নটরডেম কলেজ ২০২৫

এইচএসসি · পরিসংখ্যান ২য় পত্র

নটরডেম কলেজ ২০২৫

৮টি প্রশ্ন রয়েছে। নিচে কয়েকটি নমুনা দেখো; সব প্রশ্ন, উত্তর ও ব্যাখ্যা পেতে সাবস্ক্রাইব করো।

ডায়াবেটিস এবং উচ্চরক্তচাপ দু'টি রোগ যেখানে একটি রোগ অপরটি সৃষ্টিতে ভূমিকা রাখে। ডাঃ জাহিন একটি এলাকার কিছু সংখ্যক রোগীদের উপরে একটি গবেষণা করেন। তিনি দেখেন ডায়াবেটিস রোগে আক্রান্ত 35% এবং উচ্চ রক্তচাপ রোগে আক্রান্ত 30% এবং উভয় রোগে 20% আক্রান্ত।
১. অসম্ভব ঘটনা কি?
নিশ্চিত ঘটনার সম্ভাবনা এক-ব্যাখ্যা কর।
দেখাও যে, ডায়াবেটিস এবং উচ্চ রক্তচাপ রোগ দু'টি নির্ভরশীল।
কোন রোগের চিকিৎসায় বেশি গুরুত্ব দেওয়া উচিৎ-প্রয়োজনীয় পরিমাপ নির্ণয়পূর্বক তোমার উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দাও।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
কোনো ঘটনা যদি এমন হয় যে, তা পরীক্ষণের কোনো ক্ষেত্রেই ঘটবে না তবে তাকে অসম্ভব ঘটনা বলে।
(খ)

নিশ্চিত ঘটনার সম্ভাবনা এক।

ব্যাখ্যা: যে ঘটনা অবশ্যই ঘটবে তাকে নিশ্চিত ঘটনা বলে। অন্যভাবে বলা যায়, কোনো নমুনাক্ষেত্রের সকল উপাদান নিয়ে গঠিত ঘটনাকে নিশ্চিত ঘটনা বলে। যেমন- কোনো দৈব পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্র S-এর মধ্যে A একটি ঘটনা এবং A = S হলে, A ঘটনাকে নিশ্চিত ঘটনা ঘটনা বলা হবে। এখানে, P(A) = P(S) = 1 হবে।

অতএব, নিশ্চিত ঘটনার সম্ভাবনা এক (1) হয়।
(গ)
$A$=ডায়াবেটিস ও $B$=উচ্চ রক্তচাপ। দেওয়া আছে $P(A)=0.35$, $P(B)=0.30$, $P(A\cap B)=0.20$। কিন্তু $P(A)P(B)=0.35\times0.30=0.105\ne0.20$। তাই ঘটনাদ্বয় স্বাধীন নয়; তারা পরিসংখ্যানগতভাবে নির্ভরশীল। শুধু এই তথ্য কার্যকারণ প্রমাণ করে না।
(ঘ)
এখানে ডায়াবেটিসের প্রাদুর্ভাব 35% এবং উচ্চ রক্তচাপের 30%; তাই শুধু রোগীর অনুপাতের হিসাবে ডায়াবেটিস বেশি দেখা গেছে। আরও $P(A\mid B)=0.20/0.30=2/3$ এবং $P(B\mid A)=0.20/0.35=4/7$—সহাবস্থানও গুরুত্বপূর্ণ। তবে চিকিৎসায় কোন রোগকে বেশি অগ্রাধিকার দিতে হবে তা শুধু এসব অনুপাত দিয়ে নির্ধারণ করা যায় না; রোগের তীব্রতা, ঝুঁকি ও প্রয়োজনীয় চিকিৎসার তথ্য নেই। অতএব প্রাদুর্ভাবের তুলনা করা যায়, নিশ্চিত চিকিৎসা-অগ্রাধিকার ঘোষণা করা যায় না।
একটি পাত্রে 6টি সাদা ও ৪টি কালো বল আছে এবং অপর পাত্রে ৪টি সাদা ও 6টি কালো বল আছে। রিয়া প্রথম পাত্র হতে ২টি বল দৈবভাবে উত্তোলন করে ২য় পাত্রে রাখলো। অতঃপর হিয়া ২য় পাত্র হতে একটি বল উঠালো। তমা বললো হিয়ার উত্তোলিত বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা 25% হবে।
২. সম্পূরক ঘটনা কি?
একই সাথে দুটি ঘটনা স্বাধীন ও বজর্নশীল হতে পারে কি? ব্যাখ্যা কর।
রিয়ার উত্তোলিত বলদ্বয়ের কমপক্ষে একটি বল কালো হওয়ার সম্ভাবনা কত?
তমার মন্তব্যটি গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক যাচাই করে মন্তব্য কর।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
একই নমুনাক্ষেত্র $S$-এ ঘটনা $A$ না ঘটার ঘটনাটি $A$-এর সম্পূরক, লিখি $A^c=S\setminus A$। এদের ছেদ শূন্য এবং সংযোগ $S$।
(খ)
উভয় ঘটনার সম্ভাবনা ধনাত্মক হলে স্বাধীন ও বর্জনশীল একসঙ্গে হতে পারে না: বর্জনশীলতায় $P(A\cap B)=0$, স্বাধীনতায় এটি $P(A)P(B)>0$হওয়ার কথা। তবে অন্তত একটি ঘটনার সম্ভাবনা 0 হলে ব্যতিক্রম সম্ভব; যেমন শূন্য ঘটনা অন্য ঘটনার সঙ্গে স্বাধীন ও বর্জনশীল।
(গ)
মূল উদ্দীপকে প্রথম পাত্রে 6 সাদা ও 4 কালো, মোট 10 বল।2 বল পুনঃস্থাপন ছাড়া তোলা হচ্ছে। কমপক্ষে 1 কালোর সম্ভাবনা $1-\binom62/\binom{10}2=1-15/45=2/3$। অথবা অনুকূল সংখ্যা $6\times4+\binom42=30$, মোট 45। উৎস-উত্তরের 8 কালো/14 মোট এই উদ্দীপকের সঙ্গে মেলে না।
(ঘ)

উদ্দীপকের প্রকৃত সংখ্যা: প্রথম পাত্রে 6 সাদা+4 কালো; দ্বিতীয় পাত্রে 4 সাদা+6 কালো। স্থানান্তরের পর দ্বিতীয় পাত্রে 12 বল। প্রথম পাত্র থেকে 2 সাদা,1 সাদা 1 কালো,0 সাদা তোলার সম্ভাবনা যথাক্রমে $15/45,24/45,6/45$। তাই হিয়ার সাদা বল পাওয়ার সম্ভাবনা

$P(W)=\dfrac{15}{45}\dfrac6\{12\}+\dfrac{24}{45}\dfrac5\{12\}+\dfrac6\{45\}\dfrac4\{12\}=\dfrac{13}{30}\approx43.33\%$।

একই ফল $[4+2(6/10)]/12=13/30$। এটি 25%নয়; তমার মন্তব্য সঠিক নয়। উৎস-সমাধানের 14/16 মোটবল ও 8 কালো এখানে প্রযোজ্য নয়।

একটি দৈব চলক x এর সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন,

$f(x)=k\left(1+x^2\right) ; 0 \leq x \leq 1$
৩. বিন্যাস অপেক্ষক কি?
একটি মুদ্রা 5 বার নিক্ষেপ করা হলে, বিন্যাস অপেক্ষক হতে দেখাও যে, $F(5) = 1$
উদ্দীপক হতে k এর মান নির্ণয় কর।
উদ্দীপকের আলোকে প্রমাণ কর যে, $F(1)-F(0)=P(x>0)$
সমাধান ও উত্তর
(ক)
দৈব চলক $X$-এর বিন্যাস অপেক্ষক বা CDFহলো $F(t)=P(X\le t)$। বিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রে প্রাসঙ্গিক সম্ভাবনাগুলোর যোগফল এবং অবিচ্ছিন্ন ঘনত্ব $f$থাকলে $F(t)=\int_{-\infty}^{t}f(u)\,du$।
(খ)

একটি মুদ্রা 5 বার নিক্ষেপ পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = 32

ধরি, মুদ্রার উপরের পিঠে মাথা পাবার সংখ্যা নির্দেশক দৈব চলক $= x$

$\therefore \mathrm{x}$ এর সম্ভাবনা বিন্যাস এবং বিন্যাস অপেক্ষক হবে নিম্নরূপ:

x P(x) F(x)
0 1/32 1/32
1 5/32 6/32
2 10/32 16/32
3 10/32 26/32
4 5/32 31/32
5 1/32 32/32

$ \therefore \mathrm{F}(\mathrm{x}=5)=\mathrm{P}(\mathrm{x}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=1)$

$+\mathrm{P}(\mathrm{x}=2)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=3)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=4)+\mathrm{P}(\mathrm{x}=5)$

$ =\frac{1}{32}+\frac{5}{32}+\frac{10}{32}+\frac{10}{32}+\frac{5}{32}+\frac{1}{32}=\frac{32}{32}=1$

সুতরাং, $F(5) = 1$ (দেখানো হলো)
(গ)

দেওয়া আছে, $f(x)=\mathrm{k}\left(1+\mathrm{x}^2\right) ; 0 \leq \mathrm{x} \leq 1$

আমরা জানি, $\int_0^1 f(x) d x=1$

বা, $\int_0^1 k\left(1+x^2\right) d x=1$

বা, $k \int_0^1\left(1+x^2\right) d x=1$

বা, $ k\left[x+\frac{x^3}{3}\right]_0^1=1 $

বা, $ k\left[1+\frac{1}{3}\right]=1 $

বা, $ k \frac{4}{3}=1 $

$\therefore k=\frac{3}{4} $

নির্ণেয় $ k=\frac{3}{4} $
(ঘ)
গ থেকে $k=3/4$। $0\le t\le1$এর জন্য $F(t)=\int_0^t\frac34(1+u^2)\,du=(3t+t^3)/4$। তাই $F(1)=1$, $F(0)=0$। এটি অবিচ্ছিন্ন বিন্যাস, সুতরাং $P(X=0)=0$ এবং $P(X>0)=1$। অতএব $F(1)-F(0)=1=P(X>0)$। সমর্থনের বাইরে $F(t)=0$যখন$t\lt 0$এবং 1 যখন$t>1$।
একটি খেলায় একটি মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করা হবে। যদি তিনটি হেড পড়ে তবে নিক্ষেপকারী 3000 টাকা পাবে। এ খেলায় অংশ নিতে একজনকে 500 টাকা দিয়ে টিকেট কিনতে হবে। খেলা আয়োজক কমিটি পুরস্কারের 3000 টাকা প্রদানের জন্য বীমা কোম্পানির সাথে চুক্তি করে বিনিময়ে কোম্পানীকে টিকিটের 400 টাকা প্রদান করা হয়।
৪. গাণিতিক প্রত্যাশা কি?
দুইটি স্বাধীন দৈবচলকের সহভেদাংক শূন্য-ব্যাখ্যা কর।
যদি $x$ মুদ্রা নিক্ষেপে হেডের সংখ্যা নির্দেশ করে তবে $V(x)$ এর মান নির্ণয় কর।
400 টাকার বিনিময়ে বীমা কোম্পানির 3000 টাকার ঝুঁকি নেয়া উচিত হবে কী- প্রয়োজনীয় পরিমাপ নির্ণয়পূর্বক তোমার মতামত দাও।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
কোনো দৈব চলকের প্রতিটি মান এবং এদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমষ্টিকে ঐ দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা বা প্রত্যাশিত মান বলে।
(খ)
প্রয়োজনীয় প্রত্যাশা সসীম এবং $X,Y$স্বাধীন হলে $E(XY)=E(X)E(Y)$। তাই $\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0$। বিপরীতভাবে শুধু সহভেদাঙ্ক 0 হওয়া স্বাধীনতার সাধারণ প্রমাণ নয়।
(গ)
নিরপেক্ষ ও স্বাধীন তিনবার মুদ্রা নিক্ষেপে 8 টি সমসম্ভাব্য ফল আছে। হেডের সংখ্যা $X\sim\mathrm{Bin}(3,1/2)$। ফলে $E(X)=3/2$, $E(X^2)=3$, এবং $V(X)=3-(3/2)^2=3/4=0.75$।
(ঘ)
তিনবারই হেডের সম্ভাবনা $1/8$। ফলে প্রত্যাশিত পুরস্কার-পরিশোধ $3000/8=375$টাকা। প্রতি টিকিটে বীমাকারী 400 টাকা পেলে ব্যয়-পূর্ব প্রত্যাশিত লাভ $400-375=25$টাকা। তাই শুধু ঝুঁকি-নিরপেক্ষ প্রত্যাশিত লাভের বিচারে এই চুক্তি লাভজনক; উৎসের “উচিত হবে না” উপসংহারটি হিসাবের বিপরীত। বাস্তব চুক্তির চূড়ান্ত সিদ্ধান্তে প্রশাসনিক ব্যয়, রিজার্ভ ও ঝুঁকি-ক্ষমতার তথ্য প্রয়োজন, যা উদ্দীপকে নেই।500 টিকার টিকিটের পুরো অর্থ বীমাকারীর আয় নয়।

নটরডেম কলেজ ২০২৫ আনলক করো

এই টেস্ট পেপারটি প্রিমিয়াম প্যাকেজের অন্তর্ভুক্ত। সব বহুনির্বাচনি ও লিখিত প্রশ্ন অনুশীলন করতে সাবস্ক্রাইব করো।
প্যাকেজ দেখো লগইন