বরিশাল বোর্ড ২০২৪

$\cos ^2 \theta=\frac{3}{4}$

বা, $\frac{1}{\sec ^2 \theta}=\frac{3}{4}$ বা, $\sec ^2 \theta=\frac{4}{3}$

বা, $1+\tan ^2 \theta=\frac{4}{3}$

বা, $\tan ^2 \theta=\frac{4}{3}-1=\frac{4-3}{3}$

$\therefore \tan ^2 \theta=\frac{1}{3}$.

উদ্দীপকের চিত্রে,

১. টলেমির উপপাদ্য অনুসারে (বিবৃতি i):
আমরা জানি, বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্র তার বিপরীত বাহুদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের সমষ্টির সমান।
$$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$$
যেহেতু উদ্দীপকে দেওয়া আছে $AB = BC$:
$$AC \cdot BD = AB \cdot CD + AB \cdot AD = AB(CD + AD)$$
$\therefore$ বিবৃতি i সঠিক।

২. ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্য অনুসারে (বিবৃতি ii):
বৃত্তস্থ কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় যদি পরস্পরের ওপর লম্ব হয় (এখানে $AC \perp BD$), তবে তাদের ছেদবিন্দু $M$ হতে যেকোনো বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্বকে ($ME \perp BC$) বিপরীত দিকে বর্ধিত করলে তা বিপরীত বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
ফলে রেখাংশটির বর্ধিতাংশ বিপরীত বাহু $AD$-কে $F$ বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করবে, অর্থাৎ $AF = FD$ হবে।
কিন্তু বিবৃতিতে বলা হয়েছে $AF \neq FD$, যা মিথ্যা।
$\therefore$ বিবৃতি ii সঠিক নয়।

৩. সমকোণী ত্রিভুজের অভিক্ষেপ ধর্ম অনুসারে (বিবৃতি iii):
যেহেতু $BD$ বৃত্তের ব্যাস, তাই অর্ধবৃত্তস্থ কোণ $\angle BAD = 90^\circ$।
সমকোণী $\triangle ABD$-তে অতিভুজ $BD$-এর ওপর $AM \perp BD$ লম্ব।
সমকোণী ত্রিভুজের সদৃশতা অনুযায়ী, $\triangle ABM$ ও $\triangle BDA$ সদৃশকোণী:
$$\frac{AB}{BD} = \frac{BM}{AB} \implies AB^2 = BD \cdot BM$$
$\therefore$ বিবৃতি iii সঠিক।

সুতরাং, i ও iii সঠিক। অতএব, সঠিক উত্তর: (খ) i ও iii।