সরকারি ব্রজমোহন কলেজ, বরিশাল ২০২৪

$ i^{3}=-i \quad\left[\because i^{2}=-1\right] $

$ =\frac{1}{2}(-2 i) $

$ =\frac{1}{2}(1-1-2 i) $

$ =\frac{1}{2}\left(1+i^{2}-2 i\right) \quad\left[\because i^{2}=-1\right] $

$ i^{3}=\frac{1}{2}(1-i)^{2} $

$ \Rightarrow \sqrt{i^{3}}= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i) $ [বর্গমূল করে]

দেওয়া আছে, b = 729

ধরি,

$ x=\sqrt[6]{-b} $

$\Rightarrow x=\sqrt[6]{-729} $

$\Rightarrow x^6=-729$ [উভয়পক্ষের ঘাত 6 উন্নিত করে]

$\Rightarrow x^{6}=729 ; 2 \quad\left[\because i^{2}=-1\right] $

$ \Rightarrow\left(x^{3}\right)^{2}=(27 i)^{2} $

$ \Rightarrow x^{3}= \pm 27 i $ [বর্গমূল করে]

$ \Rightarrow x^{3} \pm 27 i=0 $

$ \Rightarrow x^{3} \pm 27 i(-1)=0 $

$ \Rightarrow x^{3} \pm 27 i 3=0 $

$ \Rightarrow(x)^{3} \pm(3 i)^{3}=0 $

$ \Rightarrow(x \pm 3 i)\left\{\left(x^{2} \mp x \cdot 3 i+(3 i)^{2}\right\}=0\right. $

$ \Rightarrow(x \pm 3 i)\left(x^{2} \pm 3 x i+9 i^{2}\right)=0 $

$ \Rightarrow(x \pm 3 i)\left(x^{2} \pm 3 x i-9\right)=0 $

হয়, আবার,

$ x \pm 3 i=0 $ $x^2 \pm 3 x i-9=0$

$\Rightarrow x= \pm 3 i$

$\begin{aligned} & x^2+3 x i-9=0 \\ \Rightarrow & x=\frac{-3 i \pm \sqrt{(3 i)^2-4.1 \cdot(-9)}}{2 \cdot 1} \\ = & \frac{-3 i \pm \sqrt{9 i^2+36}}{2} \\ = & \frac{-3 i \pm \sqrt{-9+36}}{2} \\ = & \frac{-3 i \pm \sqrt{27}}{2}\end{aligned}$

$\therefore x=\frac{-3 i \pm 3 \sqrt{3}}{2}=\frac{3(-i \pm \sqrt{3})}{2}$

(-) নিয়ে,

$ x^{2}-3 x i-9=0 $

$ \Rightarrow x=\frac{-(-3 i) \pm \sqrt{(-3 i)^{2}-4 \cdot 1(-9)}}{2 \cdot 1} $

$=\frac{3 i \pm \sqrt{9 i^{2}+36}}{2} $

$=\frac{3 i \pm \sqrt{-9+36}}{2} $

$=\frac{3 i \pm \sqrt{27}}{2} $

$ \therefore x=\frac{3 i \pm 3 \sqrt{3}}{2}=\frac{3(i \pm \sqrt{3})}{2} $

$ \therefore \sqrt[6]{-b} $ এর মানসমূহ $ \pm 3 i ; \pm \frac{3(i \pm \sqrt{3})}{2} $

প্রদত্ত রাশি,

$ (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) $

$= x^{2}-a x-b x+a b+x^{2}-b x-c x+b c+x^{2}-c x-a x +a c$

$= 3 x^{2}-2 a x-2 b x-2 c x+a b+b c+a c $

$= 3 x^{2}-2(a+b+c) x+(a b+b c+a c) $

$\because $ প্রদত্ত রাশিটি পূর্ণবর্গ

$ \therefore\{-2(a+b+c)\}^{2}-4 \cdot 3 \cdot(a b+b c+a c)=0 $

$ \Rightarrow 4(a+b+c)^{2}-12(a b+b c+c a)=0 $

$ \Rightarrow 4\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a\right)-12(a b+b c+c a) $

$ \Rightarrow 4 a^{2}+4 b^{2}+4 c^{2}+8 a b+8 b c+8 c a-12 a b-12 c a-12 c a =0 $

$ \Rightarrow 4 a^{2}+4 b^{2}+4 c^{2}-4 a b-4 b c-4 c a=0 $

$ \Rightarrow 2 a^{2}+2 b^{2}+2 c^{2}-2 a b-2 b c-2 c a=0 $ [2 দ্বারা ভাগ]

$ \Rightarrow a^{2}-2 a b+b^{2}+b^{2}-2 b c+c^{2}+c^{2}-2 c a+a^{2}=0 $

$ \Rightarrow(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0 $

$\because $ বর্গের সমষ্টি শূন্য হতে হলে তাদের আলাদা আলাদা শূন্য হতে হবে

$ \therefore(a-b)^{2}=0 \quad $ এবং $ (b-c)^{2}=0\quad $ আবার, $(c-a)^2=0$

$a-b=0 \quad b-c=0 \quad (c-a)^{2}=0 $

$a=b \quad b=c \quad c-a=0 $

$ \therefore a=b=c $ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

$ \left(k^{2}-3\right) x^{2}+3 k x+(3 k+1)=0 $

k = 2 হলে,

$ \left(2^{2}-3\right) x^{2}+3 \cdot 2 \cdot x+(3 \cdot 2+1)=0 $

$ \Rightarrow (4-3) x^{2}+6 x+(6+1)=0 $

$= x^{2}+6 x+7=0 ...... (i) $

(i) নং সমীকরণের মূলদ্বয় m ও n

$\therefore m+n=\frac{-6}{1} \quad $ এবং $ m-10 $

$\Rightarrow m n=7 ... (ii) \quad m=-6 ... (iii) $

$ \frac{m}{n^{2}}+\frac{n}{m^{2}} =\frac{m^{3}+n^{3}}{m^{2} n^{2}} $

$ =\frac{(m+n)^{3}-3 m n(m+n)}{(m n)^{2}} $

$ =\frac{(-6)^{3}-3 \cdot 7 \cdot(-6)}{(7)^{2}}$ [(ii) নং ও (iii) নং হতে]

$ =\frac{-216+121}{49} $

$\therefore \frac{m}{n^{2}}+\frac{n}{m^{2}} =\frac{-90}{49} $

আবার,

$\frac{m}{n^{2}} \cdot \frac{n}{m^{2}} =\frac{1}{m} $

$ \therefore \frac{m}{n^{2}} \cdot \frac{n}{m^{2}} =\frac{1}{7} $

$\therefore \frac{m}{n^{2}}$ ও $\frac{n}{m^{2}}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নিম্নরুপ:

$x^{2}-\left(\frac{m}{n^{2}}+\frac{n}{m^{2}}\right) x+\left(\frac{m}{n^{2}} \cdot \frac{n}{m^{2}}\right)=0 $

$\Rightarrow x^{2}-\left(\frac{-90}{49}\right) x+\left(\frac{1}{7}\right)=0 $

$\Rightarrow x^{2}+\frac{90 x}{49}+\frac{1}{7}=0 $

$\Rightarrow 49 x^{2}+90 x+7=0 $ (Ans)

দেওয়া আছে,

দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল $=\sqrt{-5}-1$

$\therefore$ দ্বিঘাত সমীকরণের অপর একটি মূল $=-\sqrt{-5}-1$

$\therefore$ দ্বিঘাত সমীকরণটি হল :

$ x^{2}-(\sqrt{-5}-1-\sqrt{-5}-1) x+(\sqrt{-5}-1) \times -\sqrt{-5}-1)=0 $

$ \Rightarrow x^{2}-(-2) x+\left\{(-1)^{2}-(\sqrt{-5})^{2}\right\}=0 $

$ \Rightarrow x^{2}+2 x+\{1-(-5)\}=0 $

$ \Rightarrow x^{2}+2 x+6=0 $

দেওয়া আছে,

$ x^{3}+a x^{2}+b x+c=0 ..... (1) $

(i) নং ত্রিঘাত সমীকরণের মূলত্রয় $\alpha, B, \gamma$ হলে,

$\alpha+\beta+\gamma=-a ...... (ii)$

$\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=b ..... (iii)$

$ \alpha \beta \gamma=-c ..... (iv) $

$ \sum \alpha^{3}=\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3} $

$=\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}-3 \alpha \beta \gamma+3 \alpha \beta \gamma $

$=(\alpha+\beta+\gamma)\left(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}-\alpha \beta+B \gamma+\gamma \alpha\right) +3 \alpha \beta \gamma $

$ =(\alpha+\beta+\gamma)\}(\alpha+\beta+\gamma)^{2}-2(\alpha \beta+B \gamma+\gamma \alpha) -(\alpha B+B \gamma+\gamma \alpha)\}+3 \alpha B \gamma $

$ =(\alpha+\beta+\gamma)\left\{(\alpha+\beta+\gamma)^{2}-3(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)\right\}+3 \alpha \beta \gamma $

$ =(-a)\left\{(-a)^{2}-3 \cdot b\right\}+3(-c) $ [(ii) নং (iii) নং এবং (iv) নং হতে]

$ =-a\left(a^{2}-3 b\right)-3 c $

$ =-a^{3}+3 a b-3 c $

$ =3 a b-a^{3}-3 c $

দেওয়া আছে,

$f(x)=\cos x $

$\therefore f\left(\cot ^{-1} \frac{3}{4}\right)=\cos \left(\cot ^{-1} \frac{3}{4}\right) $

ধরি,

$ \cot ^{-1} \frac{3}{4}=\theta $

$ \left.\therefore \cot \theta=\frac{3}{4} \frac{5 \Delta \theta}{3}\right]_{C} $

$ \therefore \cos \theta=\frac{3}{5} $

$ \Rightarrow \theta=\cos ^{1} \frac{3}{5} $

$ \therefore \cot ^{-1} \frac{3}{5} =\cos ^{-1} \frac{3}{5} $

$ \therefore f\left(\cot ^{-1} 3 / 4\right) =\cos \left(\cot ^{-1} \frac{3}{4} \right) $

$ =\cos \left(\cos ^{-1} \frac{3}{5}\right) $

$\therefore f\left(\cot ^{-1} \frac{3}{4} \right) =\frac{3}{5} $