রাজশাহী বোর্ড ২০২৫

এইচএসসি · পরিসংখ্যান ২য় পত্র

রাজশাহী বোর্ড ২০২৫

৮টি প্রশ্ন রয়েছে। নিচে কয়েকটি নমুনা দেখো; সব প্রশ্ন, উত্তর ও ব্যাখ্যা পেতে সাবস্ক্রাইব করো।

একটি পরীক্ষণে শিক্ষার্থীরা একটি ছক্কা ও একটি মুদ্রা টস করে-জানালো যে, মুদ্রা হতে লেজ পাওয়ার ঘটনা ও ছক্কা হতে জোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনাদ্বয় স্বাধীন।
১. নমুনা বিন্দুর সংজ্ঞা লেখ।
"স্বাধীন ঘটনা অবর্জনশীল হয়"- ব্যাখ্যা কর।
মুদ্রায় মাথা ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
শিক্ষার্থীদের মন্তব্যের যথার্থতা গাণিতিকভাবে যাচাই কর।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
নমুনাক্ষেত্রের প্রতিটি ফলাফল বা উপাদানকে নমুনা বিন্দু বলে।
(খ)
P(A)>0 ও P(B)>0 হলে স্বাধীনতা থেকে $P(A\cap B)=P(A)P(B)>0$; তাই তারা বর্জনশীল নয়। শূন্য-সম্ভাবনার ঘটনা থাকলে “সর্বদা” উক্তিটি প্রযোজ্য নয়।
(গ)
নিরপেক্ষ মুদ্রা ও ছক্কা স্বাধীন ধরে 12টি সমসম্ভাব্য ফল। মাথা এবং বিজোড় সংখ্যা: (H,1),(H,3),(H,5), তাই সম্ভাবনা 3/12=1/4।
(ঘ)
B=লেজ এবং C=ছক্কায় জোড় সংখ্যা। P(B)=1/2,P(C)=1/2 এবং P(B∩C)=3/12=1/4=P(B)P(C)। তাই ঘটনাদ্বয় স্বাধীন; শিক্ষার্থীদের বক্তব্য সঠিক।

ধান গবেষণা ইনস্টিটিউট দুটি সার $X$ ও $Y$ এর প্রয়োগের ফলাফল নিরূপণ করে নিম্নরূপ:

$\mathrm{P}(\mathrm{X})=0.33, \mathrm{P}(\mathrm{Y})=0.75$ এবং $\mathrm{P}(\mathrm{X} \cup \mathrm{Y})=0.83$.
২. সম্ভাবনার সংজ্ঞা দাও।
সম্ভাবনার মান কি সর্বদা 1 থেকে ছোট? ব্যাখ্যা কর।
সার দুটি একত্রে প্রয়োগের ফলাফলের সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
$P(X/Y)$, এবং $P(Y/X)$ এর মান সমান হবে কি-না? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণপূর্বক মন্তব্য কর।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
সম্ভাবনা কোনো ঘটনার ঘটার অনিশ্চয়তার পরিমাণ; এর মান 0 থেকে 1। সসীম সমসম্ভাব্য নমুনাক্ষেত্রে $P(A)=n(A)/n(S)$।
(খ)

সম্ভাবনার মান সর্বদা 1 হতে ছোট হতে পারে না বরং 1 এর সমানও হতে পারে।

ব্যাখ্যা: আমরা জানি, সম্ভাবনার মান 0 হতে 1 এর মধ্যবর্তী হয়। অসম্ভব ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার মান 0 হয়। অনিশ্চিত ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার মান 0 থেকে 1 এর মধ্যবর্তী হয় আর নিশ্চিত ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাবনার মান 1 হয়। অতএব, সম্ভাবনার মান সর্বদা 1 হতে ছোট হয় কথাটি সত্য নয়। সম্ভাবনার মান 1 এর সমানও হতে পারে। অতএব, সম্ভাবনার মান সর্বদা 1 হতে ছোট হতে পারে না বরং 1 এর সমানও হতে পারে।
(গ)

উদ্দীপক হতে পাই, দুটি সার $X$ ও $Y$ এর প্রয়োগের ফলাফল $P(X)=0.33, P(Y)=0.75$ এবং $ P(X \cup Y)=0.83$

সার দুটি একত্রে প্রয়োগের ফলাফলের সম্ভাবনা, $\mathrm{P}(\mathrm{X} \cap \mathrm{Y})=$ ?

এখানে, $\mathrm{P}(\mathrm{X})+\mathrm{P}(\mathrm{Y})=0.33+0.75=1.08 \neq \mathrm{P}(\mathrm{X} \cup \mathrm{Y})$

সুতরাং, $X$ ও $Y$ দুটি অবর্জনশীল ঘটনা।

আমরা জানি, $X$ ও $Y$ দুটি অবর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে,

$P(X \cup Y)=P(X)+P(Y)-P(X \cap Y)$

বা, $\mathrm{P}(\mathrm{X} \cap \mathrm{Y}) =\mathrm{P}(\mathrm{X})+\mathrm{P}(\mathrm{Y})-\mathrm{P}(\mathrm{X} \cup \mathrm{Y}) $

$ =0.33+0.75-0.83=1.08-0.83=0.25$

সুতরাং, সার দুটির একত্রে প্রয়োগের ফলাফলের সম্ভাবনা, $\mathrm{P}(\mathrm{X} \cap \mathrm{Y})=0.25$.
(ঘ)
$P(X\mid Y)=0.25/0.75=1/3$ এবং $P(Y\mid X)=0.25/0.33=25/33\approx0.757576$। মান দুটি সমান নয়; উৎসের 0.75 দ্বিতীয় মানের যথাযথ রাউন্ডিং নয়।
একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক $x$ এর সম্ভাবনা অপেক্ষক: $P(x)=\frac{2 x+k}{35} ; x=-2,-1,0,1,2 .$
৩. বিচ্ছিন্ন দৈব চলক কাকে বলে?
$5 \leq \mathrm{x} \leq 15$ কী ধরনের দৈব চলক? ব্যাখ্যা কর।
উদ্দীপকের ফাংশনের ধ্রুবক $k$ এর মান নির্ণয় কর।
উদ্দীপকের আলোকে $P(0\lt x \leq 2)$ এবং $[F(2)-F(0)]$ এর মান নির্ণয়পূর্বক তুলনা কর।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
যে দৈব চলকের মানগুলো পরস্পর বিচ্ছিন্ন এবং যার প্রতিটি মানের একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা থাকে তাকে বিচ্ছিন্ন দৈব চলক বলে।
(খ)
শুধু $5\le X\le15$ সীমা জানলে চলক বিচ্ছিন্ন না অবিচ্ছিন্ন তা নির্ধারণ করা যায় না। X যদি এই সীমার প্রতিটি বাস্তব মান নিতে পারে তবে অবিচ্ছিন্ন; কেবল গণনাযোগ্য কিছু মান নিলে বিচ্ছিন্ন। যেমন বয়সের সূক্ষ্ম পরিমাপ অবিচ্ছিন্ন, কিন্তু 5 থেকে 15 জনের সংখ্যা বিচ্ছিন্ন।
(গ)
সম্ভাবনাগুলোর যোগফল 1 হতে হবে। প্রদত্ত পাঁচটি x-এর যোগফল শূন্য, তাই $\sum P(X=x)=5k/35=1$। সুতরাং $k=7$। তখন সম্ভাবনাগুলো যথাক্রমে 3/35, 5/35, 7/35, 9/35, 11/35; সবগুলো অঋণাত্মক।
(ঘ)

$P(0\lt X\le2)=P(X=1)+P(X=2)=20/35=4/7$।

$F(0)=15/35$, $F(2)=35/35=1$। তাই $F(2)-F(0)=20/35=4/7$। উভয়ের মান সমান।

একটি ঔষধ কোম্পানির মার্কেট এনালিস্ট ফিল্ড পর্যবেক্ষণ করে নিম্নোক্ত তথ্য সংগ্রহ করেন:

x P(X=x)
-3 0.05
-2 0.10
1 0.20
3 K
4 0.30
৪. গাণিতিক প্রত্যাশা কাকে বলে?
$E(X^2)$ সর্বদা অঋণাত্মক—ব্যাখ্যা কর।
উদ্দীপকের তথ্যের গাণিতিক প্রত্যাশা নির্ণয় কর।
$E(5x ^ 3 + 10)$ এবং $V(5x + 10)$ এর মান নির্ণয়পূর্বক তুলনা কর।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
কোনো দৈব চলকের প্রতিটি মান এবং এদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমষ্টিকে ঐ দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা বা প্রত্যাশিত মান বলে।
(খ)
$X^2\ge0$, তাই $E(X^2)\ge0$ (প্রত্যাশা বিদ্যমান হলে)। X প্রায় নিশ্চয়ই শূন্য হলে $E(X^2)=0$; অন্যথায় দ্বিতীয় মুহূর্ত সসীম হলে তা ধনাত্মক। সুতরাং সর্বদা ধনাত্মক নয়, সর্বদা অঋণাত্মক।
(গ)

$0.05+0.10+0.20+K+0.30=1$ থেকে $K=0.35$।

$E(X)=(-3)(0.05)+(-2)(0.10)+1(0.20)+3(0.35)+4(0.30)=2.10$।
(ঘ)

$E(X^2)=0.45+0.40+0.20+3.15+4.80=9$।

$E(X^3)=-1.35-0.80+0.20+9.45+19.20=26.7$।

$V(X)=9-(2.1)^2=4.59$।

$E(5X^3+10)=5(26.7)+10=143.5$।

$V(5X+10)=25V(X)=114.75$।

অতএব $E(5X^3+10)>V(5X+10)$।

রাজশাহী বোর্ড ২০২৫ আনলক করো

এই টেস্ট পেপারটি প্রিমিয়াম প্যাকেজের অন্তর্ভুক্ত। সব বহুনির্বাচনি ও লিখিত প্রশ্ন অনুশীলন করতে সাবস্ক্রাইব করো।
প্যাকেজ দেখো লগইন