সিলেট বোর্ড ২০২২

এইচএসসি · উচ্চতর গণিত ১ম পত্র

সিলেট বোর্ড ২০২২

৩৩টি প্রশ্ন রয়েছে। নিচে কয়েকটি নমুনা দেখো; সব প্রশ্ন, উত্তর ও ব্যাখ্যা পেতে সাবস্ক্রাইব করো।

১. বর্গ ম্যাট্রিক্স A এর ক্ষেত্রে $A^2=I$ হলে, $A^{-1}$ = ?
  1. ক
    24
  2. A
  3. গ
    0
  4. ঘ
    A+I
ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে, $A^2 = I$

উভয়পক্ষে $A^{-1}$ দ্বারা গুণ করে পাই:

$A^{-1}(A \cdot A) = A^{-1}I$

$\Rightarrow (A^{-1}A) \cdot A = A^{-1}$

$\Rightarrow I \cdot A = A^{-1} \quad [\because A^{-1}A = I]$

$\Rightarrow A = A^{-1}$

$\therefore A^{-1} = A$
২. $\left[\begin{matrix}1&3&\lambda +2&\\2&4&8\\3&5&10\\\end{matrix}\right]$ একটি ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে $\lambda$ এর মান -
  1. ক
    -2
  2. খ
    2
  3. 4
  4. ঘ
    -4
ব্যাখ্যা
$\det A=1(40-40)-3(20-24)+(\lambda+2)(10-12)=8-2\lambda$. ব্যতিক্রমী হলে $\lambda=4$.
৩. $A^{-1}=\left[\begin{matrix}2&0\\0&2\\\end{matrix}\right]$, $B^{-1}=\left[\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}\right]$ হলে $(AB)^{-1}$ এর মান কত?
  1. $\begin{bmatrix}0 & 2\\2 & 0\end{bmatrix}$
  2. খ
    $\begin{bmatrix}2 & 0\\0 & 2\end{bmatrix}$
  3. গ
    $\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}$
  4. ঘ
    $\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}$
ব্যাখ্যা
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=\begin{bmatrix}0&2\\2&0\end{bmatrix}$. হারানো বিকল্পের স্থলে প্রস্তাবিত বিকল্প.
৪.

$A$ একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং $K$ একটি স্কেলার হলে —

i. $(A^t)^t=A$

ii. $(KA)^t=KA$

iii. যদি $|A|\neq 0$ হয়, তবে $|A^{-1}|=\{1\over |A|\}$

নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    i and ii
  2. i and iii
  3. গ
    ii and iii
  4. ঘ
    i, ii and iii
ব্যাখ্যা

i. $(A^t)^t = A$ (সঠিক): কোনো ম্যাট্রিক্সকে একবার ট্রান্সপোজ (সারিকে কলাম এবং কলামকে সারিতে রূপান্তর) করার পর, তাকে পুনরায় ট্রান্সপোজ করলে ঠিক আগের বা মূল ম্যাট্রিক্সটিই ফিরে পাওয়া যায়

ii. $(KA)^t = KA$ (ভুল): ম্যাট্রিক্সের ধর্ম অনুযায়ী, একটি স্কেলার বা ধ্রুবক $K$ দিয়ে ম্যাট্রিক্স $A$-কে গুণ করে ট্রান্সপোজ করলে তা $K A^t$ হয় এটি সাধারণভাবে $KA$-এর সমান হয় না (এটি কেবল তখনই সমান হবে যদি $A$ একটি প্রতিসম বা Symmetric ম্যাট্রিক্স হয়, অর্থাৎ $A^t = A$ হয়) তাই এই সাধারণ বিবৃতিটি ভুল

iii. $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ (সঠিক): এটি নির্ণায়কের একটি প্রমাণিত ধর্ম যদি কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স $A$ ব্যতিক্রমী (Singular) না হয়, অর্থাৎ এর নির্ণায়ক $|A| \neq 0$ হয়, তবে তার বিপরীত ম্যাট্রিক্সের (Inverse Matrix) নির্ণায়কের মান মূল নির্ণায়কের গুণাত্মক বিপরীত (Reciprocal) হয়

সিলেট বোর্ড ২০২২ আনলক করো

এই টেস্ট পেপারটি প্রিমিয়াম প্যাকেজের অন্তর্ভুক্ত। সব বহুনির্বাচনি ও লিখিত প্রশ্ন অনুশীলন করতে সাবস্ক্রাইব করো।
প্যাকেজ দেখো লগইন