ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল অ্যান্ড কলেজ, রংপুর ২০২৪

প্রদত্ত রাশি, $ =-8-6 \sqrt{-1} $

$ =-8-6 i \quad[\because i=\sqrt{-1}] $

$ =1-6 i-9 $

$ =1-2.3 i+9 i^{2}\left[\because i^{2}=-1\right] $

$ =1-2.3 i+(3 i)^{2} $

$ =(1-3 i)^{2} $

$\therefore \sqrt{-8-6 \sqrt{-1}} $ =\sqrt{(1-3 i)^{2}}= \pm(1-3 i)

$ A=\left(\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\right)^{n}+\left(\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\right)^{n} $

আমরা জানি, $\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ ग्रक $\omega^{2}=\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}$

$ \therefore A=(\omega)^{n}+\left(\omega^{2}\right)^{n}=\omega^{n}+\omega^{2 n} $

n এর মান 3 দ্বারা বিভাজ্য হলে, $n=3 m$

$ \therefore A=\omega^{3 m}+\left(\omega^{2}\right)^{3 m}=\left(\omega^{3}\right)^{m}+\left(\omega^{3}\right)^{2 m}=1+1=2 $

n এর মান অপর কোনো পূর্ণসংখ্যা হলে, n = 3m+1 ও n = 3m + 2

যখন, $n=3 m+1$,

$ A =\left(\omega^{3 m+1}+\left(\omega^{2}\right)^{3 m+1}\right. $

$ =\omega^{3 m} \cdot \omega^{1}+\left(\omega^{2}\right)^{3 m} \cdot \omega^{2} $

$ =\left(\omega^{3}\right)^{m} \cdot \omega+\left(\omega^{3}\right)^{2 m} \cdot \omega^{2} $

$ =\omega+\omega^{2}=-1 \quad\left[\because 1+\omega+\omega^{2}=0\right] $

যখন, $n=3 m+2$,

$ A =(\omega)^{3 m+2}+\left(\omega^{2}\right)^{3 m+2} $

$ =\left(\omega^{3}\right)^{m} \cdot \omega^{2}+\left(\omega^{3}\right)^{2 m} \cdot \omega^{4} $

$ =\omega^{2}+\omega $

$ =-1 \quad\left[\because 1+\omega+\omega^{2}=0\right] $

সুতরাং n, 3 দ্বারা বিভাজ্য অথবা n অপর কোনো পূর্ণ সংখ্যা হলে A = 2 অথবা -1 [দেখানো হলো]

দেওয়া আছে, $B=|z+8|+|z-8|$ যেখানে, $z=x+i y:$

বা, $|z+8|+|z-8|=20$

বা, $|x+i y+8|+|x+i y-8|=20$

বা, $\sqrt{(x+8)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-8)^{2}+y^{2}}=20$

বা, $\sqrt{(x+8)^{2}+y^{2}}=20-\sqrt{(x-8)^{2}+y^{2}}$

বা, $(x+8)^{2}+y^{2}=\left\{20-\sqrt{(x-8)^{2}+y^{2}}\right\}^{2}$

বা, $x^{2}+16 x+64+y^{2}=400+(x-8)^{2}+y^{2}-40 \sqrt{(x-8)^{2}+y^{2}}$

বা, $x^{2}+y^{2}+16 x+64=400+x^{2}+64-16 x+y^{2}-40 \sqrt{(x-8)^{2}+y^{2}}$

বা, $32 x-400=-40 \sqrt{(x-8)^{2}+y^{2}}$

বা, $8(4 x-50)=-40 \sqrt{(x-8)^{2}+y^{2}}$

বা, $4 x-50=-5 \sqrt{(x-8)^{2}+y^{2}}$

বা, $(4 x-50)^{2}=25\left\{(x-8)^{2}+y^{2} \hat{\}}\right.$

বা, $16 x^{2}-400 x+2500=25\left(x^{2}-16 x+64+y^{2}\right)$

বা, $25 x^{2}-400 x+1600+25 y^{2}-16 x^{2}+400 x-2500=0$

বা, $9 x^{2}+25 y^{2}=900$

বা, $\frac{9 x^{2}}{900}+\frac{25 y^{2}}{900}=1$

বা, $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{36}=1$

$ \therefore \frac{x^{2}}{10^{2}}+\frac{y^{2}}{6^{2}}=1 ; N $

অর্থাৎ, সঞ্চারপথটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $\left(2, x^{3}-p x^{2}+a x-r=0\right.$

প্রদত্ত সমীকরণের মূলত্রয় $\alpha, \beta, \gamma$

এখন, $\sum \alpha=\alpha+\beta+\gamma=P$

$\sum \alpha \beta=\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=q$

$\alpha \beta \gamma=\pi$

$ \therefore\left\{\partial^{2}\right. $

$=\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2} $

$ =(\alpha+\beta+\gamma)^{2}-2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) $

$ =p^{2}-2 q $

দৃশ্যকল্প-১ : $ f(x)=2 b x^{2}+2(a+b) x+3 a$.

$ f(x)=2 b $

বা, $2 b x^{2}+2(a+b) x+3 a=2 b$

বা, $2 b x^{2}+2(a+b) x+3 a-2 b=0$

সমীকরণটির মূলদ্বয় $\alpha, 2 \alpha$

$ \alpha+2 \alpha=-\frac{2(a+b)}{2 b} $

বা, $3 \alpha=-\frac{(a+b)}{b}$

বা, $\alpha=\frac{-(a+b)}{3 b}$

$\therefore \alpha \cdot 2 \alpha=\frac{3 a-2 b}{2 b}$

বা, $ \alpha^{2}=\frac{3 a-2 b}{4 b}$

বা, $\left\{\frac{-(a+b)}{3 b}\right\}^{2}=\frac{3 a-2 b}{4 b}$

বা, $4 b(a+b)^{2}=9 b^{2}(3 a-2 b)$

বা, $4\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)=9 b(3 a-2 b)$

বা, $4 a^{2}+8 a b+4 b^{2}=27 a b-18 b^{2}$

বা, $4 a^{2}-19 a b+22 b^{2}=0$

বা, $4 a^{2}-11 a b-8 a b+22 b^{2}=0$

বা, $a(4 a-11 b)-2 b(4 a-11 b)=0$

$\therefore a=2 b$

অথবা, $ 4 a=11 b $

(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $f(x)=0$

বা, $x^{3}-7 x^{2}+8 x+10=0$

প্রদত্ত সমীকরণের একটি মূল $1+\sqrt{3}$

সমীকরণটির অনুবন্ধী অপর মূল $1+\sqrt{3}$

ধরি, তৃতীয় মূলটি হবে $(\alpha$

$\therefore 1+\sqrt{3}+1-\sqrt{3}+\alpha=7$

or, $2+\alpha=7$

$\therefore \alpha=5$

অর্থাৎ, অপর দুটি মূল হবে $1-\sqrt{3} 35$

দেওয়া আছে, $\cos ^{-1} x+\cos ^{-1} y=\frac{\pi}{2}$.

আমরা জানি, $ \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2} $

$ \therefore \cos 1 x+\cos ^{-1} y=\sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x $

বা, $\cos ^{1} y=\sin ^{-1} x$

বা, $\cos ^{-1} y=\cos ^{-1} \sqrt{1-x^{2}}$

বা, $y=\sqrt{1-x^{2}}$

বা, $y^{2}=1-x^{2}$

$\therefore x^{2}+y^{2}=1 \quad$ (দেখানো হলো)