সকল বোর্ড ২০২৬

মুদ্রা নিক্ষেপ পরীক্ষা হলো পরিসংখ্যানের সম্ভাবনাতত্ত্বে ব্যবহৃত একটি অত্যন্ত পরিচিত দৈব পরীক্ষা। এই পরীক্ষায় একটি নিরপেক্ষ মুদ্রাকে শূন্যে নিক্ষেপ করা হয়, যার কেবল দুটি সম্ভাব্য ফলাফল থাকে— একটি হলো 'হেড' এবং অপরটি হলো 'টেইল'। যেহেতু এই পরীক্ষার ফলাফলগুলো আগে থেকেই নির্দিষ্ট, তাই একে দৈব পরীক্ষার একটি আদর্শ উদাহরণ হিসেবে ধরা হয়।

যে পরীক্ষার সম্ভাব্য সবগুলোর ফলাফল আগে থেকেই জানা থাকে, কিন্তু একটি নির্দিষ্ট চেষ্টায় ঠিক কোন ফলাফলটি আসবে তা নিশ্চিত করে বলা যায় না, তাকে দৈব পরীক্ষা বলে। একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করলে 'হেড' নাকি 'টেইল' আসবে তা আমরা আগে থেকেই জানি, কিন্তু নিক্ষেপের ঠিক আগে নিশ্চিত করে বলতে পারি না কোনটি পড়বে। তাই এটি একটি দৈব পরীক্ষা।

উদ্দীপক হতে পাই,

পাত্রে লাল বলের সংখ্যা $= 4$ টি

কালো বলের সংখ্যা $= 6$ টি

$\therefore$ পাত্রে মোট বলের সংখ্যা $= 4 + 6 = 10$ টি

পাত্র হতে দৈবভাবে $2$ টি বল চয়ন করা হলো।

মোট সম্ভাব্য উপায় বা নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, $\mathrm{n}(\mathrm{S}) = \{\}^{10}\mathrm{C}_{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45$

ধরি, বল দুটি কালো হওয়ার ঘটনা $\mathrm{A}$।

পাত্রে $6$ টি কালো বল আছে। তাই $6$ টি কালো বল থেকে $2$ টি কালো বল বাছাই করার অনুকূল উপায়, $\mathrm{n}(\mathrm{A}) = \{\}^{6}\mathrm{C}_{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$

$\therefore$ বল দুটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা, $\mathrm{P}(\mathrm{A}) = \frac{\mathrm{n}(\mathrm{A})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$

'গ' হতে পাই, পাত্র হতে $2$ টি বল চয়নের মোট সম্ভাব্য উপায় $= \{\}^{10}\mathrm{C}_{2} = 45$

বল দুটি একই রঙের হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয়:

বল দুটি একই রঙের হওয়ার অর্থ হলো— হয় দুটি বলই লাল হবে, অথবা দুটি বলই কালো হবে।

$4$ টি লাল বল থেকে $2$ টি লাল বল বাছাই করার উপায় $= \{\}^{4}\mathrm{C}_{2} = 6$

$6$ টি কালো বল থেকে $2$ টি কালো বল বাছাই করার উপায় $= \{\}^{6}\mathrm{C}_{2} = 15$

$\therefore$ বল দুটি একই রঙের হওয়ার অনুকূল উপায় $= 6 + 15 = 21$

সুতরাং, বল দুটি একই রঙের হওয়ার সম্ভাবনা $= \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$

বল দুটি ভিন্ন রঙের হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয়:

বল দুটি ভিন্ন রঙের হওয়ার অর্থ হলো— $1$ টি বল লাল এবং $1$ টি বল কালো হবে।

$4$ টি লাল বল থেকে $1$ টি এবং $6$ টি কালো বল থেকে $1$ টি বল বাছাই করার অনুকূল উপায় $= \{\}^{4}\mathrm{C}_{1} \times \{\}^{6}\mathrm{C}_{1} = 4 \times 6 = 24$

সুতরাং, বল দুটি ভিন্ন রঙের হওয়ার সম্ভাবনা $= \frac{24}{45} = \frac{8}{15}$

আমরা দেখতে পাচ্ছি, $\frac{21}{45} \lt \frac{24}{45}$

অর্থাৎ, $\mathrm{P}$ (বল দুটি একই রঙের) $\lt \mathrm{P}$ (বল দুটি ভিন্ন রঙের)

উদ্দীপকে নাবিল বলেছিল, "বল দুটি একই রঙের হবার সম্ভাবনা ভিন্ন রঙের হওয়ার সম্ভাবনা অপেক্ষা কম।" আমাদের গাণিতিক বিশ্লেষণেও দেখা যাচ্ছে একই রঙের বল ওঠার সম্ভাবনা, ভিন্ন রঙের বল ওঠার সম্ভাবনার চেয়ে কম।

$\therefore$ নাবিলের বক্তব্যটি গাণিতিকভাবে সম্পূর্ণ যথার্থ।

হ্যাঁ, নবজাতক শিশুদের মধ্যে "ছেলে শিশু হওয়ার সংখ্যা" একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক।

যে দৈব চলক কেবল নির্দিষ্ট ও বিচ্ছিন্ন মান গ্রহণ করতে পারে এবং যার মান গণনাযোগ্য, তাকে বিচ্ছিন্ন দৈব চলক বলে। একটি হাসপাতালে বা নির্দিষ্ট সময়ে জন্ম নেওয়া নবজাতকদের মধ্যে ছেলে শিশুর সংখ্যা ০, ১, ২, ৩ ইত্যাদি যেকোনো পূর্ণসংখ্যা হতে পারে, কিন্তু তা কখনোই ভগ্নাংশ হতে পারে না। যেহেতু এই মানগুলো গণনাযোগ্য এবং বিচ্ছিন্ন, তাই এটি একটি বিচ্ছিন্ন দৈব চলক।

উদ্দীপকে বিচ্ছিন্ন দৈব চলক $\mathrm{x}$ এবং এর সম্ভাবনা বিন্যাসের ছক দেওয়া আছে।

আমরা জানি, বিচ্ছিন্ন দৈব চলকের গাণিতিক প্রত্যাশা, $\mathrm{E}(\mathrm{x}) = \sum \mathrm{x} \cdot \mathrm{P}(\mathrm{x})$

মানগুলো বসিয়ে পাই,

$\mathrm{E}(\mathrm{x}) = (-4 \times 0.1) + (-2 \times 0.3) + (0 \times 0.2) + (2 \times 0.3) + (4 \times 0.1)$

$\Rightarrow \mathrm{E}(\mathrm{x}) = -0.4 - 0.6 + 0 + 0.6 + 0.4$

$\therefore \mathrm{E}(\mathrm{x}) = 0$

উদ্দীপকে নাজিফার বক্তব্যটি হলো: $\mathrm{E}(\mathrm{x}^2 + 2) = \mathrm{V}(2\mathrm{x})$

'গ' হতে প্রাপ্ত মান, $\mathrm{E}(\mathrm{x}) = 0$

প্রথমে আমাদের $\mathrm{E}(\mathrm{x}^2)$ এর মান নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি, $\mathrm{E}(\mathrm{x}^2) = \sum \mathrm{x}^2 \cdot \mathrm{P}(\mathrm{x})$

$\Rightarrow \mathrm{E}(\mathrm{x}^2) = (-4)^2 \times 0.1 + (-2)^2 \times 0.3 + (0)^2 \times 0.2 + (2)^2 \times 0.3 + (4)^2 \times 0.1$

$\Rightarrow \mathrm{E}(\mathrm{x}^2) = (16 \times 0.1) + (4 \times 0.3) + (0 \times 0.2) + (4 \times 0.3) + (16 \times 0.1)$

$\Rightarrow \mathrm{E}(\mathrm{x}^2) = 1.6 + 1.2 + 0 + 1.2 + 1.6$

$\therefore \mathrm{E}(\mathrm{x}^2) = 5.6$

এখন, নাজিফার বক্তব্যের বামপক্ষ নির্ণয় করি:

বামপক্ষ $= \mathrm{E}(\mathrm{x}^2 + 2)$

$= \mathrm{E}(\mathrm{x}^2) + \mathrm{E}(2)$

$= 5.6 + 2$ $[$যেহেতু ধ্রুবকের প্রত্যাশা ধ্রুবক নিজেই, অর্থাৎ $\mathrm{E}(2) = 2]$

$= 7.6$

এবার, নাজিফার বক্তব্যের ডানপক্ষ নির্ণয় করি:

ডানপক্ষ $= \mathrm{V}(2\mathrm{x})$

আমরা জানি, ভেদাঙ্কের ধর্ম অনুযায়ী $\mathrm{V}(\mathrm{cx}) = \mathrm{c}^2 \mathrm{V}(\mathrm{x})$

অতএব, $\mathrm{V}(2\mathrm{x}) = 2^2 \mathrm{V}(\mathrm{x}) = 4\mathrm{V}(\mathrm{x})$

এখন $\mathrm{V}(\mathrm{x})$ এর মান বের করি:

$\mathrm{V}(\mathrm{x}) = \mathrm{E}(\mathrm{x}^2) - [\mathrm{E}(\mathrm{x})]^2$

$= 5.6 - (0)^2$

$= 5.6$

সুতরাং, ডানপক্ষ $= 4 \times 5.6 = 22.4$

গাণিতিক বিশ্লেষণ করে আমরা দেখতে পাচ্ছি, বামপক্ষ ($7.6$) এবং ডানপক্ষ ($22.4$) পরস্পর সমান নয়।
অর্থাৎ, $\mathrm{E}(\mathrm{x}^2 + 2) \neq \mathrm{V}(2\mathrm{x})$।

অতএব, উদ্দীপকের আলোকে নাজিফার দেওয়া বক্তব্যটি সঠিক নয়।

উদ্দীপক হতে পাই,

সমগ্রকের উপাদানসমূহ: $3, 4, 5, 6$

সমগ্রকের আকার, $\mathrm{N} = 4$

প্রথমে সমগ্রক গড় ($\mu$) নির্ণয় করি:

$\mu = \frac{\sum \mathrm{X}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{N}}$

$= \frac{3 + 4 + 5 + 6}{4}$

$= \frac{18}{4} = 4.5$

এখন সমগ্রক ভেদাঙ্ক ($\sigma^2$) নির্ণয় করি:

আমরা জানি, সমগ্রক ভেদাঙ্ক, $\sigma^2 = \frac{\sum (\mathrm{X}_{\mathrm{i}} - \mu)^2}{\mathrm{N}}$

$= \frac{(3 - 4.5)^2 + (4 - 4.5)^2 + (5 - 4.5)^2 + (6 - 4.5)^2}{4}$

$= \frac{(-1.5)^2 + (-0.5)^2 + (0.5)^2 + (1.5)^2}{4}$

$= \frac{2.25 + 0.25 + 0.25 + 2.25}{4}$

$= \frac{5}{4} = 1.25$

উদ্দীপকে নাজিম স্যার বলেছেন, পুনঃস্থাপন না করে নমুনা চয়ন করা হলে নমুনা গড় সমগ্রক গড়ের নিরপেক্ষ নিরূপক হবে। অর্থাৎ, আমাদের প্রমাণ করতে হবে $\mathrm{E}(\overline{\mathrm{x}}) = \mu$।

'গ' হতে প্রাপ্ত সমগ্রক গড়, $\mu = 4.5$

সমগ্রকের আকার, $\mathrm{N} = 4$

নমুনার আকার, $\mathrm{n} = 2$

পুনঃস্থাপন না করে $\mathrm{N}$ আকারের সমগ্রক হতে $\mathrm{n}$ আকারের মোট সম্ভাব্য নমুনা চয়নের উপায় = $\{\}^{\mathrm{N}}\mathrm{C}_{\mathrm{n}}$

$= \{\}^{4}\mathrm{C}_{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ টি।

নিচে সম্ভাব্য নমুনাগুলো এবং তাদের নমুনা গড় ($\overline{\mathrm{x}}$) সারণিতে দেখানো হলো:

এখন নমুনা গড়ের প্রত্যাশিত মান বা গাণিতিক প্রত্যাশা $\mathrm{E}(\overline{\mathrm{x}})$ নির্ণয় করি:

$\mathrm{E}(\overline{\mathrm{x}}) = \frac{\sum \overline{\mathrm{x}}}{\{\}^{\mathrm{N}}\mathrm{C}_{\mathrm{n}}}$

$= \frac{3.5 + 4.0 + 4.5 + 4.5 + 5.0 + 5.5}{6}$

$= \frac{27}{6}$

$= 4.5$

আমরা দেখতে পাচ্ছি, $\mathrm{E}(\overline{\mathrm{x}}) = 4.5$ এবং সমগ্রক গড় $\mu = 4.5$।

অর্থাৎ, $\mathrm{E}(\overline{\mathrm{x}}) = \mu$

যেহেতু নমুনা গড়ের প্রত্যাশিত মান সমগ্রক গড়ের সমান হয়েছে, তাই বলা যায় নমুনা গড় হলো সমগ্রক গড়ের একটি নিরপেক্ষ নিরূপক।

অতএব, উদ্দীপকের আলোকে নাজিম স্যারের মন্তব্যটি গাণিতিকভাবে সম্পূর্ণ যথার্থ।