সিলেট বোর্ড ২০২৫

এইচএসসি · পরিসংখ্যান ২য় পত্র

সিলেট বোর্ড ২০২৫

৮টি প্রশ্ন রয়েছে। নিচে কয়েকটি নমুনা দেখো; সব প্রশ্ন, উত্তর ও ব্যাখ্যা পেতে সাবস্ক্রাইব করো।

টিপু দুটি নিরপেক্ষ মুদ্রা ও একটি নিরপেক্ষ ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলো। সে বললো মুদ্রায় একই পিঠ পাওয়ার ঘটনা ও ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনান্বয় স্বাধীন।
১. পরীক্ষণের সংজ্ঞা দাও।
"সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান এক"- ব্যাখ্যা কর।
উদ্দীপক হতে মুদ্রায় বিপরীত পিঠ পাওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
উদ্দীপকের আলোকে টিপুর বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
কতকগুলো নির্দিষ্ট শর্তের অধীনে কোনো একটি কাজ বা চেষ্টা পুনরাবৃত্তি করা হলে সেটিকে পরীক্ষা বা পরীক্ষণ বলে।
(খ)

সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান 1 দ্বারা বুঝায় ঘটনাটি নিশ্চিত ঘটনা। যে -ঘটনা অবশ্যই ঘটবে তাকে নিশ্চিত ঘটনা বলে। আর নিশ্চিত ঘটনার অনুকূলে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা এবং নমুনাক্ষেত্রের মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা সর্বদাই সমান হয়। অর্থাৎ, P (নিশ্চিত ঘটনা) = 1।

আমরা জানি, সম্ভাবনার মান 0 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে। অর্থাৎ, সম্ভাবনার সর্বনিম্ন মান 0 এবং সর্বোচ্চ মান 1।

অতএব, সম্ভাবনার সর্বোচ্চ মান 1।
(গ)
$S=\{HH,HT,TH,TT\}\times\{1,2,3,4,5,6\}$। বিপরীত পিঠ HT/TH-এর জন্য12টি ফল; সম্ভাবনা12/24=1/2।
(ঘ)
একই পিঠের সম্ভাবনা1/2, ছক্কায় বিজোড়ের সম্ভাবনা1/2, একসঙ্গে সম্ভাবনা6/24=1/4। এটি গুণফলের সমান; ঘটনাদ্বয় স্বাধীন।
একটি পাত্রে 7 টি সবুজ ও 5 টি সাদা বল আছে। নিলু দুটি বল দৈবভাবে নির্বাচন করলো। সে বললো, বলদ্বয় একই রংয়ের হওয়ার ঘটনা এবং বলদ্বয় ভিন্ন রঙের হওয়ার ঘটনা দুটি সম্পূর্ণ ঘটনা।
২. নমুনাক্ষেত্র কাকে বলে?
$P(B)+P(\bar{B})=1$ ব্যাখ্যা কর।
কমপক্ষে একটি বল সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
উদ্দীপকের আলোকে নিলুর বক্তব্যের সত্যতা যাচাই কর।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
কোনো দৈব পরীক্ষার সকল সম্ভাব্য ফলাফলের সেটকে নমুনাক্ষেত্র বলে।
(খ)

$\mathrm{P}(\mathrm{B})+\mathrm{P}(\overline{\mathrm{B}})=1$

ব্যাখ্যা:

$S$ নমুনাক্ষেত্র এবং $B\subseteq S$; $n(S)=n$, $n(B)=m$, তাই $n(B^c)=n-m$।

মনে করি, কোনো নমুনাক্ষেত্র S-এর মধ্যে একটি ঘটনা।

নমুনাক্ষেত্রের মোট উপাদান বা ফলাফল সংখ্যা, $n (S) = n$

B ঘটনার অনুকূল উপাদান সংখ্যা, $n (B) = m$

তাহলে B ঘটনার প্রতিকূল উপাদান সংখ্যা, $n(\bar{B})=n-m$

$\therefore P(B)=\frac{m}{n}$

$P(\bar{B})=\frac{n-m}{n}[\because P(\bar{B})=B $ ঘটনা না ঘটার সম্ভাবনা ]

$\therefore P(B)+P(\bar{B})=\frac{m}{n}+\frac{n-m}{n}$

$=\frac{m+n-m}{n}=\frac{n}{n}=1 .$
(গ)
মোট12টি বল, যার7টি সবুজ। পুনঃস্থাপন ছাড়া দুইটি নিলে অন্তত একটি সবুজের সম্ভাবনা $1-\binom52/\binom{12}2=28/33$।
(ঘ)
দুই বলের রং একই হওয়া ও ভিন্ন হওয়া পরস্পর বর্জনশীল এবং সম্পূর্ণ ঘটনা। একই রংয়ের সম্ভাবনা $(\binom72+\binom52)/\binom{12}2=31/66$; ভিন্ন রং35/66। যোগফল1।

একটি দোকানের দৈনিক মোবাইল সেট বিক্রির সম্ভাবনা বিন্যাস নিম্নরূপ:

x P(X=x)
0 0.20
1 0.15
2 0.12
3 0.10
4 0.18
5 0.25
৩. সম্ভাবনা বিন্যাস কাকে বলে?
"ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষা একটি দৈব পরীক্ষা"- ব্যাখ্যা কর।
উদ্দীপকের আলোকে $P(2\lt x \leq 5)$ এর মান নির্ণয় কর।
উদ্দীপকের আলোকে $P(1 \leq x \leq 4)=F(4)-F(0)$ এর সত্যতা যাচাই কর।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
কোনো বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের প্রতিটি মানের বিপরীতে উহাদের নিজ নিজ সম্ভাবনা যে সারণিতে উপস্থাপন করা হয় তাকে সম্ভাবনা বিন্যাস বলে।
(খ)

ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষা একটি দৈব পরীক্ষা।

ব্যাখ্যা: যে পরীক্ষায় কি কি ফলাফল পাওয়া যাবে তা পূর্ব থেকে জানা থাকে এবং প্রতিটি ফলাফলের একটি নির্দিষ্ট সম্ভাবনা থাকে অথচ পরীক্ষাটি সম্পন্ন করা হলে কোন ফলটি আসবে তা নিশ্চিত করে বলা যায় না এরূপ পরীক্ষাকে দৈব পরীক্ষা বলে।
(গ)
$P(2\lt X\le5)=0.10+0.18+0.25=0.53$।
(ঘ)
$P(1\le X\le4)=0.15+0.12+0.10+0.18=0.55$। $F(4)=0.75,F(0)=0.20$, তাই $F(4)-F(0)=0.55$; উক্তিটি সঠিক।

একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক $x$-এর সম্ভাবনা অপেক্ষক নিম্নরূপ:

$P(x)=\frac{3-|4-x|}{9} ; x=2,3,4,5,6$.
৪. গাণিতিক প্রত্যাশার সংজ্ঞা দাও।
দৈব চলকের ভেদাঙ্ক সর্বদাই অঋণাত্মক—ব্যাখ্যা কর।
উদ্দীপক হতে $P(3\lt x \leq 5)$ এর মান নির্ণয় কর।
যদি $y = (3x + 5)$ হয়, তবে $V(x)$ এবং $V(y)$ এর মান নির্ণয়পূর্বক তুলনা কর।
সমাধান ও উত্তর
(ক)
কোনো দৈব চলকের প্রতিটি মান এবং এদের নিজ নিজ সম্ভাবনার গুণফলের সমষ্টিকে ঐ দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা বা প্রত্যাশিত মান বলে।
(খ)
$V(X)=E[(X-E(X))^2]\ge0$ (দ্বিতীয় মুহূর্ত সসীম হলে)। ধ্রুব দৈব চলকে ভেদাঙ্ক0। তাই ভেদাঙ্ক ঋণাত্মক নয়; সর্বদা কঠোরভাবে ধনাত্মকও নয়।
(গ)
P(X=4)=3/9 ও P(X=5)=2/9; তাই $P(3\lt X\le5)=5/9$।
(ঘ)
বিন্যাসটি4-এর সাপেক্ষে প্রতিসম, E(X)=4। $V(X)=[4(1)+1(2)+0(3)+1(2)+4(1)]/9=4/3$। Y=3X+5 হলে V(Y)=9V(X)=12।

সিলেট বোর্ড ২০২৫ আনলক করো

এই টেস্ট পেপারটি প্রিমিয়াম প্যাকেজের অন্তর্ভুক্ত। সব বহুনির্বাচনি ও লিখিত প্রশ্ন অনুশীলন করতে সাবস্ক্রাইব করো।
প্যাকেজ দেখো লগইন