ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৪

এসএসসি · গণিত

ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৪

৪১টি প্রশ্ন রয়েছে। নিচে কয়েকটি নমুনা দেখো; সব প্রশ্ন, উত্তর ও ব্যাখ্যা পেতে সাবস্ক্রাইব করো।

১. $\cos \theta \sqrt{\sec ^2 \theta-1}=\text { কত? }$
  1. $\sin \theta$
  2. খ
    $\cos \theta$
  3. গ
    $\cot \theta$
  4. ঘ
    $\tan \theta$
ব্যাখ্যা
প্রদত্ত রাশি
$=\cos \theta \sqrt{\sec ^2 \theta-1}$
$=\cos \theta \sqrt{\tan ^2 \theta}=\cos \theta \cdot \tan \theta=\cos \theta \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\sin \theta .$
২. $2 \sin \theta=1$ হলে $\cot \theta=$ কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    $\frac{1}{\sqrt{3}}$
  3. গ
    1
  4. $\sqrt{3}$
ব্যাখ্যা
দেওয়া আছে, $2 \sin \theta=1$
বা, $\sin \theta=\frac{1}{2}=\sin 30^{\circ}$
$\therefore \quad \theta=30^{\circ} \quad \therefore \cot \theta=\cot 30^{\circ}=\sqrt{3}$.
৩.

নিচের তথ্যের আলোকে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও:

চিত্রে $AB \parallel CD, \angle \mathrm{APQ} = 60^{\circ}, \mathrm{PS}=\sqrt{3}$ এবং $\mathrm{PR}=\sqrt{6}$।

$QS$ এর দৈর্ঘ্য কত?
প্রশ্নের ছবি
  1. 1
  2. খ
    $\sqrt{3}$
  3. গ
    $\frac{\sqrt{3}}{2}$
  4. ঘ
    $\frac{2}{\sqrt{3}}$
ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ক (1)

গাণিতিক বিশ্লেষণ ও ব্যাখ্যা:

দেওয়া আছে, $AB \parallel CD$ এবং $PS \perp CD$।

যেহেতু সমান্তরাল রেখা $AB \parallel CD$ এবং $PS \perp CD$, সুতরাং $PS$ রেখাটি $AB$-এর ওপরও লম্ব হবে ($PS \perp AB$)।

$\therefore \angle APS = 90^{\circ}$

উদ্দীপকের চিত্রে $\angle APQ = 60^{\circ}$।

$\therefore \angle QPS = \angle APS - \angle APQ = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$

এখন, সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle PSQ$-এ সূক্ষ্মকোণ $\angle QPS = 30^{\circ}$-এর সাপেক্ষে:

  • লম্ব $= QS$
  • ভূমি $= PS = \sqrt{3}$

আমরা জানি:
$$\tan \angle QPS = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} = \frac{QS}{PS}$$

বা, $\tan 30^{\circ} = \frac{QS}{\sqrt{3}}$

বা, $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{QS}{\sqrt{3}}$

$$\therefore QS = 1$$

অতএব, $QS$-এর দৈর্ঘ্য 1 একক।
৪.

উদ্দীপকের চিত্রানুসারে—

i. $\triangle \mathrm{PSR}$ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
ii. $\operatorname{cosec} \angle \mathrm{QPS}=2$
iii. $\sin \angle \mathrm{PRS}=\cos \angle \mathrm{SPR}$

নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    i ও ii
  2. খ
    i ও iii
  3. গ
    ii ও iii
  4. i, ii ও iii
ব্যাখ্যা

সঠিক উত্তর: ঘ (i, ii ও iii)

গাণিতিক যাচাই ও প্রমাণ:

উক্তি i যাচাই:
সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle PSR$-এ $\angle PSR = 90^{\circ}$, অতিভুজ $PR = \sqrt{6}$ এবং লম্ব $PS = \sqrt{3}$।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী:
$$SR = \sqrt{PR^2 - PS^2} = \sqrt{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{6 - 3} = \sqrt{3}$$

যেহেতু $PS = SR = \sqrt{3}$, অর্থাৎ ত্রিভুজটির দুটি বাহু সমান, সুতরাং $\triangle PSR$ একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
অতএব, উক্তি i সঠিক।

উক্তি ii যাচাই:
সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle PSQ$-এ $\angle QPS = 30^{\circ}$।

$\therefore \operatorname{cosec} \angle QPS = \operatorname{cosec} 30^{\circ} = \frac{1}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

অতএব, উক্তি ii সঠিক।

উক্তি iii যাচাই:
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ $\triangle PSR$-এ $\angle PSR = 90^{\circ}$ এবং $PS = SR$।

যেহেতু সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় সমান:
$\therefore \angle PRS = \angle SPR = \frac{180^{\circ} - 90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$

এখন,
$$\sin \angle PRS = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$\cos \angle SPR = \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

$\therefore \sin \angle PRS = \cos \angle SPR$

অতএব, উক্তি iii সঠিক।

সুতরাং, i, ii ও iii তিনটি উক্তিই সঠিক।

ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৪ আনলক করো

এই টেস্ট পেপারটি প্রিমিয়াম প্যাকেজের অন্তর্ভুক্ত। সব বহুনির্বাচনি ও লিখিত প্রশ্ন অনুশীলন করতে সাবস্ক্রাইব করো।
প্যাকেজ দেখো লগইন