রাজশাহী বোর্ড ২০২৩

লজিক গেইটগুলো ধাপে ধাপে হিসাব করলে:

• গেইট $1$: এটি একটি $NAND$ গেইট, যার উভয় ইনপুট $P$। আউটপুট = $\overline{P \cdot P} = \bar{P}$
• গেইট $2$: এটিও একটি $NAND$ গেইট, যার উভয় ইনপুট $Q$। আউটপুট = $\overline{Q \cdot Q} = \bar{Q}$
• গেইট $3$: একটি $NOR$ গেইট। আউটপুট = $\overline{\bar{P} + \bar{Q}} = P \cdot Q$ (ডি-মরগ্যানের সূত্র অনুযায়ী)
• গেইট $4$: একটি $NOR$ গেইট। আউটপুট = $\overline{P + Q}$
• গেইট $5 (Y)$: এটি একটি $NOR$ গেইট, যার ইনপুট গেইট $3$ এবং $4$ এর আউটপুট।

$Y = \overline{(PQ) + (\overline{P + Q})}$

এখন একে সরলীকরণ করলে:

$\begin{aligned} Y &= \overline{PQ} \cdot \overline{\overline{P + Q}} \\ &= (\bar{P} + \bar{Q}) \cdot (P + Q) \\ &= \bar{P}P + \bar{P}Q + \bar{Q}P + \bar{Q}Q \\ &= 0 + \bar{P}Q + P\bar{Q} + 0 \\ &= \bar{P}Q + P\bar{Q} \end{aligned}$

আমরা জানি,

$\bar{P}Q + P\bar{Q}$ হলো $XOR$ গেইটের সমীকরণ, যাকে $P \oplus Q$ লেখাও যায়।

তাই i ও ii সঠিক।

ও নং gate এর পরিবর্তে NAND gate বসিয়ে পাই,

$\begin{aligned} \mathrm{Y} & =\overline{\overline{\overline{\mathrm{P}} \cdot \overline{\mathrm{Q}}}+\overline{\overline{\mathrm{P}+\mathrm{Q})}}} \\ & =\overline{\overline{(\overline{\mathrm{P}} \cdot \overline{\mathrm{Q}})}} \cdot \overline{\overline{(\mathrm{P}+\mathrm{Q})}}[\because \overline{\mathrm{A}+\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{A}} \cdot \overline{\mathrm{B}}] \\ & =(\overline{\mathrm{P}} \cdot \overline{\mathrm{Q}}) \cdot(\mathrm{P}+\mathrm{Q})[\because \overline{\overline{\mathrm{A}}}=\mathrm{A}] \\ & =\overline{\mathrm{P}} \cdot \mathrm{P} \cdot \overline{\mathrm{Q}}+\overline{\mathrm{P}} \cdot \overline{\mathrm{Q}} \cdot \mathrm{Q} \\ & =0 \cdot \overline{\mathrm{Q}}+\overline{\mathrm{P}} \cdot 0[\because \mathrm{A} \cdot \overline{\mathrm{A}}=0] \\ & =0+0[\because \mathrm{A} \cdot 0=0] \\ & =0\end{aligned}$