নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য কর :
$ A=\left[\begin{matrix} a+b+2 c & a & b \\ c & b+c+2 a & b \\ c & a & c+a+2 b \end{matrix}\right] $ একটি ম্যাট্রিক্স।
১.
দেখাও যে, $B=\left[\begin{matrix}-5 & -8 & 0 \\ 3 & 5 & 0 \\ 1 & 2 & -1\end{matrix}\right]$ একটি অভেদ ঘাতি ম্যাট্রিক্স।
প্রমাণ কর যে, $|2 A|=16(a+b+c)^3$
$a=b=c=1$ হলে $A^{-1}$ নির্ণয় কর।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
সরাসরি গুণে $B^2=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=I$ অতএব $B$ অভেদঘাতী
(খ)
$s=a+b+c$ ধরি $R_1\leftarrow R_1-R_2$ ও $R_2\leftarrow R_2-R_3$ করে $|A|=s^2\begin{vmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\c&a&s+b\end{vmatrix}=s^2(s+b+a+c)=2s^3$ যেহেতু $A$ তিন ক্রমের, $|2A|=2^3|A|=16s^3$
(গ)
$a=b=c=1$ হলে $A=\begin{bmatrix}4&1&1\\1&4&1\\1&1&4\end{bmatrix}$ এবং $|A|=54$ অতএব $A^{-1}=\frac1\{18\}\begin{bmatrix}5&-1&-1\\-1&5&-1\\-1&-1&5\end{bmatrix}$