রাজউক উত্তরা মডেল স্কুল অ্যান্ড কলেজ, ঢাকা ২০২৪

এইচএসসি · পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র

রাজউক উত্তরা মডেল স্কুল অ্যান্ড কলেজ, ঢাকা ২০২৪

৮টি প্রশ্ন রয়েছে। নিচে কয়েকটি নমুনা দেখো; সব প্রশ্ন, উত্তর ও ব্যাখ্যা পেতে সাবস্ক্রাইব করো।

স্থির বাতাসে 8 kmh⁻¹ বেগে বৃষ্টি পড়ছে। এ সময়ে সাইকেলে চড়ে একজন ব্যক্তি 10 kmh⁻¹বেগে চলছে। তার চলার বিপরীত দিকে 3 kmh⁻¹ বেগে বাতাস প্রবাহিত হতে লাগল। উভয় ক্ষেত্রে বৃষ্টি থেকে বাঁচতে ব্যক্তিটি ছাতা ব্যবহার করলো।
১. ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ সূত্রটি লিখ।
ট্রলি ব্যাগের হাতল লম্বা রাখা হয় কেন? ব্যাখ্যা কর।
স্থির বাতাসে ব্যক্তির সাপেক্ষে বৃষ্টির আপেক্ষিক বেগ নির্ণয় কর।
বাতাস প্রবাহিত হওয়ার আগে ও পরে একইভাবে ছাতা ধরলে ব্যক্তিটি বৃষ্টি থেকে রক্ষা পাবে কিনা— গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও ।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
যদি কোন ত্রিভুজের দুটি বাহু একইক্রমে দিকে ও মানে দুটি ভেক্টর রাশিকে নির্দেশ করে তাহলে ত্রিভুজের তৃতীয় বাহুটি বিপরীতক্রমে ভেক্টরদ্বয়ের লব্ধি নির্দেশ করে।
(খ)
হাতল বরাবর টানের অনুভূমিক উপাংশ $F\cos\theta$ ও ঊর্ধ্বমুখী উপাংশ $F\sin\theta$। একই হাতের উচ্চতা ও চাকার বিন্যাসে হাতল লম্বা হলে অনুভূমিকের সঙ্গে $\theta$ কম হতে পারে, ফলে একই টানের বেশি অংশ সামনে কাজ করে। তবে বাস্তব সহজতা চাকা, ঘর্ষণ ও জ্যামিতির ওপরও নির্ভর করে।
(গ)
ব্যক্তির চলার দিক $+x$, ওপর $+y$ ধরলে $\vec v_p=10\hat i$ ও $\vec v_r=-8\hat j\ \mathrm{km\,h^{-1}}$। তাই $\vec v_{r/p}=-10\hat i-8\hat j$ এবং মান $\sqrt{10^2+8^2}=12.81\ \mathrm{km\,h^{-1}}$।
(ঘ)
প্রথমে উল্লম্বের সঙ্গে ছাতার অক্ষের প্রয়োজনীয় কোণ $\theta=\tan^{-1}(10/8)=51.34^\circ$। বিপরীতমুখী বাতাস বৃষ্টিকে $-3\hat i$ অনুভূমিক উপাংশ দেয় এবং উল্লম্ব বেগ অপরিবর্তিত থাকে ধরে নতুন আপেক্ষিক বেগ $-13\hat i-8\hat j$। তখন $\theta^{\prime}=\tan^{-1}(13/8)=58.39^\circ$। তাই সামনের দিকে আরও হেলাতে হবে; আগের একই দিক বজায় রাখলে সম্পূর্ণ রক্ষা নিশ্চিত নয়।
600 m প্রস্থের একটি নদীতে 8 kmh⁻¹ বেগে স্রোত প্রবাহিত হয়। মি. 'X' ও মি. ‘Y' ঠিক করলেন যে তারা সাঁতার প্রতিযোগিতা করে নদীটি পার হবেন। মি. ‘X’ সোজাসুজি ঠিক অপর পাড়ে পৌঁছানোর জন্য স্রোতের সাথে a কোণে 12 kmh⁻¹বেগে সাঁতার শুরু করলেন। ঠিক একই সময় মি. 'Y' সোতের দিকের সাথে লম্ব বরাবর 12 kmh⁻¹ বেগে সাঁতার শুরু করলেন।
২. অবস্থান ভেক্টর কী?
দুটি ভেক্টর রাশির স্কেলার গুণন ব্যাখ্যা কর।
a এর মান নির্ণয় কর?
উদ্দীপক অনুসারে কে জিতবে? গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোন বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টর এর সাহায্যে নির্দেশ করা হয় তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে।
(খ)

স্কেলার গুণনঃ

দুটি ভেক্টর রাশির স্কেলার গুণফল একটি স্কেলার রাশি হবে এবং এর মান রাশি দুটির মান এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইনের গুনফলের সমান। ভেক্টর রাশি দুটি মাঝে (.) চিহ্ন দিয়ে ডট গুণফল বা স্কেলার গুণফলকে প্রকাশ করা হয়।

একই মূল থেকে $\vec A$ ডানদিকে এবং $\vec B$ ঊর্ধ্ব-ডানদিকে; মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$।

যদি দুটি ভেক্টর রাশি $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ হয় তাহলে,$\vec{A} \cdot \vec{B}=(A)(B) \cos \alpha$
(গ)
স্রোতের দিক $+x$ হলে সরাসরি বিপরীত তীরে পৌঁছাতে $8+12\cos\alpha=0$। তাই $\alpha=\cos^{-1}(-2/3)=131.81^\circ$। নদীপারাপারের লব্ধি বেগ তখন স্রোতের লম্ব দিকে।
(ঘ)
X-এর পারাপারের বেগ $\sqrt{12^2-8^2}=\sqrt{80}\ \mathrm{km\,h^{-1}}$; সময় $t_X=0.6/\sqrt{80}=0.067082\ \mathrm h=4.025\ \mathrm{min}$। Y জলের সাপেক্ষে স্রোতের লম্বদিকে $12\ \mathrm{km\,h^{-1}}$ সাঁতার কাটলে $t_Y=0.6/12=0.05\ \mathrm h=3\ \mathrm{min}$। আগে অপর তীরে পৌঁছানোর প্রতিযোগিতায় Y জয়ী, তবে সে ভাটিতে $8(0.05)=0.4\ \mathrm{km}$ সরে পৌঁছায়; X-এর মতো একই বিপরীত বিন্দুতে নয়।
1400 Kg ভরের একটি গাড়ি 20 m প্রশস্ত একটি বাঁকা রাস্তায় বাঁক নিচ্ছে। রাস্তার বাইরের প্রান্ত ভিতরের প্রান্ত অপেক্ষা 0.75 m উঁচু । রাস্তার বাঁকের ব্যাসার্ধ 120 m. যাত্রীরা চালককে 8.5 ms⁻¹বেগে গাড়ি চালাতে অনুরোধ করে।
৩. টর্ক কী?
কোনো বস্তুকে বৃত্তাকার পথে সুষম বেগে গতিশীল রাখা সম্ভব নয়। ব্যাখ্যা কর।
রাস্তায় গাড়ির উপর ক্রিয়াশীল প্রতিক্রিয়া বল হিসেব কর।
গাড়ির চালক যাত্রীদের অনুরোধ রক্ষা করতে পারবেন কিনা— গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও ।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
কোনো অক্ষ বা বিন্দুর সাপেক্ষে বলের ঘূর্ণনপ্রভাব হলো টর্ক; অবস্থান ভেক্টর $\vec r$ ও বল $\vec F$ হলে $\vec\tau=\vec r\times\vec F$।
(খ)
সুষম বেগ বলতে বোঝায় ধ্রুব বেগ, বেগের কোনো রকম পরিবর্তন হচ্ছে না,কিন্তু বেগ একটি ভেক্টর রাশি,যার অর্থ মানের পাশাপাশি দিকের পরিবর্তনের জন্যেও বেগ পরিবর্তন হতে পারে। বৃত্তাকার পথে আবর্তন বা ঘোরার সময় প্রতিনিয়ত দিক পরিবর্তন হচ্ছে, তাই বেগও পরিবর্তন হচ্ছে।যার অর্থ বেগটি আর ধ্রুব বা সুষম থাকছে না। তাই বৃত্তাকার পথে আবর্তন করার সময় সুষম বেগ সম্ভব নয়।
(গ)
রাস্তার তল বরাবর প্রস্থ $20\ \mathrm m$ ধরে $\sin\theta=0.75/20$ ও $\theta\simeq2.149^\circ$। ঘর্ষণহীন নকশা বেগে $N\cos\theta=mg$, ফলে $N=1400(9.8)/\cos\theta\simeq13729.66\ \mathrm N$। অন্য বেগে ঘর্ষণ থাকলে এই সমীকরণ একা যথেষ্ট নয়।
(ঘ)
ঘর্ষণ ছাড়া নকশা বেগ $v_0=\sqrt{rg\tan\theta}\simeq6.64\ \mathrm{m\,s^{-1}}$; এটি ঘর্ষণযুক্ত রাস্তার সর্বোচ্চ বেগ নয়। চাওয়া $8.5\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ বজায় রাখতে নিচের দিকে স্থির ঘর্ষণ প্রয়োজন। $q=v^2/(rg)$ হলে $\mu_{min}=(q-\tan\theta)/(1+q\tan\theta)\simeq0.0239$। যথেষ্ট ঘর্ষণ থাকলে অনুরোধ রাখা সম্ভব; সহগ না জানায় নিশ্চিত হ্যাঁ বা না বলা যায় না।
একটি পানি পূর্ণ কুয়ার গভীরতা 10 m এবং ব্যাস 2 m. একটি পাম্প কুপটিকে 20 মিনিটে খালি করতে পারে। আরো কম সময়ের মধ্যে কুপটি খালি করার জন্য এর সাথে 1 HP ক্ষমতার অপর একটি পাম্প সংযুক্ত করা হল।
৪. কর্ম দক্ষতা কাকে বলে?
কাজ-শক্তি উপপাদ্যটি প্রমাণ কর।
প্রথম পাম্প দ্বারা সম্পন্ন কাজের পরিমাণ নির্ণয় কর।
উদ্দীপক অনুসারে কী পরিমাণ সময় সাশ্রয় হবে? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
কোনো যন্ত্রের লভ্য কার্যকর শক্তি ও মোট প্রদত্ত শক্তির অনুপাতকে ওই যন্ত্রের কর্মদক্ষতা বলে। একে η দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
(খ)
ধ্রুব লব্ধি বল গতির দিকে কাজ করলে $W=Fs=mas$। $v^2-u^2=2as$ ব্যবহার করে $W=\tfrac12m(v^2-u^2)=K_f-K_i$। সাধারণ ক্ষেত্রেও লব্ধি বলের মোট কাজ গতিশক্তির পরিবর্তনের সমান।
(গ)

এখানে,

গভীরতা h = 10m

ব্যাসার্ধ r = 1m

অভিকর্ষজত্বরণ g = 9.8ms⁻¹

গড় উচ্চতা

$\begin{aligned} h^{\prime} & =\frac{10+0}{2} \\ & =5 \mathrm{~m}\end{aligned}$

কৃতকাজ W = ?

আমরা জানি,

$\begin{aligned} \mathrm{w} & =\mathrm{mgh}^{\prime} \\ & =\pi \mathrm{r}^2 \mathrm{hpgh}^{\prime} \\ & =3.1416 \times 1^2 \times 10 \times 1000 \times 9.8 \times 5 \\ & =1539384 \mathrm{~J}\end{aligned}$

সুতরাং, কৃত কাজ 1539384J
Ans.
(ঘ)
প্রথম পাম্পের কার্যকর ক্ষমতা $P_1=W/1200=1282.82\ \mathrm W$। দ্বিতীয় পাম্পের $1\ \mathrm{HP}=746\ \mathrm W$-কে কার্যকর জল-উত্তোলন ক্ষমতা এবং দুই ক্ষমতা যোগযোগ্য ধরলে $t^{\prime}=1539384/(1282.82+746)=758.76\ \mathrm s=12.646\ \mathrm{min}$। সময় সাশ্রয় প্রায় $7.354\ \mathrm{min}$। নামফলকের ইনপুট ক্ষমতা হলে দক্ষতাও প্রয়োজন।

রাজউক উত্তরা মডেল স্কুল অ্যান্ড কলেজ, ঢাকা ২০২৪ আনলক করো

এই টেস্ট পেপারটি প্রিমিয়াম প্যাকেজের অন্তর্ভুক্ত। সব বহুনির্বাচনি ও লিখিত প্রশ্ন অনুশীলন করতে সাবস্ক্রাইব করো।
প্যাকেজ দেখো লগইন