রাজশাহী বোর্ড ২০২২

“কোনো একজন শিক্ষার্থীর এক বিষয়ের প্রাপ্ত নম্বর 45” -ইহা পরিসংখ্যান নয়।

ব্যাখ্যা : আমরা জানি, পরিসংখ্যান হলো তথ্যের সমষ্টি। কোনো একটি বিচ্ছিন্ন সংখ্যাকে পরিসংখ্যান বলা যায় না। কোনো একজন শিক্ষার্থীর এক বিষয়ের প্রাপ্ত নম্বর 45-ইহা একটি বিচ্ছিন্ন সংখ্যা।

অতএব, “কোনো একজন শিক্ষার্থীর এক বিষয়ের প্রাপ্ত নম্বর 45” ইহা পরিসংখ্যান নয়।

উদ্দীপক হতে পাই,

পরিসংখ্যানে প্রাপ্ত নম্বর $\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right)=45,42,48,46,40,41$

এখানে, $x_1=45, x_2=42, x_3=48, x_4=46, x_5=40$

এবং $x_6=41$

এখন, $\left(\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right)^2=\left(\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2+\mathrm{x}_3+\mathrm{x}_4+\mathrm{x}_5+\mathrm{x}_6\right)^2$

$=(45+42+48+46+40+41)^2=(262)^2$

$\therefore\left(\sum \mathrm{x}_1\right)^2=68,644$

উদ্দীপক হতে পাই,

পরিসংখ্যানে প্রাপ্ত নম্বর $\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\right)=45,42,48,46,40,41$

এখানে, $x_1=45, x_2=42, x_3=48, x_4=46, x_5=40$

এবং $x_6=41$

এখन, $\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}}\{ \}^2=\mathrm{x}_1\{ \}^2+\mathrm{x}_2\{ \}^2+\mathrm{x}_3\{ \}^2+\mathrm{x}_4\{ \}^2+\mathrm{x}_5\{ \}^2+\mathrm{x}_6\{ \}^2$

$=(45)^2+(42)^2+(48)^2+(46)^2+(40)^2+(41)^2$

$=2,025+1,764+2,304+2,116+1,600+1,681$

$ =11,490 $

আবার, উদ্দীপক হতে পাই, গণিতে প্রাপ্ত নম্বর $\left(\mathrm{y}_{\mathrm{i}}\right)=40,41,36,38,43,42$

এখানে, $y_1=40, y_2=41, y_3=36, y_4=38, y_5=43$ এবং $y_6=42$

এখন, $\Sigma \mathrm{y}_{\mathrm{i}}\{ \}^2=\mathrm{y}_1\{ \}^2+\mathrm{y}_2\{ \}^2+\mathrm{y}_3\{ \}^2+\mathrm{y}_4\{ \}^2+\mathrm{y}_5\{ \}^2+\mathrm{y}_6\{ \}^2$

$ =(40)^2+(41)^2+(36)^2+(38)^2+(43)^2+(42)^2 $

$ =1,600+1,681+1,296+1,444+1,849+1,764 $

$ =9,634 $

সুতরাং, $\Sigma \mathrm{x}_1^2>\Sigma \mathrm{y}_1^2$

অতএব উদ্দীপকের শিক্ষার্থীর বক্তব্যটি সঠিক ছিল।

মধ্যমা নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি :

N = 28।

মধ্যমা $=\frac{N}{2}=\frac{28}{2}=14$ তম পদ; যা ক্রমযোজিত গণসংখ্যা 20 এর বিপরীতে (20-25) শ্রেণিতে অবস্থিত।

সুতরাং, মধ্যমা শ্রেণি (20-25)।

L = মধ্যমা শ্রেণির নিম্নমান = 20

N = মোট গণসংখ্যা = 28

fm = মধ্যমা শ্রেণির গণসংখ্যা = 10

Fc = মধ্যমা শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির ক্রমযোজিত গণসংখ্যা = 10

C = মধ্যমা শ্রেণির শ্রেণি ব্যবধান = 5

আমরা জানি, মধ্যমা,

$ \mathrm{M}_{\mathrm{e}}=\mathrm{L}+\frac{\frac{\mathrm{N}}{2}-\mathrm{F}_{\mathrm{C}}}{f_{\mathrm{m}}} \times \mathrm{C} $

$ =20+\frac{14-10}{10} \times 5 $

$ =20+\frac{4}{10} \times 5 $

$ =20+\frac{20}{10}=20+2=22 $

সুতরাং, নির্ণেয় মধ্যমা $=22$.

N = 28; Σfx = 625।

Σ(f/x) = 1.335713।

শ্রেণির মধ্যমান ব্যবহার করে N=28, AM=22.321429, HM=20.962584, মধ্যমা=22, প্রচুরক=21.428571। এগুলো শ্রেণিভিত্তিক প্রাক্কলন।

HM নির্ণয়ে বিপরীত মানগুলোর যোগফল মাঝপথে গোল না করে শেষে গোল করা হয়েছে। সব মধ্যমান ধনাত্মক এবং এক নয় বলে AM>HM।

গাণিতিক গড় প্রান্তিক মান বা চরম মান দ্বারা প্রভাবিত হয়। ব্যাখ্যা : গাণিতিক গড় তথ্যসারির মধ্যক মান পরিমাপ করে এবং এটি সাধারণত তথ্যসারির মাঝামাঝি অবস্থান করে। কিন্তু তথ্যসারিতে যদি দু-একটি মান অন্যান্য মানের তুলনায় অপেক্ষাকৃত বেশ বড় বা ছোট হয় অর্থাৎ প্রান্তিক হয়, তবে গড় মানটি মধ্যক মানের যথার্থ পরিমাপ দিতে পারে না। এই প্রান্তিক মানটি যদি তথ্যসারির অন্যান্য মানের তুলনায় বেশ বড় হয় তবে গড় প্রকৃত মধ্যক মান অপেক্ষা বেশ বড় হয়। আবার প্রান্তিক মানটি যদি খুব ছোট হয় তবে গড় প্ৰকৃত মধ্যক মান অপেক্ষা ছোট হয়। সুতরাং বলা যায়, গাণিতিক গড় প্রান্তিক মান দ্বারা প্রভাবিত হয়।

উদাহরণস্বরূপ, মনে করা যাক, চট্টগ্রাম কমার্স কলেজের পাঁচজন ছাত্রের পরিসংখ্যানের নম্বর যথাক্রমে 40, 42, 45, 44, 99। এক্ষেত্রে ছাত্রদের গড় প্রাপ্ত নম্বর 54, যা কারো নম্বরেরই কাছাকাছি নয়। অর্থাৎ গড় নম্বর কারো নম্বরকেই সঠিকভাবে প্রতিনিধিত্ব করতে পারছে না। কারণ এখানে একটি প্রান্তিক মান 99 রয়েছে, যার ফলে গড় মানটি প্রান্তিক মানের দিকে প্রভাবিত হয়েছে। সুতরাং বলা যায়, গাণিতিক গড় প্রান্তিক মান দ্বারা প্রভাবিত হয়।

ধরা যাক, একজন শিক্ষার্থীর প্রাপ্ত নম্বর =a এবং অন্যজন শিক্ষার্থীর প্রাপ্ত নম্বর =b।

প্রশ্নমতে,

গাণিতিক গড়, A.M = 25

বা, $\frac{a+b}{2}=25$

$ \therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}=50 $ ......... (i)

এবং জ্যামিতিক গড়, G.M = 15

বা, $\sqrt{a b}=15$

বা, $a b=(15)^2$

$ \therefore a b=225 $ ........ (ii)

আমরা জানি, $(a-b)^2=(a+b)^2-4 a b$

$ =(50)^2-4 \times 225 $

$ =2500-900 $

$ =1600 $

বা, $a-b=\sqrt{1600}$

$ \therefore a-b=40 $ ...... (iii)

এখন, সমীকরণ (i) ও (iii) য়োগ করে পাই,

$ a+b+a-b=50+40 $

বা, $2 \mathrm{a}=90$

বা, $a=\frac{90}{2}$

$ \therefore a=45 $

আবার, সমীকরণ (i) নং হতে (iii) নং বিয়োগ করে পাই,

$ a+b-a+b=50-40 $

বা, $2 b=10$

বা, $b=\frac{10}{2}$

$ \therefore b=5 $

সুতরাং, একজন শিক্ষার্থীর প্রাপ্ত নম্বর 45 এবং অন্যজন শিকার্থীর প্রাপ্ত নম্বর 5।

‘গ’ হতে পাই, দুইজন শিক্ষার্থীর প্রাপ্ত নম্বর 45 এবং 5।

উদ্দীপক হতে পাই,

দুইজন শিক্ষার্থীর প্রাপ্ত নম্বরের গাণিতিক গড়, A.M = 25

এবং জ্যামিতিক গড়, G.M = 15

∴ শিক্ষার্থী দুইজনের প্রাপ্ত নম্বরের তরঙ্গ গড়,

$ H.M =\frac{2}{\frac{1}{45}+\frac{1}{5}}=\frac{2}{\frac{1+9}{45}}=\frac{2}{\frac{10}{45}}=2 \times \frac{45}{10}=9 $

এখন A.M $ \times H.M =25 \times 9=225 $

$ (G.M)^2=(15)^2=225 $

$\therefore A.M \times \text { H.M }=(G.M)^2 $

অতএব, উদ্দীপকের আলোকে শিক্ষার্থীর বক্তব্যের সাথে আমি একমত।

মধ্যমার মান ঋণাত্মক হতে পারে।

ব্যাখ্যা : কোনো তথ্যসারির মানগুলোকে ঊর্ধ্ব বা নিম্ন ক্রমানুসারে সাজানোর পর যে মানটি তথ্যসারিকে দুইটি সমান অংশে বিভক্ত করে, ঐ মানটিকে উক্ত তথ্যসারির মধ্যমা বলে। অর্থাৎ, মধ্যমা হলো তথ্যসারির মধ্যবর্তী মান।

উদাহরণস্বরূপ : ধরা যাক, একটি তথ্যসারির মানগুলোকে সাজানোর পর নিম্নলিখিত মানসমূহ পাওয়া গেল :

–10, –6, –3, 5, 12

এই তথ্যসারির মধ্যবর্তী মান –3।

সুতরাং, এই তথ্যসারির মধ্যমা –3।

অতএব বলা যায়, মধ্যমার মান ঋণাত্মক হতে পারে।

ধরা যাক, কারখানার ছয় দিনের উৎপাদনের পরিমাণের চলক,

$\mathrm{x}_{\mathrm{i}}=\{3010,3030,3050,3070,3090,3110\}$

$\therefore$ কারখানার ছয় দিনের উৎপাদনের গড়, $ \overline{\mathrm{x}}=\frac{\sum \mathrm{x}_1}{\mathrm{n}} $

$ =\frac{3010+3030+3050+3070+3090+3110}{6} $

$=\frac{18360}{6} $

$ =3060 $

এখানে,

মাপনী, c = সাধারণ অন্তর = 20

মূল, a = ১ম পদ - সাধারণ অন্তর

= 3010-20 = 2990

$\begin{aligned} & \mathrm{d}_{\mathrm{i}}=\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-\mathrm{a}}{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{i}}-2990}{20} \\ & \therefore \mathrm{d}_{\mathrm{i}}=\{1,2,3,4,5,6\} \\ & \therefore \text { নতুন চলকের গড়, } \overline{\mathrm{d}}=\frac{\Sigma \mathrm{d}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{n}} \\ & =\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=3.5\end{aligned}$

এখানে দেখা যায় যে, কারখানার উৎপাদনের গড়, $\bar{x}=3060$। কিন্তু মূল ও মাপনীর পরিবর্তনের ফলে উৎপাদনের গড়, $\bar{d}=3.5$ হয়। অর্থাৎ, মূল ও মাপনীর প্রভাবের ফলে গাণিতিক গড় ভিন্ন হয়। অতএব, গাণিতিক গড়ের উপর মূল ও মাপনীর পরিবর্তনের প্রভাব বিদ্যমান।