দিনাজপুর বোর্ড ২০২৩

যদি P(A) = 0.66 হয়, তবে ‘A’ হবে একটি অনিশ্চিত ঘটনা।

ব্যাখ্যা : মূলত যা ঘটতে পারে, তাকে অনিশ্চিত ঘটনা বলে। অনিশ্চিত ঘটনা ঘটবার ক্ষেত্রে পরিপূর্ণ নিশ্চয়তা থাকে না। অর্থাৎ, যে ঘটনাটি ঘটতেও পারে আবার নাও ঘটতে পারে, তাকে অনিশ্চিত ঘটনা বলে। অনিশ্চিত ঘটনার সম্ভাবনার মান শূন্যের (0) চেয়ে বড় কিন্তু 1 থেকে ছোট হয়। এখানে, ‘A’ ঘটনার সম্ভাবনা 0.66; যা 0 থেকে বড় কিন্তু 1 থেকে ছোট। অতএব, 'A' ঘটনার সম্ভাবনা 0.66 হলে A হবে একটি অনিশ্চিত ঘটনা।

একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা দুইবার নিক্ষেপ পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্রটি হবে, S = {HH, HT, TH, TT}

নমুনাক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, n(S) = 2² = 4টি।

ধরা যাক, A = সবগুলো মাথা পাওয়ার ঘটনা

A ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো : HH

$ \therefore n(A) = 1 $

$ \therefore P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{4} $

সুতরাং, সবগুলো মাথা পাওয়ার সম্ভাবনা, $ P(A) = \frac{1}{4} $

মুদ্রা ও ছক্কার সমসম্ভাব্য নমুনাক্ষেত্র S={H1,…,H6,T1,…,T6}; মোট 12টি ফল।

A=মুদ্রায় হেড এবং B=ছক্কায় জোড় সংখ্যা হলে P(A)=6/12=1/2 এবং P(B)=6/12=1/2।

যৌথ ঘটনার অনুকূল H2,H4,H6, তাই P(A∩B)=3/12=1/4=P(A)P(B)।

অতএব A ও B স্বাধীন। উৎসের একই চিহ্নের একাধিক OCR রূপ এবং বাক্যগত বিকৃতি সরানো হয়েছে।

“যদি A = {1, 3, 5} এবং B = {3, 6} হয়, তবে A ও B ঘটনা দুটি পরস্পর বর্জনশীল হতে পারে না।”

ব্যাখ্যা : যদি দুইটি ঘটনার মধ্যে কোনো সাধারণ নমুনা বিন্দু না থাকে তবে ঘটনা দুইটিকে পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা বলে। এখানে, ঘটনা A ও B এর মধ্যে সাধারণ নমুনা বিন্দু 3। যেহেতু A ও B ঘটনা দুটির মধ্যে সাধারণ নমুনা বিন্দু 3 রয়েছে। তাই A ও B ঘটনা দুটি পরস্পর বর্জনশীল হতে পারে না।

দুটি নিরপেক্ষ ছক্কার মোট সমসম্ভাব্য ফল 6²=36টি। একই সংখ্যা হওয়ার ফল (1,1),(2,2),…,(6,6)—মোট 6টি।

তাই P(একই সংখ্যা)=6/36=1/6।

উদ্দীপকে যোগফল 4-এর বেশি চাওয়া হয়েছে। যোগফল 4 বা কম হওয়ার ফল (1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1)—মোট 6টি।

অতএব P(যোগফল>4)=1−6/36=30/36=5/6≈83.33%।

উৎসের 10টি ফলের তালিকাটি আসলে যোগফল 8-এর বেশি হওয়ার ঘটনা; তার সম্ভাবনা 10/36≈27.78%।

সুতরাং আক্ষরিক >4 শর্তের জন্য মি. মনিরের 28% বক্তব্য সঠিক নয়। প্রশ্নে অনুল্লিখিত >8 শর্ত বসানো হয়নি।

দৈব চলক ঋণাত্মক হতে পারে

ব্যাখ্যা : যে চলক একটি দৈব পরীক্ষার ফলাফলটিকে পরিমাপ করে এবং যার প্রতিটি মানের একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা থাকে তাকে দৈব চলক বলে। দৈব চলকের মান ধনাত্মক, ঋণাত্মক এবং শূন্য হতে পারে। একটি উদাহরণের সাহায্যে দেখানো হলো। যদি বৃষ্টি হয় তবে একজন ছাতা বিক্রেতা প্রতিদিন 4000 টাকা লাভ করতে পারে। আর যদি বৃদ্ধি না হয় তবে প্রতিদিন তার 1000 টাকা ক্ষতি হয়। এখানে, প্রাপ্ত লাভ বা ক্ষতির পরিমাণ দৈব চলক x হলে, x এর মান হবে x : 4000 এবং – 1000। অর্থাৎ দৈব চলকের মান ধনাত্মক ও ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।

অতএব, বলা যায়, দৈব চলক ঋণাত্মক হতে পারে।

উদ্দীপক হতে পাই, একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক y এর সম্ভাবনা ফাংশন, $ P(y) = \frac{y\ +\ 1}{k} ; y = 1, 2, 3, 4 $

এখন, y এর সম্ভাবনা বিন্যাস নিম্নরূপ :

আমরা জানি,

$ \sum_{y=1}^4 P(y)=1 $

বা, $\mathrm{P}(\mathrm{y}=1)+\mathrm{P}(\mathrm{y}=2)+\mathrm{P}(\mathrm{y}=3)+\mathrm{P}(\mathrm{y}=4)=1$

বা, $\frac{2}{\mathrm{k}}+\frac{3}{\mathrm{k}}+\frac{4}{\mathrm{k}}+\frac{5}{\mathrm{k}}=1$

বা, $\frac{2+3+4+5}{k}=1$

বা, $\frac{14}{\mathrm{k}}=1$

$ \therefore \mathrm{k}=14 $

সুতরাং, $k=14$

গ অংশে স্বাভাবিকীকরণ থেকে k=14 পাওয়া যায়। k=20 বসালে চারটি ভরের যোগফল (2+3+4+5)/20=14/20=0.7≠1; তাই প্রদত্ত সমর্থনের ওপর এটি বৈধ সম্ভাবনা বিন্যাস নয়।

শুধু আনুষ্ঠানিকভাবে যোগ করলে >2-এর ভর 9/20 এবং <3-এর ভর 5/20, কিন্তু অসম্পূর্ণ ভরগুলোকে বৈধ সম্ভাবনা বলা যায় না। উৎসের উত্তরে > ও <-কে ≥ ও ≤-তে বদলে দেওয়া হয়েছিল।

সংশোধিত বৈধ k=14 ব্যবহার করলে P(Y>2)=(4+5)/14=9/14 এবং P(Y<3)=(2+3)/14=5/14, তাই অসমতা সত্য।

অনুল্লিখিত অতিরিক্ত ফলের জন্য অবশিষ্ট 0.3 সম্ভাবনা উদ্ভাবন করা হয়নি; k=20-এর অসংগত শর্তটি পর্যালোচনার জন্য চিহ্নিত।

V(3) = E(3) - এটি সম্ভব নয়।

ব্যাখ্যা : আমরা জানি, কোনো ধ্রুবকের গাণিতিক প্রত্যাশা ঐ ধ্রুবকের সমান। এখানে, 3 একটি ধ্রুবক। সুতরাং, E(3) = 3। আবার, কোনো ধ্রুবকের ভেদাঙ্ক শুন্যের সমান। অর্থাৎ, V(3) = 0।

সুতরাং V(3) ≠ E(3)।

অতএব, V(3) = E(3) - এটি সম্ভব নয়।

দেওয়া আছে,

একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক y এর সম্ভাবনা বিন্যাস :

এখন, $ F(2) = P(x \le 2) $

= P(y = - 3) + P( y = - 2 ) + P( y = -1) + P( y = 0 ) + P( y = 1 ) + P( y = 2 )

= 0.1+0.15 +0.1 +0.4 +0.2 +0.05

= 1

$F(-2) = P(x \le - 2) = P( y = - 3) + P( y = - 2)$

= 0.1+0.15

= 0.25

$ \therefore F(2) - F(-2) = 1 - 0.25 $

= 0.75

সুতরাং, F(2) - F(-2) = 0.75.

দেওয়া আছে,

একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক y এর সম্ভাবনা বিন্যাস :

আমরা জানি,

$ \mathrm{E}(\mathrm{y})= \sum \mathrm{y} P(\mathrm{y}) $

$ =(-3 \times 0.1)+(-2 \times 0.15)+(-1 \times 0.1)+(0 \times 0.4) +(1 \times 0.2)+(2 \times 0.05) $

$ =-0.3-0.3-0.1+0+0.2+0.1 $

$ =-0.4 $

আবার, $\mathrm{V}(\mathrm{y})=\mathrm{E}\left(\mathrm{y}^2\right)-\{\mathrm{E}(\mathrm{y})\}^2$

এখান, $\mathrm{E}\left(\mathrm{y}^2\right)=\Sigma \mathrm{y}^2 \mathrm{P}(\mathrm{y})$

= $ \left\{(-3)^2 \times 0.1\right\}+\left\{(-2)^2 \times 0.15\right\}+\left\{(-1)^2 \times 0.1\right\} +\left\{(0)^2 \times 0.4\right\}+\left\{(1)^2 \times 0.2\right\}+\left\{(2)^2 \times 0.05\right\} $

= $ (9 \times 0.1)+(4 \times 0.15)+(1 \times 0.1)+(0 \times 0.4) +(1 \times 0.2)+(4 \times 0.05) $

= $ 0.9+0.6+0.1+0+0.2+0.2 $

= $ 2 $

$ \therefore V(y) =E\left(y^2\right)-\{E(y)\}^2 $

$ =2-(0.4)^2 $

$ =2-0.16 $

$ =1.84 $

এখানে, $E(y)\lt V(y)$

সুতরাং, উদ্দীপক অনুসারে E(y) > V(y) গাণিতিক সম্পর্কটি সঠিক নয়।