সকল বোর্ড ২০২৬

কোনো বইয়ে প্রতি পৃষ্ঠায় ভুলের সংখ্যা হলো বিচ্ছিন্ন চলক।

যে চলক কেবল নির্দিষ্ট ও পৃথক মান (সাধারণত পূর্ণসংখ্যা) গ্রহণ করতে পারে এবং যার মান গণনা করে নির্ণয় করা হয়, তাকে বিচ্ছিন্ন চলক বলে। কোনো বইয়ের পৃষ্ঠায় ভুলের সংখ্যা গণনাযোগ্য এবং তা সবসময় পূর্ণসংখ্যায় হয় (যেমন- $০, ১, ২, ৩$ ইত্যাদি)। ভুলের সংখ্যা কখনো ভগ্নাংশ (যেমন $\mathrm{-১.৫}$ বা $২.৩$) হতে পারে না। যেহেতু এর মান কেবল পৃথক বা পূর্ণসংখ্যা হতে পারে, তাই এটি একটি বিচ্ছিন্ন চলক।

দেওয়া আছে,

পরিসংখ্যান ১ম পত্রের চলক,

$x_i=6,7,8,9,5$

এখানে, $x_1=6, x_2=7, x_3=8, x_4=9$

এবং $x_5=5$

এখন, $\sum_{i=1}^5\left(2 x_i+3\right)$

$=\left(2 x_1+3\right)+\left(2 x_2+3\right)+\left(2 x_3+3\right)+\left(2 x_4+3\right)+\left(2 x_5+3\right)$

$=(2 \times 6+3)+(2 \times 7+3)+(2 \times 8+3)+(2 \times 9+3)+(2 \times 5+3)$

$=(12+3)+(14+3)+(16+3)+(18+3)+(10+3)$

$=15+17+19+21+13$

$=85$

সুতরাং, $\sum_{i=1}^5\left(2 x_i+3\right)=85 \text {. }$

দেওয়া আছে,

পরিসংখ্যান ১ম পত্রের চলক,

$x_i=6,7,8,9,5$

এখানে, $x_1=6, x_2=7, x_3=8, x_4=9$

এবং $x_5=5$

এখন $\sum_{i=1}^5 x_i^2$

$=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+x_5^2$

$=6^2+7^2+8^2+9^2+5^2$

$=36+49+64+81+25$

$=255$

সুতরাং, $\sum_{i=1}^5 x_i^2=255$.

আবার, দেওয়া আছে,

পরিসংখ্যান ২য় পত্রের চলক,

$y_i=4,5,6,7,3$

এখানে, $y_1=4, y_2=5, y_3=6, y_4=7$

এবং $y_5=3$

এখন, $\sum_{i=1}^5 y_i^2$

$ =y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2+y_5^2$

$=4^2+5^2+6^2+7^2+3^2$

$ =16+25+36+49+9$

$=135$

সুতরাং, $\sum_{i=1}^5 y_i^2=135$.

যেহেতু, $255 > 135$

তাই, $\sum_{i=1}^5 x_i^2>\sum_{i=1}^5 y_i^2$

অর্থাৎ, উদ্দীপকে উল্লিখিত অনিকের বক্তব্যটি সঠিক।

প্রদত্ত20টি নম্বর:

85, 77, 72, 34, 58;

52, 42, 48, 66, 54;

41, 45, 56, 60, 64;

78, 57, 43, 74, 47।

সর্বনিম্ন34, সর্বোচ্চ85; তাই পরিসর $R=85-34=51$। শ্রেণিব্যাপ্তি10 নিলে $51/10=5.1$; সব মান অন্তর্ভুক্ত করতে6টি শ্রেণি নেওয়া হলো।

কোন শ্রেণির শিক্ষার্থীর সংখ্যা সর্বোচ্চ, তা প্রদর্শনের জন্য সবচেয়ে উপযুক্ত লেখচিত্র হলো আয়তলেখ $\text{(Histogram)}$। (গ) হতে প্রাপ্ত গণসংখ্যা নিবেশন সারণির সাহায্যে নিচে আয়তলেখ অঙ্কন করা হলো:

লেখচিত্র অঙ্কনের বিবরণ:ছক কাগজের $\text{(Graph paper)}$ $X-$অক্ষ বরাবর শ্রেণিব্যাপ্তি (নম্বর) এবং $Y-$অক্ষ বরাবর শিক্ষার্থীর সংখ্যা (গণসংখ্যা) স্থাপন করি। $X-$অক্ষের প্রতি $১$ ক্ষুদ্র বর্গঘর $= ১$ একক এবং $Y-$অক্ষের প্রতি $১$ ক্ষুদ্র বর্গঘর = $১$ একক ধরা হলো। মূলবিন্দু ($0$) থেকে $30$ পর্যন্ত ঘরগুলো ফাঁকা বোঝাতে ভাঙা চিহ্ন $\text{(Z-mark)}$ ব্যবহার করা হয়েছে।আয়তলেখ (নমুনা চিত্র):

না, প্রদত্ত তথ্যসারিটির ($20, 5, 15, 10$) প্রচুরক নির্ণয় করা সম্ভব নয়। অর্থাৎ, এই তথ্যসারির কোনো প্রচুরক নেই।

কোনো তথ্যসারিতে যে মানটি বা মানগুলো সর্বাধিকবার উপস্থিত থাকে, তাকে প্রচুরক বলে। প্রদত্ত তথ্যসারিতে বিদ্যমান মানগুলো হলো $5, 10, 15, 20$। এখানে প্রতিটি মানই কেবল একবার করে আছে। যেহেতু উপাত্তে কোনো সংখ্যাই সর্বাধিকবার বা একাধিকবার উপস্থিত নেই, তাই পরিসংখ্যানের সংজ্ঞানুসারে এই তথ্যসারির কোনো প্রচুরক নেই।

মধ্যমা নির্ণয়ের জন্য প্রয়োজনীয় যোজিত গণসংখ্যা সারণি নিচে দেওয়া হলো :

এখানে, মোট গণসংখ্যা $N = 60$
সুতরাং, মধ্যমা হবে $\frac{N}{2} = \frac{60}{2} = 30$ তম পদের মান।
যোজিত গণসংখ্যা সারণি থেকে দেখা যায়, $30$ তম পদটি $300-400$ শ্রেণির অন্তর্ভুক্ত।
অতএব, মধ্যমা শ্রেণি হলো $300-400$।

মধ্যমা নির্ণয়ের সূত্র হতে পাই: $Me = L + \frac{\frac{N}{2} - F_c}{f_m} \times c$

এখানে,
$L = 300$ (মধ্যমা শ্রেণির নিম্নসীমা)
$\frac{N}{2} = 30$
$F_c = 20$ (মধ্যমা শ্রেণির পূর্ববর্তী শ্রেণির যোজিত গণসংখ্যা)
$f_m = 20$ (মধ্যমা শ্রেণির গণসংখ্যা)
$c = 100$ (শ্রেণি ব্যবধান)

$Me = 300 + \frac{30 - 20}{20} \times 100$

$Me = 300 + \frac{10}{20} \times 100$

$Me = 300 + 50 = 350$
মধ্যমা: $350$

গাণিতিক গড় ($AM$) ও তরঙ্গ গড় ($HM$) নির্ণয়ের সারণি:

সারণি হতে পাই,

গাণিতিক গড়, $AM = \frac{\sum fx}{N} = \frac{20800}{60} = 346.67$

তরঙ্গ গড়, $HM = \frac{N}{\sum (f/x)} = \frac{60}{0.2004} = 299.40$

যেহেতু $346.67 > 299.40$, অর্থাৎ $AM > HM$। সুতরাং, উদ্দীপকে উল্লিখিত মিনার বক্তব্যটি সঠিক।

না, ভেদাংক কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না।

কোনো তথ্যসারির মানগুলো হতে তাদের গাণিতিক গড়ের ব্যবধানের বর্গের সমষ্টিকে মোট পদসংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে যে মান পাওয়া যায়, তাকে ভেদাংক বলে। গাণিতিকভাবে, ভেদাংক হলো ব্যবধানের বর্গের গড়।

যেহেতু যেকোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ সবসময় ধনাত্মক বা শূন্য হয় তাই গাণিতিক গড় থেকে উপাত্তের মানগুলোর ব্যবধানের বর্গের সমষ্টিও কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না। এই কারণে ভেদাংকের মান সবসময় অঋণাত্মক (ধনাত্মক বা শূন্য) হয়। যদি তথ্যসারির সবগুলো মান একই হয়, তবে ভেদাংক শূন্য হবে, কিন্তু কোনো অবস্থাতেই এটি ঋণাত্মক হবে না।

উদ্দীপক হতে পাই,

কারখানা A এর ক্ষেত্রে:

শ্রমিক সংখ্যা, $n_1=80$

গড় মজুরি, $\bar{x}_1=500$

পরিমিত ব্যবধান, $\sigma_1=50$

$\therefore$ ভেদাংক, $\sigma_1^2=(50)^2=2500$

কারখানা B এর ক্ষেত্রে:

শ্রমিক সংখ্যা, $n_2=60$

গড় মজুরি, $\bar{x}_2=550$

পরিমিত ব্যবধান, $\sigma_2=40$

$\therefore$ ভেদাংক, $\sigma_2^2=(40)^2=1600$

আমরা জানি, সম্মিলিত গড়,

$\bar{x}_c = \frac{n_1\bar{x}_1 + n_2\bar{x}_2}{n_1 + n_2}$

$\bar{x}_c = \frac{80 \times 500 + 60 \times 550}{80 + 60}$

$\bar{x}_c = \frac{40000 + 33000}{140}$

$\bar{x}_c = \frac{73000}{140} = 521.43 \text{ (প্রায়)}$

সম্মিলিত ভেদাংক,

$\sigma_c^2 = \frac{n_1(\sigma_1^2 + d_1^2) + n_2(\sigma_2^2 + d_2^2)}{n_1 + n_2}$

$\sigma_c^2 = \frac{80 \{2500 + (-21.43)^2\} + 60 \{1600 + (28.57)^2\}}{140}$

$\sigma_c^2 = \frac{80(2500 + 459.24) + 60(1600 + 816.24)}{140}$

$\sigma_c^2 = \frac{80(2959.24) + 60(2416.24)}{140}$
$\sigma_c^2 = \frac{236739.2 + 144974.4}{140}$

$\sigma_c^2 = \frac{381713.6}{140}$

$\sigma_c^2 = 2726.53 \text{ (প্রায়)}$

সম্মিলিত ভেদাংক $2726.53$।

উভয় কারখানার শ্রমিকের মজুরির সঙ্গতিপূর্ণতা যাচাই করার জন্য বিভেদাংক (CV) নির্ণয় করতে হবে। আমরা জানি, যে উপাত্তের বিভেদাংক অপেক্ষাকৃত কম, সেই উপাত্ত অধিক স্থিতিশীল বা সঙ্গতিপূর্ণ।

উদ্দীপক হতে পাই,

কারখানা A এর ক্ষেত্রে:

গড় মজুরি, $\bar{x}_1=500$

পরিমিত ব্যবধান, $\sigma_1=50$

$\therefore$ কারখানা A এর বিভেদাংক,

$CV(A) = \frac{\sigma_1}{\bar{x}_1} \times 100$

$CV(A) = \frac{50}{500} \times 100$

$CV(A) = 10\%$

কারখানা B এর ক্ষেত্রে:

গড় মজুরি, $\bar{x}_2=550$

পরিমিত ব্যবধান, $\sigma_2=40$

$\therefore$ কারখানা B এর বিভেদাংক,

$CV(B) = \frac{\sigma_2}{\bar{x}_2} \times 100$

$CV(B) = \frac{40}{550} \times 100$

$CV(B) = 7.27\% \text{ (প্রায়)}$

প্রাপ্ত ফলাফল হতে দেখা যায়, $CV(B) < CV(A)$, অর্থাৎ কারখানা $B$ এর মজুরির বিভেদাংক $\mathrm{(7.27\%)}$ কারখানা A এর মজুরির বিভেদাংকের $(10%)$ চেয়ে কম। যেহেতু কারখানা $B$ এর বিভেদাংক কম, তাই নির্দ্বিধায় বলা যায় কারখানা $B$ এর শ্রমিকের মজুরি অধিক সঙ্গতিপূর্ণ।