কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩

উদ্দীপকের চিত্রে $PQRS$ রম্বসের কর্ণদ্বয় $PR = 24\text{ সে.মি.}$ এবং $QS = 10\text{ সে.মি.}$। কর্ণদ্বয় পরস্পরকে $O$ বিন্দুতে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

১. অর্ধ-কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
$PO = \frac{PR}{2} = \frac{24}{2} = 12\text{ সে.মি.}$

$QO = \frac{QS}{2} = \frac{10}{2} = 5\text{ সে.মি.}$

২. বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়:
যেহেতু রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে, তাই $\triangle POQ$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং $\angle POQ = 90^\circ$।
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে:
$PQ = \sqrt{PO^2 + QO^2}$

$= \sqrt{12^2 + 5^2}$

$= \sqrt{144 + 25}$

$= \sqrt{169} = 13\text{ সে.মি.}$।

$\therefore$ রম্বসটির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 13 সে.মি.।

$\therefore$ সঠিক উত্তর: 13।

উদ্দীপকের চিত্রে $PQRS$ রম্বসের কর্ণদ্বয় $d_1 = PR = 24\text{ সে.মি.}$, $d_2 = QS = 10\text{ সে.মি.}$ এবং বাহু $a = 13\text{ সে.মি.}$।

১. উক্তি (i) যাচাই (পরিসীমা 52 সে.মি.):
রম্বসের চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান।
পরিসীমা $= 4a = 4 \times 13 = 52\text{ সে.মি.}$।
$\therefore$ উক্তি (i) সঠিক।

২. উক্তি (ii) যাচাই (অভ্যন্তরে $\triangle POQ$-এর ক্ষেত্রফল 30 বর্গ সে.মি.):
$\triangle POQ$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যার লম্ব ও ভূমি যথাক্রমে $PO = 12\text{ সে.মি.}$ এবং $QO = 5\text{ সে.মি.}$।
$\triangle POQ$-এর ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times PO \times QO$

$= \frac{1}{2} \times 12 \times 5$

$= 30\text{ বর্গ সে.মি.}$।
$\therefore$ উক্তি (ii) সঠিক।

৩. উক্তি (iii) যাচাই (রম্বসের ক্ষেত্রফল 240 বর্গ সে.মি.):
রম্বসের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2$

$= \frac{1}{2} \times 24 \times 10$

$= 120\text{ বর্গ সে.মি.}$।
এখানে ক্ষেত্রফল 240 বর্গ সে.মি. উল্লেখ থাকায় উক্তি (iii) সঠিক নয়।

$\therefore$ সঠিক উত্তর: i ও ii।