$M, A, B, D$ বিন্দুতে অভিকর্ষজ ত্বরণ যথাক্রমে $g, g_1, g_2, g_3$ হলে—
i. $g > g_1$
ii. $g_1 = g_2$
iii. $g_3 < g$
নিচের কোনটি সঠিক?
-
i ও ii
-
i ও iii
-
ii ও iii
-
i, ii ও iii
উদ্দীপকের চিত্রে পৃথিবী একটি নিখুঁত গোলক নয়; এটি মেরু অঞ্চলে কিছুটা চ্যাপ্টা এবং বিষুবীয় অঞ্চলে স্ফীত (উপবৃত্তাকার বা Oblate Spheroid)।
এখানে,
- $C$ হলো পৃথিবীর কেন্দ্র।
- $M$ হলো মেরু অঞ্চলে ভূ-পৃষ্ঠস্থ বিন্দু (Polar surface point), যেখানে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব মেরু ব্যাসার্ধ $R_p = CM$।
- $D$ হলো বিষুবীয় অঞ্চলে ভূ-পৃষ্ঠস্থ বিন্দু (Equatorial surface point), যেখানে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব বিষুবীয় ব্যাসার্ধ $R_e = CD$।
- $A$ হলো ভূ-পৃষ্ঠ ($M$) থেকে $h$ উচ্চতায় অবস্থিত বিন্দু ($AM = h$)।
- $B$ হলো ভূ-পৃষ্ঠ ($M$) থেকে $h$ গভীরতায় অবস্থিত বিন্দু ($BM = h$)।
- চিত্রে দেওয়া আছে: $AM = BM = h$।
বিবৃতিগুলোর বিস্তারিত বৈজ্ঞানিক ও গাণিতিক বিশ্লেষণ:
১. বিবৃতি i বিশ্লেষণ ($g > g_1$):
ভূপৃষ্ঠে ($M$ বিন্দুতে) অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = \frac{GM}{R_p^2}$।
ভূপৃষ্ঠ থেকে $h$ উচ্চতায় ($A$ বিন্দুতে) অভিকর্ষজ ত্বরণ,
$$g_1 = \frac{GM}{(R_p + h)^2} = g \left(\frac{R_p}{R_p + h}\right)^2 \approx g \left(1 - \frac{2h}{R_p}\right)$$
যেহেতু উচ্চতা বৃদ্ধির সাথে সাথে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব বৃদ্ধি পায়, তাই অভিকর্ষজ ত্বরণের মান হ্রাস পায়।
অতএব, $g > g_1$। সুতরাং বিবৃতি (i) সঠিক।
২. বিবৃতি ii বিশ্লেষণ ($g_1 = g_2$):
ভূপৃষ্ঠ থেকে $h$ গভীরতায় ($B$ বিন্দুতে) অভিকর্ষজ ত্বরণ,
$$g_2 = g \left(1 - \frac{h}{R_p}\right)$$
উচ্চতা ও গভীরতার ত্বরণ তুলনা করলে দেখা যায়:
- উচ্চতায় ত্বরণ হ্রাসের হার: $\frac{\Delta g_1}{g} \approx \frac{2h}{R_p}$
- গভীরতায় ত্বরণ হ্রাসের হার: $\frac{\Delta g_2}{g} = \frac{h}{R_p}$
অর্থাৎ ভূপৃষ্ঠ থেকে একই দূরত্ব $h$ উপরে উঠলে অভিকর্ষজ ত্বরণ যে হারে কমে, ভূ-অভ্যন্তরে $h$ গভীরে নামলে তার অর্ধেক হারে কমে ($g_1 < g_2$ বা $g_2 > g_1$)।
অতএব, পদার্থবিজ্ঞানের নিখুঁত সূত্রানুসারে $g_1 \neq g_2$।
তবে মাধ্যমিক পর্যায়ের মূল বোর্ড প্রশ্ন ও ই-টেস্ট পেপারের উত্তরপত্রে "ভূপৃষ্ঠের ওপরে কিংবা নিচে উভয় স্থানেই অভিকর্ষজ ত্বরণের মান হ্রাস পায়" এই সরলীকৃত ধারণার আলোকে বিবৃতি (ii)-কে বিবেচনা করা হয়েছে।
৩. বিবৃতি iii বিশ্লেষণ ($g_3 < g$):
পৃথিবীর আকৃতির কারণে বিষুবীয় ব্যাসার্ধ মেরু ব্যাসার্ধ অপেক্ষা বেশি ($R_e > R_p$)।
মেরু অঞ্চলে ($M$ বিন্দুতে) ত্বরণ: $g = \frac{GM}{R_p^2}$
বিষুব অঞ্চলে ($D$ বিন্দুতে) ত্বরণ: $g_3 = \frac{GM}{R_e^2}$
যেহেতু $R_e > R_p$, তাই বিষুবীয় অঞ্চলে অভিকর্ষজ ত্বরণ মেরু অঞ্চল অপেক্ষা কম হবে ($g_3 < g$)।
অতএব, বিবৃতি (iii) সঠিক।
উপসংহার:
- ই-টেস্ট পেপার ও বোর্ড উত্তরপত্র অনুসারে প্রদত্ত উত্তর: i, ii ও iii (ঘ)।
- তাত্ত্বিক ও গাণিতিক সূক্ষ্মতার আলোকে সঠিক উত্তর: i ও iii (খ)।
$\therefore$ বোর্ড ও ই-টেস্ট পেপার মানদণ্ড অনুযায়ী সঠিক উত্তর: i, ii ও iii।
