যশোর বোর্ড ২০২৩

এইচএসসি · পরিসংখ্যান ১ম পত্র

যশোর বোর্ড ২০২৩

৮টি প্রশ্ন রয়েছে। নিচে কয়েকটি নমুনা দেখো; সব প্রশ্ন, উত্তর ও ব্যাখ্যা পেতে সাবস্ক্রাইব করো।

কোনো শ্রেণি পরীক্ষায় পাঁচজন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যান বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বর (xi) : 5, 8, 10, 12 এবং 15। শ্রেণি শিক্ষক মন্তব্য করলেন, নম্বরগুলোর বর্গের সমষ্টি অপেক্ষা নম্বরগুলোর সমষ্টির বর্গ বড়।
১. পরিসংখ্যান কাকে বলে?
শিক্ষার্থীদের উচ্চতা কোন ধরনের পরিমাপন স্কেল? ব্যাখ্যা কর।
উদ্দীপকের আলোকে নম্বরের দ্বিগুণের সাথে তিন যোগ করে যোগফলের সমষ্টি নির্ণয় কর।
শ্রেণি শিক্ষকের মন্তব্যটি গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
পরিসংখ্যান হলো বহুবিধ কারণ দ্বারা প্রভাবিত কোনো ঘটনা বা বিষয়ে অনুসন্ধান ক্ষেত্র হতে সংখ্যাত্মক তথ্য সংগ্রহ, প্রক্রিয়াকরণ, উপস্থাপন, বিশ্লেষণ এবং প্রাপ্ত ফলাফলের ব্যাখ্যাকরণের মাধ্যমে ঘটনা সম্পর্কিত সিদ্ধান্ত গ্রহণ করার বিজ্ঞান।
(খ)

শিক্ষার্থীদের উচ্চতা অনুপাতিক পরিমাপন স্কেল।

ব্যাখ্যা : যে পরিমাপন স্কেলের সাহায্যে তথ্যের কোনো বৈশিষ্ট্যকে পূর্ব হতে নির্ধারিত কোনো আদর্শ মানের সাথে তুলনা করে পরিমাপ করা হয় এবং শূন্যকে পরম শূন্য বিবেচনা করা হয় তাকে আনুপাতিক পরিমাপন স্কেল বলে।

শিক্ষার্থীদের উচ্চতা আনুপাতিক পরিমাপন স্কেল। কারণ শিক্ষার্থীদের উচ্চতাগুলোকে ক্রম অনুসারে সাজানো যায়, মানগুলো গণনা ও শ্রেণিকরণযোগ্য। শিক্ষার্থীদের উচ্চতাগুলোর উপর সকল গাণিতিক প্রক্রিয়া যেমন-যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ ইত্যাদি প্রয়োগ করা যায়। অতএব, শিক্ষার্থীদের উচ্চতা আনুপাতিক পরিমাপন স্কেল।
(গ)
$\sum(2x_i+3)=2(50)+5(3)=115$।
(ঘ)
$\sum x_i^2=558$ এবং $(\sum x_i)^2=50^2=2500$; তাই শিক্ষকের মন্তব্য সঠিক।

কোনো এক কারখানার পাঁচজন শ্রমিকের মাসিক মজুরি (হাজার টাকায়) এবং মাসিক ব্যয় (হাজার টাকায়) নিচের সারণিতে দেয়া হলো :

ক্রম মজুরি x ব্যয় y
1 10 9
2 8 8
3 6 5
4 12 10
5 15 13
২. বিচ্ছিন্ন চলক কাকে বলে?
ফুটবল খেলায় গোলের সংখ্যা কোন ধরনের চলক? ব্যাখ্যা কর।
উদ্দীপকের তথ্য ব্যবহার করে $\sum_{i=1}^5\left(x_i-10\right)^2$ এর মান নির্ণয় কর।
উদ্দীপকের আলোকে, $\sum_{i=1}^5 x_i y_i$ এবং $\left(\sum_{i=1}^5 x_i\right)\left(\sum_{i=1}^5 y_i\right)$ মান সমান কি-না? বিশ্লেষণপূর্বক যাচাই কর।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
যে সংখ্যাবাচক চলকের সম্ভাব্য মানগুলো পৃথক ও গণনাযোগ্য, তাকে বিচ্ছিন্ন চলক বলে। মান পূর্ণসংখ্যা হওয়া বাধ্যতামূলক নয়; গণনাযোগ্য ভগ্নাংশ মানও হতে পারে।
(খ)

ফুটবল খেলায় গোলের সংখ্যা একটি বিচ্ছিন্ন চলক।

ব্যাখ্যা : যে সংখ্যাবাচক চলক কেবলমাত্র গণনাযোগ্য পৃথক পৃথক পূৰ্ণ ও ভগ্নাংশ মান গ্রহণ করে তাকে বিচ্ছিন্ন চলক বলে।

ফুটবল খেলায় গোলের সংখ্যা গণনাযোগ্য পূর্ণ সংখ্যা হয়। অতএব ফুটবল খেলায় গোলের সংখ্যা একটি বিচ্ছিন্ন চলক।
(গ)

উদ্দীপক হতে পাই,

মজুরি (xi) : 10, 8, 6, 12, 15

এখানে, $x_1=10, x_2=8, x_3=6, x_4=12$

এবং $x_5=15$

এখন, $\sum_{i=1}^5\left(x_i-10\right)^2$

$ = \left(x_1-10\right)^2+\left(x_2-10\right)^2$

$+\left(x_3-10\right)^2+\left(x_4-10\right)^2+\left(x_5-10\right)^2 $

$ = (10-10)^2+(8-10)^2+(6-10)^2$

$+(12-10)^2+(15-10)^2 $

$ = (0)^2+(-2)^2+(-4)^2+(2)^2+(5)^2 $

$ = 0+4+16+4+25=49 $
(ঘ)

উদ্দীপক হতে পাই,

মজুরি $\left(x_i\right): 10,8,6,12,15$

ব্যয় $\left(y_i\right): 9,8,5,10,13$

এখানে, $x_1=10, x_2=8, x_3=6, x_4=12$

এবং $x_5=15$

$ y_1=9, y_2=8, y_3=5, y_4=10 $

এবং $ y_5=13 $

এখন, $\sum_{i=1}^5 x_i y_i=x_1 y_1+x_2 y_2$

$+x_3 y_3+x_4 y_4+x_5 y_5$

$ =(10 \times 9)+(8 \times 8)+(6 \times 5)$

$+(12 \times 10)+(15 \times 13) $

$ =90+64+30+120+195=499 $

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^5 x_i & =x_1+x_2+x_3+x_4+x_5 \\ & =10+8+6+12+15 \\ & =51\end{aligned}$

$\sum_{i=1}^5 y_i=y_1+y_2+y_3+y_4+y_5$

$\begin{aligned} & =9+8+5+10+13 \\ & =45\end{aligned}$

$\therefore\left(\sum_{i=1}^5 x_i\right) $

$\left(\sum_{i=1}^5 y_i\right)=51 \times 45=2295$

এখানে, $\sum_{i=1}^5 x_i y_i \neq\left(\sum_{i=1}^5 \mathrm{x}_i\right)\left(\sum_{i=1}^5 y_i\right)$

অতএব, উদ্দীপরের আলোকে,

$\sum_{i=1}^5 x_i y_i$ এবং $\left(\sum_{i=1}^5 \mathrm{x}_i\right)\left(\sum_{i=1}^5 y_i\right)$

এর মান সামন নয়।

চা বাগানের 50 জন শ্রমিকের প্রতি ঘন্টায় মজুরি নিম্নরূপ :

শ্রেণি f
10–15 8
15–20 12
20–25 15
25–30 10
30–35 5

N = 50।
৩. চতুর্থক কাকে বলে?
সর্বোচ্চ গনসংখ্যাটি একাধিক শ্রেণিতে বিদ্যমান থাকলে প্রচুরক নির্ণয় করা কি সম্ভব? ব্যাখ্যা কর।
উদ্দীপকের আলোকে মধ্যমা নির্ণয় কর।
গাণিতিক গড় ও প্রচুরক নির্ণয়পূর্বক নিবেশনটির আকৃতি সম্পর্কে মন্তব্য কর।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
কোনো তথ্যসারির মানগুলোকে মানের ক্রমানুসারে সাজানের পর যে তিনটি মান উক্ত তথ্যসারিকে সমান চারভাগে বিভক্ত করে তাদেরকে চতুর্থক বলে।
(খ)
একাধিক শ্রেণির গণসংখ্যা সমান ও সর্বাধিক হলে একাধিক প্রচুরক শ্রেণি বা সমতল শীর্ষ থাকতে পারে; একটি প্রচুরক ইচ্ছামতো নির্বাচন করা উচিত নয়। প্রথম বা শেষ শ্রেণি প্রচুরক হলে প্রচলিত অন্তর্বেশন সূত্রে প্রয়োজনীয় প্রতিবেশী গণসংখ্যা অনুপস্থিতও থাকতে পারে। $Mo\approx3Me-2AM$ একটি আনুমানিক সম্পর্ক; এটি ব্যবহার করলেই সব ক্ষেত্রে যথার্থ প্রচুরক পাওয়া যায় না।
(গ)

মধ্যমা নির্ণয়ের প্রয়োজনীয় সারণি :

শ্রেণি f ক্রমযোজিত f
10–15 8 8
15–20 12 20
20–25 15 35
25–30 10 45
30–35 5 50

N = 50।

মধ্যমা শ্রেণি $ = \frac{N}{2}=\frac{50}{2}=2 $ তম পদ, যা (20–25) শ্রেণিতে অবস্থিত। সুতরাং, মাধ্যমা শ্রেণি (20–25)

এখানে, $a=22.5$

$ N=50 $

$ f_m=15 $

$ F_C=20 $

$ C=5 $

আমরা জানি, মধ্যমা =

$\begin{aligned} =\mathrm{L}_1+\frac{\frac{\mathrm{N}}{2}-\mathrm{F}_{\mathrm{c}}}{f_{\mathrm{m}}} \times \mathrm{C} \\ & =20+\frac{25-20}{15} \times 5 \\ & =20+\frac{5}{15} \times 5 \\ & =20+\frac{25}{15} \\ & =20+1.67 \\ & =21.67\end{aligned}$

নির্ণেয় মধ্যমা = 21.67
(ঘ)
শ্রেণি 10–15
মধ্যমান x 12.5
f 8
fx 100
শ্রেণি 15–20
মধ্যমান x 17.5
f 12
fx 210
শ্রেণি 20–25
মধ্যমান x 22.5
f 15
fx 337.5
শ্রেণি 25–30
মধ্যমান x 27.5
f 10
fx 275
শ্রেণি 30–35
মধ্যমান x 32.5
f 5
fx 162.5

N = 50; Σfx = 1085।

শ্রেণি d = (x−A)/h fd
10–15 -2 -16
15–20 -1 -12
20–25 0 0
25–30 1 10
30–35 2 10

A = 22.5; h = 5; Σfd = -8।

শ্রেণির মধ্যমান ব্যবহার করে N=50, AM=21.7, HM=19.921402, মধ্যমা=21.666667, প্রচুরক=21.875। এগুলো শ্রেণিভিত্তিক প্রাক্কলন।

গড় ও প্রচুরকের তুলনায় ঋণাত্মক বঙ্কিমতার ইঙ্গিত পাওয়া যায়।
কোনো শ্রেণির ছয়জন শিক্ষার্থীর শ্রেণি পরীক্ষায় বাংলা বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বর : 7, 10, 8, 12, 13 এবং 10। একজন শিক্ষার্থী মন্তব্য করল, নম্বরগুলোর ক্ষেত্রে, AM × HM = GM2।
৪. যোজিত গড়ের সংজ্ঞা দাও।
কখন গাণিতিক গড় নির্ণয় করা যায় না? ব্যাখ্যা কর।
উদ্দীপকের আলোকে দেখাও যে, গাণিতিক গড় হতে নম্বরগুলোর ব্যবধানের বর্গের সমষ্টি ক্ষুদ্রতর।
শিক্ষার্থীর মন্তব্যটি বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
কোনো তথ্যসারিতে যতগুলো মান থাকে তাদের সমষ্টিকে মোট পদসংখ্যা দ্বারা ভাগ করে যে মান পাওয়া যায়, তাকে উক্ত তথ্যসারির যোজিত গড় বা গাণিতিক গড় বলে।
(খ)
কোনো খোলা প্রান্তের সীমা না জানা থাকলে সংশ্লিষ্ট শ্রেণির মধ্যমান জানা যায় না; অতিরিক্ত অনুমান ছাড়া শ্রেণিভিত্তিক গাণিতিক গড় নির্দিষ্টভাবে নির্ণয় করা যায় না। অন্যদিকে মধ্যমা বা প্রচুরক নির্ণয়ও তখনই সম্ভব, যখন প্রয়োজনীয় শ্রেণিসীমা ও সংশ্লিষ্ট গণসংখ্যা জানা থাকে।
(গ)

গড় = 10; N = 6।

x 7
f 1
x−গড় -3
f(x−গড়)² 9
x 10
f 1
x−গড় 0
f(x−গড়)² 0
x 8
f 1
x−গড় -2
f(x−গড়)² 4
x 12
f 1
x−গড় 2
f(x−গড়)² 4
x 13
f 1
x−গড় 3
f(x−গড়)² 9
x 10
f 1
x−গড় 0
f(x−গড়)² 0
x f(x−গড়)³ f(x−গড়)⁴
7 -27 81
10 0 0
8 -8 16
12 8 16
13 27 81
10 0 0
ঘাত কেন্দ্রীয় বিচ্যুতির ঘাতের যোগফল
1 0
2 26
3 0
4 194
x (x−7)²
7 0
10 9
8 1
12 25
13 36
10 9

Σ(x−7)² = 80।

গড়10। a=7নিলে Σ(x−10)²=26, Σ(x−7)²=80। সাধারণভাবে $\sum(x_i-a)^2=\sum(x_i-\bar x)^2+n(a-\bar x)^2$; তাই গড় থেকে বর্গবিচ্যুতির সমষ্টি ক্ষুদ্রতম।
(ঘ)

AM=10, HM=9.552413, GM=9.777296।

AM×HM=95.524129, GM²=95.59552। পূর্ণ নির্ভুলতায় মান সমান নয়; উৎসের আগে গোল করার কারণে একই95.5দেখানো হয়েছিল। দুই ধনাত্মক সংখ্যার জন্য পরিচয়টি সত্য, ছয় সংখ্যার জন্য সাধারণ পরিচয় নয়।

যশোর বোর্ড ২০২৩ আনলক করো

এই টেস্ট পেপারটি প্রিমিয়াম প্যাকেজের অন্তর্ভুক্ত। সব বহুনির্বাচনি ও লিখিত প্রশ্ন অনুশীলন করতে সাবস্ক্রাইব করো।
প্যাকেজ দেখো লগইন