এইচএসসি · উচ্চতর গণিত ১ম পত্র
৩৩টি প্রশ্ন রয়েছে। নিচে কয়েকটি নমুনা দেখো; সব প্রশ্ন, উত্তর ও ব্যাখ্যা পেতে সাবস্ক্রাইব করো।
ধরি, $A$ একটি $3 \times 3$ ক্রমের স্কেলার ম্যাট্রিক্স, যার প্রধান কর্ণের প্রতিটি ভুক্তি $k$
তাহলে ম্যাট্রিক্সটি হবে:
$A = \begin{bmatrix} k & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & k \end{bmatrix}$
ম্যাট্রিক্সের ট্রেস বা $\operatorname{tr}(A)$ হলো প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলোর যোগফল
শর্তমতে,
$\operatorname{tr}(A) = 6$
$\Rightarrow k + k + k = 6$
$\Rightarrow 3k = 6$
$\Rightarrow k = 2$
সুতরাং, ম্যাট্রিক্সটি হলো:
$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$
এখন, $A$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান,
$\vert\{\}A\vert\{\} = 2 \times 2 \times 2 = 8$
আমরা জানি,
$\left\vert\{\}A^{-1}\right\vert\{\} = \frac{1}{\vert\{\}A\vert\{\}}$
$\Rightarrow \left\vert\{\}A^{-1}\right\vert\{\} = \frac{1}{8}$
$A=\left[\begin{array}{lll}x & -8 & q \\ -p & -y & r \\ -q & -r & z\end{array}\right]$ একটি বিপ্রতীসম ম্যাট্রিক্স হলে-
i. $x+y+z=0$
ii. $p+8=0$
iii. $|\mathrm{A}|=0$
নিচের কোনটি সঠিক?
অপশন যাচাইকরণ:
$A$ বিপ্রতীসম ম্যাট্রিক্স হওয়ায় এর শর্তমতে, $a_{ij} = -a_{ji}$ এবং $a_{ii} = 0$.
i. (সঠিক) : $a_{ii} = 0$ শর্তমতে, মুখ্য কর্ণের ভুক্তিগুলো শূন্য. অর্থাৎ, $x = 0$, $y = 0$, $z = 0 \Rightarrow x+y+z=0$
ii. (সঠিক) : $a_{ij} = -a_{ji}$ শর্তমতে, $a_{21} = -a_{12} \Rightarrow -p = -(-8) \Rightarrow p = -8 \Rightarrow p+8=0$
iii. (সঠিক) : বিজোড় ক্রমের ($3 \times 3$) বিপ্রতীসম ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান সর্বদা শূন্য হয়. অর্থাৎ, $\vert\{\}A\vert\{\}=0$
