কুমিল্লা বোর্ড ২০২২

এইচএসসি · পরিসংখ্যান ২য় পত্র

কুমিল্লা বোর্ড ২০২২

৮টি প্রশ্ন রয়েছে। নিচে কয়েকটি নমুনা দেখো; সব প্রশ্ন, উত্তর ও ব্যাখ্যা পেতে সাবস্ক্রাইব করো।

একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হলো। আসিফ মন্তব্য করল “ছক্কায় জোড় সংখ্যা ও মুদ্রায় টেল পাবার ঘটনাদ্বয় স্বাধীন।
১. নমুনাক্ষেত্র কী ?
P(A) = 1 : ব্যাখ্যা কর।
মুদ্রায় হেড ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাবার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
আসিফের মন্তব্য যাচাই কর।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
কোনো দৈব পরীক্ষার সকল সম্ভাব্য ফলাফলের সেটকে নমুনাক্ষেত্র বলে। একে সাধারণত S দ্বারা সূচিত করা হয়।
(খ)
P(A) = 1 এর অর্থ, A একটি নিশ্চিত ঘটনা। কেননা আমরা জানি, নিশ্চিত ঘটনার সম্ভাবনা 1।
(গ)

একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা ও একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ পরীক্ষার নুমনাক্ষেত্র S হলো নিম্নরূপ :

নমুনাক্ষেত্র S={H1,H2,H3,H4,H5,H6,T1,T2,T3,T4,T5,T6}। প্রথম চিহ্ন মুদ্রার H বা T, পরের সংখ্যা ছক্কার 1–6 ফল নির্দেশ করে।

$\therefore \quad$ নমুনাক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, $n(S)=12$ টি।

ধরা যাক, $A=$ মুদ্রায় হেড ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাবার ঘটনা।

$\mathrm{A}$ ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুসমূহ $=\mathrm{H} 1, \mathrm{H} 3, \mathrm{H} 5$

$n(A)=3$

$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$

$\therefore $ মুদ্রায় হেড ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাবার সম্ভাবনা $\frac{1}{4}$
(ঘ)

‘গ’ এর সারণি ব্যবহার করে-

ধরি, $A=$ ছক্কায় জোড় সংখ্যা পাবার ঘটনা

এবং B = মুদ্রায় টেল পাবার ঘটনা।

$\therefore A$ ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, $n(A)=6$

$\therefore \mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{A})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

$\therefore B$ ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, $n(B)=6$

$\therefore \mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{B})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

$\mathrm{A}$ ও $\mathrm{B}$ এর অনুকূল নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, $\mathrm{n}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=3$

$\therefore P(A \cap B)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$

এখানে, $\mathrm{A} 3 \mathrm{~B}$ ঘটনা দুইটি স্বাধীন হবে,

যদি $\mathrm{P}(\mathrm{A}) \times \mathrm{P}(\mathrm{B})=\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})$ হয়।

এখন, $P(A) \times P(B)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

$ P(A) \times P(B)=P(A \cap B) $

সুতরাং, A ও B ঘটনা দুইটি স্বাধীন। অর্থাৎ, "ছক্কায় জোড় সংখ্যা ও মুদ্রায় টেল পাবার ঘটনাদ্বয় স্বাধীন।

অতএব, আসিফের মন্তব্যটি যথার্থ ছিল।
রনি 6টি লাল বল ও 4টি সাদা বল হতে 2টি বল দৈবভাবে উত্তোলন করে বলল যে, বলদ্বয় লাল অথবা বলদ্বয় একই রং এর পাবার সম্ভাবনা সমান।
২. চেষ্টা কী?
P(A) = 0 ব্যাখ্যা কর।
বল দুটি ভিন্ন রঙের হবার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
রনির মন্তব্য মূল্যায়ন কর।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
নির্দিষ্ট কিছু শর্তসাপেক্ষে কোনো কাজ একবার সম্পাদন করা হলে সে কাজকে চেষ্টা বা ট্রায়াল বলে।
(খ)
P(A) = 0 এর অর্থ, A একটি অসম্ভব ঘটনা। কেননা আমরা জানি, অসম্ভব ঘটনার সম্ভাবনা 0।
(গ)
পুনঃস্থাপন ছাড়া 10 বলথেকে 2 বল নেওয়ায় মোট $\binom{10}2=45$সমসম্ভাব্য বাছাই। ভিন্নরঙের বাছাই $6\times4=24$। তাই সম্ভাবনা $24/45=8/15$।
(ঘ)
দুইলালের সম্ভাবনা $\binom62/\binom{10}2=15/45=1/3$। দুইএকইরঙের সম্ভাবনা $[\binom62+\binom42]/\binom{10}2=(15+6)/45=7/15$। মানদুটি সমান নয়, তাই রনির মন্তব্য ভুল।
নিপা তিনটি মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করল। x দৈবচলক মুদ্রায় হেডের সংখ্যা নির্দেশ করে । সে বলল যে, P(0 ≤ x ≤ 1) = P(2 ≤ x ≤ 3 )
৩. দৈবচলক কী?
সম্ভাবনা বিন্যাস ও বিন্যাস অপেক্ষক এক নয়— ব্যাখ্যা কর।
দৈবচলক এর সম্ভাবনা বিন্যাস নির্ণয় কর।
নিপার মন্তব্য যাচাই কর।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
যে চলক একটি দৈব পরীক্ষার ফলাফলকে পরিমাপ করে এবং যার প্রতিটি মানের একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা থাকে তাকে দৈব চলক বলে।
(খ)
বিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রে PMF $p(x)=P(X=x)$প্রতিটি নির্দিষ্ট মানের সম্ভাবনা দেয়, আর CDF $F(t)=P(X\le t)=\sum_{x\le t}p(x)$ক্রমসঞ্চিত সম্ভাবনা দেয়। তাই একই তথ্যের সঙ্গে সম্পর্কিত হলেও তারা একই ফাংশন নয়। অবিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রে CDFওসংজ্ঞায়িত; ঘনত্ব থাকলে সেটি সমাকলন করে পাওয়া যায়।
(গ)

একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনাক্ষেত্র S হবে নিম্নরূপ :

তিন নিক্ষেপের নমুনাক্ষেত্র S={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}। প্রতিটি অবস্থান যথাক্রমে প্রথম, দ্বিতীয় ও তৃতীয় মুদ্রা-নিক্ষেপ নির্দেশ করে।

∴ নমুনাক্ষেত্রের মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, n(S)=2^3=8 টি।

উপরের পিঠে প্রাপ্ত হেডের সংখ্যার চলক x হলে, x এর মানগুলো হবে 0,1,2,3।

সুতরাং, চলক x এর সম্ভাবনা বিন্যাসটি হবে নিম্নরূপ :

x P(x)
0 1/8
1 3/8
2 3/8
3 1/8
(ঘ)
তিনটি নিরপেক্ষ স্বাধীন মুদ্রার জন্য $X\sim\mathrm{Bin}(3,1/2)$; সম্ভাবনাগুলো $1/8,3/8,3/8,1/8$। তাই $P(0\le X\le1)=1/8+3/8=1/2$এবং $P(2\le X\le3)=3/8+1/8=1/2$। অতএব এই মডেলে নিপার মন্তব্য সঠিক। উৎসের সমানমান দেখানোর পর “সঠিক ছিল না”লেখা উল্টো উপসংহার।

একটি দৈবচলকের সন্ডাবনা বিন্যাস নিম্নরূপ :

x P(x)
0 0.20
1 0.40
2 0.35
3 0.05
৪. দৈবচলকের ভেদাঙ্ক কী?
ভেদাঙ্কের মান ঋণাত্মক নয়—ব্যাখ্যা কর।
E(x) নির্ণয় কর।
$ E(x^2 )>\{E(x)\}^2 $ যাচাই কর।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
একটি দৈব চলকের মান ও এর গাণিতিক প্রত্যাশার ব্যবধানের বর্গের প্রত্যাশিত মানকে ঐ দৈব চলকের ভেদাঙ্ক বলে।
(খ)
ভেদাঙ্ক $V(X)=E[(X-E(X))^2]\ge0$, কারণ বর্গ অঋণাত্মক। এটি সর্বদা ধনাত্মক নয়; $X$প্রায়নিশ্চিতভাবে ধ্রুবক হলে ভেদাঙ্ক 0। অ-অবক্ষয়িত ও সসীমভেদাঙ্কের চলকে এটি ধনাত্মক।
(গ)

আমরা জানি, $\mathrm{E}(\mathrm{x})=\sum_{\mathrm{x}=0}^3 \mathrm{xP}(\mathrm{x})$

$ =(0 \times 0.2)+(1 \times 0.4)+(2 \times 0.35)+(3 \times 0.05) $

$ =0+0.4+0.70+0.15=1.25$

নির্ণেয় $\mathrm{E}(\mathrm{x})=1.25$.
(ঘ)
উদ্দীপকের PMFথেকে $E(X)=1.25$, তাই $[E(X)]^2=1.5625$। আর $E(X^2)=0^2(0.2)+1^2(0.4)+2^2(0.35)+3^2(0.05)=2.25$। সুতরাং $2.25>1.5625$; ব্যবধান $V(X)=0.6875>0$। সম্পর্কটি এই বিন্যাসে সত্য।

কুমিল্লা বোর্ড ২০২২ আনলক করো

এই টেস্ট পেপারটি প্রিমিয়াম প্যাকেজের অন্তর্ভুক্ত। সব বহুনির্বাচনি ও লিখিত প্রশ্ন অনুশীলন করতে সাবস্ক্রাইব করো।
প্যাকেজ দেখো লগইন