রাজশাহী বোর্ড ২০২৫

এইচএসসি · পরিসংখ্যান ১ম পত্র

রাজশাহী বোর্ড ২০২৫

৮টি প্রশ্ন রয়েছে। নিচে কয়েকটি নমুনা দেখো; সব প্রশ্ন, উত্তর ও ব্যাখ্যা পেতে সাবস্ক্রাইব করো।

একটি এলাকার সাতজন শিশুর বয়স 10, 12, 8, 7, 5, 6 ও 11 বছর।
১. পরিসংখ্যানের সংজ্ঞা দাও।
'কয়েকজন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে প্রাপ্ত নম্বরের গড় 60।' -এটা কি পরিসংখ্যান?'
প্রতিটি শিশুর বয়সের দ্বিগুণের সাথে 5 যোগ করে, যোগফলের সমষ্টি প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশপূর্বক নির্ণয় করো।
'তথ্যসারির মানসমূহের বর্গের সমষ্টি ও সমষ্টির বর্গ সমান নয়।'-উদ্দীপকের তথ্যের আলোকে গাণিতিকভাবে যাচাই করো।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
পরিসংখ্যান হলো বহুবিধ কারণ দ্বারা প্রভাবিত কোনো ঘটনা বা বিষয়ে অনুসন্ধান ক্ষেত্র হতে সংখ্যাত্মক তথ্য সংগ্রহ, প্রক্রিয়াকরণ, উপস্থাপন, বিশ্লেষণ এবং প্রাপ্ত ফলাফলের ব্যাখ্যাকরণের মাধ্যমে ঘটনা সম্পর্কিত সিদ্ধান্ত গ্রহণ করার বিজ্ঞান।
(খ)

'কয়েকজন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে প্রাপ্ত নম্বরের গড় 60'- এটা একটি পরিসংখ্যান।

ব্যাখ্যা: পরিসংখ্যান কোনো একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্যের অনুকূল তথ্যের সমষ্টি নিয়ে আলোচনা করে। পরস্পর সম্পর্কযুক্ত একাধিক তথ্যের সমাহার বা কোনো তথ্যের প্রতিনিধিত্বকারী একটি সংখ্যা পরিসংখ্যান হতে পারে। এখানে, 'কয়েকজন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানের প্রাপ্ত নম্বরের গড় 60' হলো সকল শিক্ষার্থীর প্রাপ্ত নম্বরের একটি প্রতিনিধিত্বকারী মান। অতএব, 'কয়েকজন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে প্রাপ্ত নম্বরের গড় 60-এটা একটি পরিসংখ্যান।
(গ)
$\sum(2x_i+5)=2(59)+7(5)=153$।
(ঘ)
$\sum x_i^2=539$ এবং $(\sum x_i)^2=59^2=3481$; তাই প্রদত্ত তথ্যের জন্য সমান নয়।

পাঁচজন শ্রমিকের মাসিক আয় ও ব্যায়ের তথ্য নিম্নরূপ :

ক্রম আয় (হাজার টাকা) ব্যয় (হাজার টাকা)
1 12 9
2 14 11
3 17 12
4 20 15
5 22 18
২. গুণবাচক চলক সংজ্ঞায়িত করো।
রক্তের গ্রুপ কোন ধরনের পরিমাপন স্কেল? ব্যাখ্যা করো।
উদ্দীপকের আলোকে $\sum \mathrm{x}_{\mathrm{i}} \mathrm{y}_{\mathrm{i}}$ নির্ণয় করো।
উদ্দীপকের আলোকে যাচাই করো যে, $\Sigma\left(x_i+y_i\right)=\left(\Sigma x_i+\Sigma y_i\right)$.
সমাধান ও উত্তর
(ক)
সমগ্রকের যেসব বৈশিষ্ট্যের মান এককভেদে গুণে পরিবর্তিত হয় এবং মানগুলোকে সংখ্যায় প্রকাশ করা যায় না, শুধুমাত্র কোনো বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে কতকগুলো শ্রেণিতে বিভক্ত করা যায়, তাকে গুণবাচক চলক বলে।
(খ)

রক্তের গ্রুপ হলো নামসূচক পরিমাপন স্কেল।

ব্যাখ্যা: যে পরিমাপন স্কেলের সাহায্যে তথ্যের কোনো বৈশিষ্ট্য, বস্তু বা ঘটনাকে চিহ্নিত করার জন্য একটি সংখ্যা ব্যবহার করে শ্রেণিকরণ করা হয়, তাকে নামসূচক পরিমাপন স্কেল বলে। এই স্কেলে বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য বা উপাদানকে কেবল বিভিন্ন শ্রেণিতে ভাগ করা হয় কিন্তু তাদের মধ্যে কোনো ক্রমানুসারে সাজানো বা তুলনা করা যায় না। রক্তের গ্রুপ A, B, AB এবং O এই চারটি শ্রেণিতে বিভক্ত, যেখানে একটি গ্রুপের সাথে অন্যটির কোনো গাণিতিক বা ক্রমিক সম্পর্ক নেই।
(গ)
প্রতিটি জোড়ার গুণফল108,154,204,300,396। এগুলোর যোগফল1162। অতএব $\sum x_iy_i=1162$।
(ঘ)
আয়ের সমষ্টি85, ব্যয়ের সমষ্টি65। জোড়া যোগফল21,25,29,35,40; সমষ্টি150। তাই $\sum(x_i+y_i)=150$ এবং $\sum x_i+\sum y_i=85+65=150$। যোগের রৈখিকতার কারণে উক্ত পরিচয় সঠিক।

**দৃশ্যকল্প-১: **দুইটি রাশির AM = 32 এবং HM = 8

**দৃশ্যকল্প-২: **একটি IQ টেস্টে ছয়জন শিক্ষার্থীর প্রাপ্ত স্কোর হলো নিম্নরূপ: 6, 8, 4, 3, 5, 4
একজন শিক্ষার্থী মন্তব্য করলো যে প্রতিটি স্কোর হতে তাদের গাণিতিক গড়ের বিয়োগফলের সমষ্টি হবে শূন্য।
৩. কেন্দ্রিয় প্রবণতার পরিমাপ কাকে বলে?
কখন জ্যামিতিক গড় নির্ণয় করা যায় না? ব্যাখ্যা করো।
দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে GM নির্ণয় করো।
দৃশ্যকল্প-২ এর আলোকে শিক্ষার্থীর মন্তব্য মূল্যায়ন করো।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
কোনো তথ্যসারির মধ্যক মান বা কেন্দ্রিয় মানের অবস্থান নির্ণয়ের জন্য যেসব গাণিতিক পরিমাপ ব্যবহার করা হয়, তাদেরকে কেন্দ্রিয় প্রবণতার পরিমাপ বলা হয়।
(খ)
প্রচলিত লগারিদমভিত্তিক জ্যামিতিক গড়ের জন্য সব মান ধনাত্মক হতে হয়। ঋণাত্মক মান থাকলে এ পদ্ধতি প্রযোজ্য নয়। অঋণাত্মক তথ্যের সরাসরি গুণফলভিত্তিক সংজ্ঞায় কোনো মান শূন্য হলে জ্যামিতিক গড় শূন্য হয়; কিন্তু লগ নেওয়া যায় না। প্রয়োজনীয় মান অজানা থাকলেও অতিরিক্ত তথ্য ছাড়া গড় নির্ণয় করা যায় না।
(গ)

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই, A. M = 32 এবং H. M = 8

আমরা জানি,

$(\mathrm{G} \cdot \mathrm{M})^2=\mathrm{A} . \mathrm{M} \times \mathrm{H} . \mathrm{M}=32 \times 8=256$

বা, $\mathrm{GM}=\sqrt{256}$

$\therefore \mathrm{G} . \mathrm{M}=16$

সুতরাং, $\mathrm{G} . \mathrm{M}=16$
(ঘ)
স্কোরগুলোর যোগফল30, সংখ্যা6; গড়5। গড় থেকে বিচ্যুতিগুলো1,3,−1,−2,0,−1; সমষ্টি0। সাধারণভাবেও $\sum(x_i-\bar x)=\sum x_i-n\bar x=0$। তাই শিক্ষার্থীর মন্তব্য সঠিক।

35 জন শিক্ষার্থীর পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন নিম্নরূপ :

শ্রেণি f
0–10 3
10–20 8
20–30 15
30–40 7
40–50 2

N = 35।
৪. মধ্যমা কাকে বলে?
একটি নিবেশনের কয়টি চতুর্থক থাকে? ব্যাখ্যা করো।
উদ্দীপকের আলোকে AM নির্ণয় করো।
উদ্দীপকের আলোকে Me ও Mo এর মান নির্ণয়পূর্বক তুলনা করো।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
কোনো তথ্যসারি বা নিবেশনের মানগুলোকে ঊর্ধ্ব বা নিম্নক্রমে সাজানোর পর যে মানটি তথ্যসারিকে দুটি সমান অংশে বিভক্ত করে ঐ মানটিকে উক্ত তথ্যসারির মধ্যমা বলে।
(খ)

একটি নিবেশনের তিনটি চতুর্থক থাকে।

ব্যাখ্যা: কোনো তথ্যসারি বা গণসংখ্যা নিবেশনের মানগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজানোর পর যে তিনটি মান উক্ত তথ্যসারি বা নিবেশনকে সমান চারভাগে বিভক্ত করে তাদেরকে চতুর্থক বলে। কোনো তথ্যসারিকে একটি সরলরেখা কল্পনা করে চতুর্থকসমূহের ব্যাখ্যা প্রদান করা হলো:

সাজানো তথ্যসারিতে Q₁-এর নিচে প্রায় ২৫%, Q₂-এর নিচে ৫০% এবং Q₃-এর নিচে ৭৫% মান থাকে। Q₁ < Q₂ < Q₃; মূল চিত্রে এই তিনটি অবস্থান ও নিম্নদিক থেকে সংশ্লিষ্ট শতাংশ নির্দেশ করা হয়েছে।

চিত্রে প্রদর্শিত $Q_1, Q_2$ এবং $Q_3$ বিন্দু তিনটি সরলরেখাকে সমান চার ভাগে বিভক্ত করেছে। যেখানে $Q_1, Q_2$ এবং $Q_3$ বিন্দু তিনটি সরলরেখাকে 1:3, 2:2 এবং 3:1 অনুপাতে বিভক্ত করে। এখানে, $Q_1$ কে ১ম চতুর্থক, $Q_2$ কে ২য় চতুর্থক = মধ্যমা এবং $Q_3$ কে ৩য় চতুর্থক বলা হয়। অর্থাৎ তথ্যসারিতে তিনটি চতুর্থক বিদ্যমান।

সুতরাং বলা যায়, কোনো তথ্যসারি বা নিবেশনে চারটি নয় বরং তিনটি চতুর্থক থাকে।
(গ)
শ্রেণি 0–10
মধ্যমান x 5
f 3
fx 15
শ্রেণি 10–20
মধ্যমান x 15
f 8
fx 120
শ্রেণি 20–30
মধ্যমান x 25
f 15
fx 375
শ্রেণি 30–40
মধ্যমান x 35
f 7
fx 245
শ্রেণি 40–50
মধ্যমান x 45
f 2
fx 90

N = 35; Σfx = 845।

শ্রেণি d = (x−A)/h fd
0–10 -2 -6
10–20 -1 -8
20–30 0 0
30–40 1 7
40–50 2 4

A = 25; h = 10; Σfd = -3।

শ্রেণি f ক্রমযোজিত f
0–10 3 3
10–20 8 11
20–30 15 26
30–40 7 33
40–50 2 35

N = 35।

শ্রেণির মধ্যমান ব্যবহার করে N=35, AM=24.142857, HM=17.696629, মধ্যমা=24.333333, প্রচুরক=24.666667। এগুলো শ্রেণিভিত্তিক প্রাক্কলন।
(ঘ)

শ্রেণির মধ্যমান ব্যবহার করে N=35, AM=24.142857, HM=17.696629, মধ্যমা=24.333333, প্রচুরক=24.666667। এগুলো শ্রেণিভিত্তিক প্রাক্কলন।

Me ও Mo এক নয়; দুটির অবস্থান ও সংজ্ঞা ভিন্ন।

রাজশাহী বোর্ড ২০২৫ আনলক করো

এই টেস্ট পেপারটি প্রিমিয়াম প্যাকেজের অন্তর্ভুক্ত। সব বহুনির্বাচনি ও লিখিত প্রশ্ন অনুশীলন করতে সাবস্ক্রাইব করো।
প্যাকেজ দেখো লগইন