সোনার বাংলা কলেজ ২০২৪

এইচএসসি · উচ্চতর গণিত ২য় পত্র

সোনার বাংলা কলেজ ২০২৪

৮টি প্রশ্ন রয়েছে। নিচে কয়েকটি নমুনা দেখো; সব প্রশ্ন, উত্তর ও ব্যাখ্যা পেতে সাবস্ক্রাইব করো।

$z=x+i y$ এবং $p^2+p+1=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$
১. $1-\sqrt{-3}$ এর আর্গুমেন্ট নির্ণয় কর।
$|z+4|+|z-4|=10$ দ্বারা নির্দেশিত সঞ্চারপথের নাম উল্লেখসহ সমীকরণ নির্ণয় কর।
প্রমাণ কর যে, $\alpha^s+\beta^s=2$ যখন $s$ তিন দ্বারা বিভাজ্য এবং $-1$ যখন তিন দ্বারা বিভাজ্য নয়, যেখানে $s\in\mathbb Z$।
সমাধান ও উত্তর
(ক)

$ 1-\sqrt{3}=1-\sqrt{3} i $

মডুলাস, $\pi=\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}=2$

আর্গুমেন্ট, $\theta=-\tan ^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|=-\tan ^{-1}(\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}$
(খ)

$ |z+4|+|z-4|=10 $

বা, $|x+i y+4|+|x+i y-4|=10$

বা, $\sqrt{(x+4)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}=10$

বা, $\sqrt{(x+4)^{2}+y^{2}}=10-\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}$

বা, $(x+4)^{2}+y^{2}=\left\{10-\sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}\right\}^{2}$

বা, $x^{2}+8 x+16+y^{2}=100+(x-4)^{2}+y^{2}-20 \sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}$

বা, $x^{2}+y^{2}+8 x+16=100+x^{2}+16-8 x+y^{2}-20 \sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}$

বা, $16 x-100=-20 \sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}$

বা, $4(4 x-25)=-20 \sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}$

বা, $4 x-25=-5 \sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}}$

বা, $(4 x-25)^{2}=25\left\{(x-4)^{2}+y^{2}\right\}$

বা, $16 x^{2}-200 x+625=25\left(x^{2}-8 x+16+y^{2}\right)$

বা, $16 x^{2}-200 x+625=25 x^{2}-200 x+400+25 y^{2}$

বা, $25 x^{2}-200 x+400+25 y^{2}-16 x^{2}+200 x-625=0$

বা, $9 x^{2}+25 y^{2}=225$

বা, $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$

বা, $\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$ ; সমীকরণটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্দেশ করে
(গ)
$\alpha=\omega$, $\beta=\omega^2$ $s=3n$ হলে যোগফল $1+1=2$ $s=3n+1$ বা $3n+2$ হলে যোগফল $\omega+\omega^2=-1$

দৃশ্যকল্প-১: $a x^2+b x+c=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha,\beta$

দৃশ্যকল্প-২ : $f(x)=x^3-px^2+qx-r$
২. g এর কোন মানের জন্য $(g+1) x^2+2(g+2) x+(g-3)=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
$\frac{\alpha+\beta}{2} ও \sqrt{\alpha \beta}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় কর।
f(x) = 0 সমীকরণের মূলত্রয় u, v, w হলে $\sum u^3$ এর মান নির্ণয় কর।
সমাধান ও উত্তর
(ক)

দেওয়া আছে, $ (g+1) x^{2}+2(g+2) x+(g-3)=0 $

মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে যদি পৃথায়ক, D = 0 হয়

পুথায়ক, $D=\{2(g+2)\}^{2}-4(g+1)(g-3)$

বা, $ 0=4(g+2)^{2}-4(g+1)(g-3) $

বা, $0=4\left(g^{2}+4 g+4\right)-\left\{4\left(g^{2}-3 g+g-3\right)\right\} $

বা, $ 0=4 g^{2}+16 g+16-4 g^{2}+72 g-4 g+12 $

বা, $ 0=24 g+28 $

$ \therefore g=-\frac{7}{6} $
(খ)
নতুন মূল $A=-b/(2a)$ ও $G=\sqrt{c/a}$ তাই সমীকরণ $x^2-(A+G)x+AG=0$, অর্থাৎ $x^2-(-b/(2a)+\sqrt{c/a})x-\frac{b}{2a}\sqrt{c/a}=0$
(গ)
$s_1=p$, $s_2=q$, $s_3=r$ তাই $u^3+v^3+w^3=s_1^3-3s_1s_2+3s_3=p^3-3pq+3r$

দৃশ্যকল্প-১ : $a x^2+b x+c=0$ এবং $b x^2+c x+a=0$

দৃশ্যকল্প-২: $8 x^3-36 x^2+22 x+21=0$
৩. $\frac{1}{1+i}$ মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নির্ণয় কর।
দৃশ্যকল্প-১ এর দ্বিঘাত সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল থাকলে দেখাও যে, $a^3+b^3+c^3=3 a b c$
দৃশ্যকল্প-২ এর সমীকরণের মূলত্রয় সমান্তর প্রগমনভূক্ত হলে মূলগুলো নির্ণয় কর।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
$1/(1+i)=(1-i)/2$ মূলদ সহগে অপর মূল $(1+i)/2$ যোগফল $1$, গুণফল $1/2$; তাই $2x^2-2x+1=0$
(খ)
সাধারণ মূল থাকার শর্ত resultant শূন্য: $(a^2-bc)^2-(ac-b^2)(ab-c^2)=a(a^3+b^3+c^3-3abc)=0$ দ্বিঘাতের $a\ne0$ থেকে $a^3+b^3+c^3=3abc$
(গ)

$ 8 x^{3}-36 x^{2}+22 x+21=0 $

ধরি, পদত্ত সমীকরণের মূলগুলো a-d, a, a+d

$ \therefore a-d+a+a+d=-\frac{-36}{8}=\frac{9}{2} $

বা, $ 3 a=\frac{9}{2} $

$\therefore a=\frac{3}{2} $

$ \therefore(a-d)(a)(a+d)=-\frac{21}{8} $

বা, $a\left(a^{2}-d^{2}\right)=-\frac{21}{8}$

বা, $\frac{3}{2}\left\{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}-d^{2}\right\}=-\frac{21}{8}$

বা, $\frac{3}{2}\left(\frac{9}{4}-d^{2}\right)=-\frac{21}{8}$

বা, $\frac{9}{4}-d^{2}=-\frac{7}{4}$

বা, $d^2=\frac{7}{4}+\frac{9}{4}$

বা, $d^{2}=4$,

$\therefore d= \pm 2 $

d = 2 হলে, $ a-d=\frac{3}{2}-2=-\frac{1}{2} $

$a+d=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2} $

$d=-2$ হলে ও প্রদত্ত সমীকরণের একই মূল পাওয়া যায়

অর্থাৎ, নির্ণেয় মূলগুলো, $-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{7}{2}$
$f(\theta)=\cos \theta$
৪. মান নির্ণয় কর : $\sin \cos ^{-1} \tan \sec ^{-1} \frac{2}{\sqrt{3}}$
$\frac{1}{f(\theta)}-\frac{1}{\sqrt{1-\{f(\theta)\}^2}}=\frac{4}{3}$ হলে দেখাও যে, $\theta=\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{4}$
সমাধান কর: $4 f(x) f(2 x) f(3 x)=1$; যখন $0
সমাধান ও উত্তর
(ক)

সমকোণী ত্রিভুজে বাহু $1,\sqrt3$ এবং অতিভুজ $z=2$

$\sec ^{-1} \frac{2}{\sqrt{3}}=\tan ^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}$

$ \sin \cos ^{-1} \cdot \tan \sec ^{-1} \frac{2}{\sqrt{3}} $

$= \sin \cos ^{-1} \tan \tan ^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}} $

$= \sin \cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}} $

$= \sin \sin ^{-1} \sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}} $

$= \sin \sin ^{-1} \frac{\sqrt{6}}{3} $

$= \frac{\sqrt{6}}{3} $
(খ)
মূল সমীকরণ $1/\cos\theta-1/|\sin\theta|=4/3$ তাই $\cos\theta>0$ ও $|\sin\theta|>\cos\theta$ বর্গ-সরলকরণে $|\sin\theta|\cos\theta=3/8$ ফলে $\theta=\pm[\pi/2-\tfrac12\sin^{-1}(3/4)]+2n\pi$ উৎসে চাওয়া $\tfrac12\sin^{-1}(3/4)$ মান বসালে বামপক্ষ $-4/3$, তাই দাবি ভুল
(গ)

$4 f(x) \cdot f(2 x) f(3 x)=1$ যখন $0

বা, $4 \cos x \cdot \cos 2 x \cdot \cos 3 x=1$

বা, $2 \cos 2 x(2 \cos 3 x \cdot \cos x)=1$

বা, $2 \cos 2 x(\cos 4 x+\cos 2 x)=1$

বা, $2 \cos 4 x \cos 2 x+2 \cos ^{2} 2 x=1$

বা, $2 \cos 4 x \cos 2 x+2 \cos ^{2} 2 x-1=0$

বা, $2 \cos 4 x \cdot \cos 2 x+\cos 4 x=0$

বা, $\cos 4 x(2 \cos 2 x+1)=0$

এখন, $: \cos 4 x=0$

বা, $4 x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}$

$ \therefore x=(2 n+1) \frac{\pi}{8} $

আবার, $2 \cos 2 x+1=0$

বা $\cos 2 x=-\frac{1}{2}$

বা, $\cos 2 x=\cos \frac{2 \pi}{3}$

বা, $2 x=2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3}$

$ \therefore x=n \pi \pm \frac{\pi}{3} $

$n=0, হলে, \left(\pi, x=\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{3}\right.$

$ n=1 হলে, \pi, x=\frac{3 \pi}{8}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3} $

$ x=2 হলে, \pi, x=\frac{5 \pi}{8}, \frac{7 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3} $

সুতরাং, নিদিষ্ট সীমার মধ্যে $x=\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3}, \frac{3 \pi}{8}$

সোনার বাংলা কলেজ ২০২৪ আনলক করো

এই টেস্ট পেপারটি প্রিমিয়াম প্যাকেজের অন্তর্ভুক্ত। সব বহুনির্বাচনি ও লিখিত প্রশ্ন অনুশীলন করতে সাবস্ক্রাইব করো।
প্যাকেজ দেখো লগইন