Chapter 9: ত্রিকোণমিতিক অনুপাত - গণিত বহুনির্বাচনি ও বোর্ড সমাধান

উদ্দীপকের চিত্রে সমকোণী ত্রিভুজ $\Delta\text{DEG}$-এ:

• অতিভুজ, $\text{DE} = 2\sqrt{2}$
• বিপরীত বাহু (লম্ব), $\text{DG} = \sqrt{2}$
• কোণ $\angle\text{DEG} = 2\theta$

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত অনুসারে:
$$\sin(\angle\text{DEG}) = \frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}} = \frac{\text{DG}}{\text{DE}}$$

মান বসিয়ে পাই:
$$\sin 2\theta = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$$

যেহেতু $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, তাই:
$$\sin 2\theta = \sin 30^\circ$$
$$\implies 2\theta = 30^\circ$$
$$\implies \theta = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$$

সুতরাং $\theta$ কোণের মান $15^\circ$।

$\therefore$ সঠিক উত্তর: $15^\circ$।

উদ্দীপকের চিত্রে সমকোণী ত্রিভুজ $\Delta\text{DGF}$-এ:

• $\angle\text{DGF} = 90^\circ$
• $\angle\text{GDF} = 60^\circ$
• লম্ব/সন্নিহিত বাহু, $\text{DG} = \sqrt{2}$

১. বিবৃতি i যাচাই ($\text{FG} = \sqrt{6}$):
$\Delta\text{DGF}$-এ $\angle\text{GDF} = 60^\circ$ কোণের সাপেক্ষে লম্ব হলো $\text{FG}$ এবং সন্নিহিত বাহু $\text{DG}$:
$$\tan(\angle\text{GDF}) = \frac{\text{FG}}{\text{DG}} \implies \tan 60^\circ = \frac{\text{FG}}{\sqrt{2}}$$
$$\implies \sqrt{3} = \frac{\text{FG}}{\sqrt{2}} \implies \text{FG} = \sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$$
অতএব বিবৃতি (i) সঠিক।

২. বিবৃতি ii যাচাই ($\cos\text{F} = \frac{\sqrt{3}}{2}$):
$\Delta\text{DGF}$-এ তিনটি কোণের সমষ্টি $180^\circ$:
$$\angle\text{DFG} = 180^\circ - (90^\circ + 60^\circ) = 30^\circ$$
অতএব $\angle\text{F} = 30^\circ$।
$$\cos\text{F} = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
অতএব বিবৃতি (ii) সঠিক।

৩. বিবৃতি iii যাচাই ($\sin(\angle\text{GDF} + \angle\text{DFG}) = 1$):
এখানে $\angle\text{GDF} = 60^\circ$ এবং $\angle\text{DFG} = 30^\circ$:
$$\angle\text{GDF} + \angle\text{DFG} = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$$
$$\sin(\angle\text{GDF} + \angle\text{DFG}) = \sin 90^\circ = 1$$
অতএব বিবৃতি (iii) সঠিক।

অতএব তিনটি বিবৃতিই (i, ii ও iii) সঠিক।

$\therefore$ সঠিক উত্তর: i, ii ও iii।

উদ্দীপকের চিত্রে $\Delta \mathrm{ABC}$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার সমকোণ $\angle \mathrm{BAC} = 90^\circ$।

১. দেওয়া আছে:

• বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য: $AB = 3$ এবং $AC = 4$

২. পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী অতিভুজ ($BC$) নির্ণয়:
সমকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$

বা, $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

৩. সূক্ষ্মকোণ $B$-এর সাপেক্ষে $\sin B$ নির্ণয়:
কোণ $B$-এর সাপেক্ষে:

• বিপরীত বাহু (লম্ব) $= AC = 4$
• অতিভুজ $= BC = 5$

আমরা জানি,
$\sin B = \frac{\text{বিপরীত বাহু (লম্ব)}}{\text{অতিভুজ}}$

$\therefore \sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}$

সঠিক উত্তর: খ ($\frac{4}{5}$)।

উদ্দীপকের চিত্রে $\Delta \mathrm{PQR}$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার সমকোণ $\angle \mathrm{PQR} = 90^\circ$ এবং সূক্ষ্মকোণ $\angle \mathrm{PRQ} = \theta$।

১. ত্রিকোণমিতিক সম্পর্কের সরলীকরণ:
আমরা জানি, $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$।
অতএব,
$\sin \theta \sec \theta = \sin \theta \times \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$

২. চিত্র হতে $\tan \theta$-এর মান নির্ণয়:
কোণ $\theta$-এর সাপেক্ষে:

• বিপরীত বাহু (লম্ব) $= PQ = \sqrt{3}$
• সন্নিহিত বাহু (ভূমি) $= QR = 1$

$\tan \theta$-এর সংজ্ঞানুসারে:
$\tan \theta = \frac{\text{বিপরীত বাহু (লম্ব)}}{\text{সন্নিহিত বাহু (ভূমি)}} = \frac{PQ}{QR} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

(বিকল্প পদ্ধতি: পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী অতিভুজ $PR = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$।
এখানে, $\sin \theta = \frac{PQ}{PR} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ এবং $\sec \theta = \frac{PR}{QR} = \frac{2}{1} = 2$।
$\therefore \sin \theta \sec \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3}$)

$\therefore \sin \theta \sec \theta = \sqrt{3}$

সঠিক উত্তর: ঘ ($\sqrt{3}$)।