চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫

এইচএসসি · পরিসংখ্যান ১ম পত্র

চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫

৮টি প্রশ্ন রয়েছে। নিচে কয়েকটি নমুনা দেখো; সব প্রশ্ন, উত্তর ও ব্যাখ্যা পেতে সাবস্ক্রাইব করো।

কোন তথ্যসারির পাঁচটি মান যথাক্রমে $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}: 1,-2,4,5,7$

কামাল বললেন যে, $\sum_{i=1}^5 x_i\{\}^2$ ও $\sum_{i=1}^5\left(x_i-3\right)^2$ এর মধ্যে কোনো পার্থক্য নেই।
১. চলক কী?
একজন শিক্ষার্থীর বয়স 17 বছর ইহা কি পরিসংখ্যান? ব্যাখ্যা করো।
$\sum_{i=2}^5 x_i$ ও $\sum_{i=3}^5\left(x_i-1\right)$ এর মান নির্ণয় করো।
কামালের মন্তব্যের সত্যতা যাচাই করো।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
সমগ্রকের বা তথ্যবিশ্বের যেসব বৈশিষ্ট্য এককভেদে গুণগত বা পরিমাণগতভাবে পরিবর্তিত হয়, তাই চলক।
(খ)

"একজন ছাত্রের বয়স 17 বছর।"-এটি পরিসংখ্যান নয়।

ব্যাখ্যা : আমরা জানি, পরিসংখ্যান হলো তথ্যের সমষ্টি। কোনো একটি বিচ্ছিন্ন সংখ্যাকে পরিসংখ্যান বলা যায় না। একজন ছাত্রের বয়স 17 বছর। এটি একটি বিচ্ছিন্ন সংখ্যা। সুতরাং "একজন ছাত্রদের বয়স 17 বছর।”- এটি পরিসংখ্যান নয়।
(গ)
$\sum_{i=2}^5x_i=-2+4+5+7=14$; $\sum_{i=3}^5(x_i-1)=3+4+6=13$।
(ঘ)
$\sum x_i^2=95$; $\sum(x_i-3)^2=4+25+1+4+16=50$। পার্থক্য45; কামালের মন্তব্য সঠিক নয়।
আটটি পরিবারের শিশুর সংখ্যা যথাক্রমে 3, 2, 5, 1, 0, 4, 6, 2। রহিম স্যার বললেন যে, শিশুর সংখ্যার বর্গের সমষ্টি এবং সমষ্টির বর্গ সমান নয়।
২. নমুনা কী?
"মানুষের চোখের সংখ্যা ধ্রুবক"- ব্যাখ্যা করো।
উদ্দীপকের আলোকে $\sum_{i=1}^8\left(x_i-1\right)^2$ এর মান নির্ণয় করো
রহিম স্যারের মন্তব্য যাচাই করো।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
নমুনা হলো সমগ্রকের প্রতিনিধিত্বকারী এবং ক্ষুদ্র অংশ যা সমগ্রকের বৈশিষ্ট্যসমূহ প্রদর্শন করতে পারে।
(খ)
যদি আলোচিত সমগ্রকের প্রত্যেক ব্যক্তির চোখের সংখ্যা2ধরা হয়, সেই মডেলে এটি ধ্রুবক। বাস্তব মানুষের শারীরিক অবস্থায় ব্যতিক্রম থাকতে পারে; তাই সব মানুষের জন্য বিনা শর্তে অপরিবর্তিত বলা ঠিক নয়।
(গ)
$\sum(x_i-1)^2=4+1+16+0+1+9+25+1=57$।
(ঘ)
$\sum x_i=23$, $\sum x_i^2=95$। তাই $(\sum x_i)^2=529\ne95$; রহিম স্যারের মন্তব্য সঠিক।
পাঁচ বন্ধুর ব্যবসায় লাভ হয় যথাক্রমে (লক্ষ টাকায়) $x_i: 2, 4, 8, 16, 32$.
৩. তরঙ্গ গড় কী?
“গাণিতিক গড় তথ্যের প্রান্তিক মান দ্বারা প্রভাবিত হয়"-ব্যাখ্যা করো।
উদ্দীপকের আলোকে $\sum_{i=1}^5\left(x_i-\bar{x}\right)$ এর মান নির্ণয় করো।
পাঁচ বন্ধুর মুনাফার 'কেন্দ্রিয় প্রবণতা পরিমাপে গাণিতিক গড় অপেক্ষা জ্যামিতিক গড় উত্তম" নির্ণয়পূর্বক বিশ্লেষণ করো।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
কোনো অশূন্য তথ্যসারিতে যতগুলো মান থাকে তাদের উল্টোমানের উল্টো গড়কে তরঙ্গ গড় বলে।
(খ)

গাণিতিক গড় প্রান্তিক মান বা চরম মান দ্বারা প্রভাবিত হয়।

ব্যাখ্যা: গাণিতিক গড় তথ্যসারির মধ্যক মান পরিমাপ করে এবং এটি সাধারণত তথ্যসারির মাঝামাঝি অবস্থান করে। কিন্তু তথ্যসারিতে যদি দু-একটি মান অন্যান্য মানের তুলনায় অপেক্ষাকৃত বেশ বড় বা ছোট হয় অর্থাৎ প্রান্তিক হয়, তবে গড় মানটি মধ্যক মানের যথার্থ পরিমাপ দিতে পারে না। এই প্রান্তিক মানটি যদি তথ্যসারির অন্যান্য মানের তুলনায় বেশ বড় হয় তবে গড় প্রকৃত মধ্যক মান অপেক্ষা বেশ বড় হয়। আবার প্রান্তিক মানটি যদি খুব ছোট হয় তবে গড় প্রকৃত মধ্যক মান অপেক্ষা ছোট হয়। সুতরাং বলা যায়, গাণিতিক গড় প্রান্তিক মান দ্বারা প্রভাবিত হয়।
(গ)
মুনাফার সমষ্টি62লক্ষ, সংখ্যা5; গড়12.4লক্ষ। গড় থেকে বিচ্যুতির সমষ্টি $\sum(x_i-\bar x)=\sum x_i-n\bar x$। এখানে62−5×12.4=0।
(ঘ)
AM=62/5=12.4লক্ষ এবং GM=(2×4×8×16×32)^(1/5)=8লক্ষ। মানগুলো গুণোত্তরভাবে বাড়ছে এবং গড় প্রান্তীয়32দ্বারা প্রভাবিত। গুণগত বৃদ্ধি বা প্রতিনিধিত্বশীল গুণক বুঝতে GMউপযোগী; কিন্তু মোট লাভ/সমান বণ্টনের প্রশ্নে AMউপযোগী। তাই GMসর্বক্ষেত্রে উত্তম বলা যায় না।

একজন খামারীর উৎপাদিত মাছের ওজন নিম্নরূপ :

শ্রেণি f
1–2 10
2–3 15
3–4 5
4–5 9
5–6 6

N = 45।
৪. কেন্দ্রিয় প্রবণতার পরিমাপ কী?
কখন গাণিতিক গড় নির্ণয় করা যায় না? ব্যাখ্যা করো।
উদ্দীপক হতে মধ্যমা নির্ণয় করো।
উদ্দীপকের আলোকে AM এবং HM এর মধ্যে সম্পর্কটি স্থাপন করো এবং মন্তব্য করো।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
কোনো তথ্যসারির মধ্যক মান বা কেন্দ্রিয় মানের অবস্থান নির্ণয়ের জন্য যেসব গাণিতিক পরিমাপ ব্যবহার করা হয়, তাদেরকে কেন্দ্রিয় প্রবণতার পরিমাপ বলা হয়।
(খ)
সংখ্যাগত মান না থাকা নামসূচক তথ্যের গাণিতিক গড় অর্থপূর্ণ নয়। খোলা শ্রেণির সীমা বা প্রয়োজনীয় কোনো মান অজানা থাকলে অতিরিক্ত তথ্য বা অনুমান ছাড়া সম্পূর্ণ তথ্যসারির গড় নির্দিষ্টভাবে নির্ণয় করা যায় না। শুধু ক্রমসূচক শ্রেণির কোডের গড়ও যথার্থ পরিমাণগত গড় নয়।
(গ)

মধ্যমা নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি :

শ্রেণি f ক্রমযোজিত f
1–2 10 10
2–3 15 25
3–4 5 30
4–5 9 39
5–6 6 45

N = 45।

মধ্যমা $=\frac{N+1}{2}=\frac{45+1}{2}=\frac{46}{2}=23$ তম পদের মান, যা ক্রমযোজিত গণসংখ্যা 25 এর বিপরীতে (2 – 3) শ্রেণিতে অবস্থিত। সুতরাং, মধ্যমা শ্রেণি (2 – 3)।

এখানে,

$\begin{aligned} & \mathrm{L}=2 \\ & \frac{\mathrm{~N}}{2}=\frac{45}{2}=22.5 \\ & f_{\mathrm{m}}=15 \\ & f_{\mathrm{c}}=10 \\ & \mathrm{C}=1\end{aligned}$

আমরা জানি, মধ্যমা,

$\begin{aligned} \mathrm{Me} & =\mathrm{L}+\frac{\frac{\mathrm{N}}{2}-f_{\mathrm{c}}}{f_{\mathrm{m}}} \times \mathrm{C}=2+\frac{22.5-10}{15} \times 1 \\ & =2+\frac{12.5}{15} \times 1=2+\frac{12.5}{15} \\ & =2+0.83=2.83\end{aligned}$

সুতরাং, নির্ণেয় মধ্যমা $2.83$.
(ঘ)
শ্রেণি 1–2
মধ্যমান x 1.5
f 10
fx 15
শ্রেণি 2–3
মধ্যমান x 2.5
f 15
fx 37.5
শ্রেণি 3–4
মধ্যমান x 3.5
f 5
fx 17.5
শ্রেণি 4–5
মধ্যমান x 4.5
f 9
fx 40.5
শ্রেণি 5–6
মধ্যমান x 5.5
f 6
fx 33

N = 45; Σfx = 143.5।

শ্রেণি f/x
1–2 6.666667
2–3 6
3–4 1.428571
4–5 2
5–6 1.090909

Σ(f/x) = 17.186147।

শ্রেণির মধ্যমান ব্যবহার করে N=45, AM=3.188889, HM=2.618388, মধ্যমা=2.833333, প্রচুরক=2.333333। এগুলো শ্রেণিভিত্তিক প্রাক্কলন।

HM নির্ণয়ে বিপরীত মানগুলোর যোগফল মাঝপথে গোল না করে শেষে গোল করা হয়েছে। সব মধ্যমান ধনাত্মক এবং এক নয় বলে AM>HM।

চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫ আনলক করো

এই টেস্ট পেপারটি প্রিমিয়াম প্যাকেজের অন্তর্ভুক্ত। সব বহুনির্বাচনি ও লিখিত প্রশ্ন অনুশীলন করতে সাবস্ক্রাইব করো।
প্যাকেজ দেখো লগইন