও $OB$ একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ,
$\therefore OA = OB$

সুতরাং, $\Delta OAB$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
$\therefore \angle\text{OBA} = \angle\text{OAB} = 40^\circ$

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^\circ$।
$\therefore \angle\text{AOB} + \angle\text{OAB} + \angle\text{OBA} = 180^\circ$
বা, $\angle\text{AOB} + 40^\circ + 40^\circ = 180^\circ$
বা, $\angle\text{AOB} + 80^\circ = 180^\circ$
বা, $\angle\text{AOB} = 180^\circ - 80^\circ$
$\therefore \angle\text{AOB} = 100^\circ$

উদ্দীপক অনুসারে,
বৃত্তের কেন্দ্র $O$ থেকে $AB$ জ্যা-এর ওপর $OD$ লম্ব।
দেওয়া আছে, ব্যাসার্ধ $OA = 5\text{ cm}$ এবং $OD = 4\text{ cm}$।

যেহেতু $OD \perp AB$, তাই $\Delta OAD$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
পীথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
$OA^2 = OD^2 + AD^2$
বা, $5^2 = 4^2 + AD^2$
বা, $25 = 16 + AD^2$
বা, $AD^2 = 25 - 16 = 9$
$\therefore AD = \sqrt{9} = 3\text{ cm}$

আমরা জানি, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ওই জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
$\therefore D$ হলো $AB$ জ্যা-এর মধ্যবিন্দু।
অতএব, $AB = 2 \times AD = 2 \times 3\text{ cm} = 6\text{ cm}$

উদ্দীপকের চিত্রে $PQRS$ একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ (Cyclic Quadrilateral):

১. বহিঃস্থ কোণ $\angle \mathrm{SRT}$ নির্ণয়:

• পদ্ধতি ১ (সরাসরি উপপাদ্য অনুযায়ী):
  আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের যেকোনো একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান।
  এখানে, $QR$ বাহুকে $T$ পর্যন্ত বর্ধিত করায় উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ হলো $\angle \mathrm{SRT}$ এবং এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণ হলো $\angle \mathrm{SPQ} = 70^\circ$।
  $\therefore \angle \mathrm{SRT} = \angle \mathrm{SPQ} = 70^\circ$

• পদ্ধতি ২ (পদক্ষেপভিত্তিক কোণ হিসাব):
  বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ বা $180^\circ$:
  $\angle \mathrm{SPQ} + \angle \mathrm{SRQ} = 180^\circ$
  বা, $\angle \mathrm{SRQ} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$

  যেহেতু $QRT$ একটি সরলরেখা, তাই:
  $\angle \mathrm{SRT} = 180^\circ - \angle \mathrm{SRQ} = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

২. $\frac{1}{2} \angle \mathrm{SRT}$-এর মান নির্ণয়:
$\frac{1}{2} \angle \mathrm{SRT} = \frac{1}{2} \times 70^\circ = 35^\circ$

সঠিক উত্তর: ক (35°)।