ভেক্টর হিসেবে $\vec A+\vec B=\vec A-\vec B$ হলে $2\vec B=\vec0$, অর্থাৎ $\vec B$ শূন্য ভেক্টর হতে হবে।

কিন্তু যোগফল ও বিয়োগফলের মান সমান বোঝালে $|\vec A+\vec B|^2-|\vec A-\vec B|^2=4\vec A\cdot\vec B=0$। তাই দুটি অশূন্য ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে এই মানদুটি সমান হয়; কোনো একটি শূন্য হলেও হয়।

এখানে, $\vec{A}=3 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k}$ এবং $\vec{B}=\hat{i}-\hat{j}+6 \hat{k}$

$\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর তলের লম্বদিকে ভেক্টর, $\vec{A} \times \vec{B}=$ ?

আমরা জানি,

$\begin{aligned} \vec{A} \times \vec{B} & =\left|\begin{matrix}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & -1 \\ 1 & -1 & 6\end{matrix}\right| \\ & =\hat{i}(24-1)-\hat{j}(18+1)+\hat{k}(-3-4) \\ & =23 \hat{i}-19 \hat{j}-7 \hat{k}\end{aligned}$

অতএব, $\vec{A}$ ও $\vec{B}$-এর তলের লম্বদিকে ভেক্টর $23 \hat{i}-19 \hat{j}-7 \hat{k}$.

এখানে, $\vec{\mathrm{C}}=2 x^2 y z \hat{\mathrm{i}}+y^2 z \hat{\mathrm{j}}+x^2 y^2 z^2 \hat{\mathrm{k}}$

(2, – 1, 2) বিন্দুতে $\vec{\mathrm{C}}$ ভেক্টর ক্ষেত্রটি তরলের উৎস হিসেবে কাজ করবে যদি উক্ত বিন্দুতে $\vec{\mathrm{C}}$-এর ডাইভারজেন্স ধনাত্মক হয়।

এখন,

$\begin{aligned} \operatorname{div}(\vec{C}) & =\vec{\nabla} \cdot \vec{C} \\ & =\left(\frac{\partial}{\partial x} \hat{i}+\frac{\partial}{\partial y} \hat{j}+\frac{\partial}{\partial z} \hat{k}\right) \cdot\left(2 x^2 y z \hat{i}+y^2 z \hat{j}+x^2 y^2 z^2 \hat{k}\right) \\ & =\frac{\partial}{\partial x}\left(2 x^2 y z\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(y^2 z\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(x^2 y^2 z^2\right) \\ & =4 x y z+2 y z+2 x^2 y^2 z\end{aligned}$

(2,- 1, 2) বিন্দুতে $\vec{\nabla} \cdot \vec{\mathrm{C}}$

$\begin{aligned} & =4 \times 2 \times(-1) \times 2+2 \times(-1) \times 2+2 \times 2^2 \times(-1)^2 \times 2 \\ & =-16-4+16=-4\end{aligned}$

সুতরাং, $(2,-1,2)$ বিন্দুতে $\vec{\mathrm{C}}$ ভেক্টর ক্ষেত্রটি তরলের উৎস হিসেবে কাজ করবে না।

এখানে, পাথর খণ্ডের ভর, m = 0.1kg

সুতার দৈর্ঘ্য, r = 0.2m

মিনিটে 60 বার ঘুরলে কৌণিক বেগ, $\omega=\frac{2 \pi \times 60}{60}=2 \pi \mathrm{rad} \mathrm{s}^{-1}$

ঘূর্ণন গতিশক্তি, $\mathrm{E}_{\mathrm{r}}=?$

আমরা জানি, $E_r=\frac{1}{2} I \omega^2=\frac{1}{2} m r^2 \times \omega^2$

$=\frac{1}{2} \times 0.1 \times(0.20)^2 \times(2 \pi)^2=0.079 \mathrm{~J}$

অতএব, পাথর খন্ডটির ঘূর্ণন গতিশক্তি 0.079 J

আগের মতো প্রতি মিনিটে 60 বার ঘোরালে $\omega=2\pi\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$ এবং নতুন ব্যাসার্ধ $r^\prime=0.60\,\mathrm m$। প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী লব্ধি বল $F_c=m\omega^2r^\prime=0.1(2\pi)^2(0.60)\approx2.37\,\mathrm N$।

সুতা কেন্দ্রের দিকে বল দেয়; একে কেন্দ্রবিমুখী বল বলা ঠিক নয়। অনুভূমিক বৃত্তে এই মানটুকুই কেন্দ্রাভিমুখী টানের জন্য প্রয়োজন, যা সুতার 2 N সীমা ছাড়ায়। উল্লম্ব বৃত্ত হলে সর্বনিম্ন বিন্দুতে আরও $mg$ যোগ হয়ে টান বেশি হবে। তাই একই ঘূর্ণন হার বজায় রেখে এই সুতায় চেষ্টাটি সফল হবে না।

ভরকেন্দ্র ভরের বণ্টন দিয়ে নির্ধারিত হয়; মহাকর্ষ ক্ষেত্র শূন্য হলেও সেটি সংজ্ঞায়িত থাকে। ভারকেন্দ্র হলো লব্ধি মহাকর্ষ বলের প্রয়োগবিন্দু।

আদর্শ গোলীয় পৃথিবীর ঠিক কেন্দ্রে মহাকর্ষ ক্ষেত্র শূন্য। সেখানে একটি বিন্দুবস্তুর ওজন শূন্য হওয়ায় শূন্য লব্ধি বলের জন্য আলাদা নির্দিষ্ট ভারকেন্দ্র নির্দেশ করা যায় না, যদিও তার ভরকেন্দ্র থাকে। সসীম বস্তুর ক্ষেত্রে পরিবর্তনশীল ক্ষেত্র ও ভরবণ্টন বিবেচ্য; শুধু পৃথিবী অসমসত্ত্ব বলে এই সিদ্ধান্ত দেওয়া সঠিক নয়।

উদ্দীপক হতে,

পৃথিবীর ভর, $\mathrm{M}=6 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $\mathrm{R}=6400 \mathrm{~km}=6.4 \times 10^6 \mathrm{~m}$

মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $\mathrm{G}=6. 67 \times 10^{-11} \mathrm{Nm}^2 \mathrm{~kg}^{-2}$

মহাকর্ষীয় প্রাবল্য, $\mathrm{E}=$ ?

আমরা জানি,

$\begin{aligned} E=\frac{G M}{R^2} & =\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{\left(6.4 \times 10^6\right)^2} \\ & =9.77 \mathrm{~N} \mathrm{~kg}^{-1}\end{aligned}$

অতএব, উদ্দীপকের A বিন্দুতে মহাকর্ষীয় প্রাবল্য $9.77 \mathrm{~N} \mathrm{~kg}^{-1}$.

উদ্দীপকে $AB=600\,\mathrm{km}$ ও $BC=250\,\mathrm{km}$। তাই ভূপৃষ্ঠ থেকে B-এর উচ্চতা 600 km এবং C-এর 850 km।

24 ঘণ্টা সময়কালের বৃত্তাকার কক্ষপথের জন্য $T=2\pi\sqrt{(R+h)^3/(GM)}$। তাই $h=\left(\dfrac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}-R\approx3.5897\times10^7\,\mathrm m=35897\,\mathrm{km}$।

B ও C কোনোটিই এই উচ্চতায় নয়, তাই কোনোটিতে উপগ্রহ ভূস্থির হবে না। উপযুক্ত উচ্চতা ছাড়াও ভূস্থির হতে কক্ষপথ বিষুবীয় ও বৃত্তাকার এবং আবর্তন পৃথিবীর একই দিকে হতে হয়।

ধরি, দুটি অসম ভরের বস্তুর মধ্যে হালকা বস্তুর ভর m এবং ভারী বস্তুর ভর M।

আমরা জানি,

হালকা বস্তুর গতিশক্তি, $K_1=\frac{p^2}{2 m}$. . . . . . . . . . . . . . (i)

ভারী বস্তুর গতিশক্তি, $\mathrm{K}_2=\frac{\mathrm{p}^2}{2 \mathrm{M}}$. . . . . . . . . . . . .(ii)

(i) $\div$ (ii) করে,

$\frac{\mathrm{K}_1}{\mathrm{~K}_2}=\frac{\mathrm{p}^2}{2 \mathrm{~m}} \times \frac{2 \mathrm{M}}{\mathrm{p}^2}$

বা, $\frac{\mathrm{K}_1}{\mathrm{~K}_2}=\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{m}}$

$\because M>m$ সুতরাং, $K_1>K_2$

অর্থাৎ, হালকা বস্তুর গতিশক্তি বেশি।

তাই বলা যায়, অসম ভরের দুটি বস্তুর ভরবেগ সমান হলেও গতিশক্তি সমান হবে না।

এখানে, গাড়ির ভর, m = 1200kg

উচ্চতা, h = 5m

অভিকর্ষজ ত্বরণ, $\mathrm{g}=9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$

∴ ইঞ্জিনটির কৃতকাজ, $\mathrm{W}=\mathrm{mgh}$

$=1200 \times 9.8 \times 5=58800 \mathrm{~J}$

অতএব, গাড়িটি তুলতে ইঞ্জিনটির কৃতকাজ 58800 J

এখানে, গাড়ির ভর, m = 1200kg

ধ্রুববেগ, $\mathrm{v}=72 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}=\frac{72 \times 1000}{3600} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}=20 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$

অনুভূমিকের সাথে কোণ, $\theta=1.13^{\circ}$

∴ ইঞ্জিনটির ক্ষমতা,

$\begin{aligned} \mathrm{P}=\mathrm{Fv} & =\mathrm{mg} \sin \theta \times \mathrm{v} \\ & =1200 \times 9.8 \times \sin 1.13^{\circ} \times 20 \\ & =4638.37 \mathrm{~W}\end{aligned}$

আবার, কুয়ার গভীরতা, h = 100m

পানির ভর, $\mathrm{m}_1=1000 \mathrm{~kg}$

সময়, $\mathrm{t}=5 \mathrm{~min}=300 \mathrm{~s}$

∴ ইঞ্জিনের প্রয়োজনীয় ক্ষমতা,

$\begin{aligned} P^{\prime} & =\frac{m_1 g h}{t} \\ & =\frac{1000 \times 9.8 \times 100}{300}=3266.67 \mathrm{~W}\end{aligned}$

এখানে, $\mathrm{P}>\mathrm{P}^{\prime}$

সুতরাং ঐ ব্যক্তি পানি তুলতে সক্ষম হয়েছিল।

স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে বস্তুর পার্শ্ব বিকৃতি ও দৈর্ঘ্য বিকৃতির অনুপাত একটি ধ্রুব রাশি, যাকে পয়সনের অনুপাত বলে।

∴ তামার পয়সনের অনুপাত 0.31 বলতে বোঝায়,

$\dfrac{\text{তামার পার্শ্ব বিকৃতি}}{\text{তামার দৈর্ঘ্য বিকৃতি}}=0.31$।

∴ পার্শ্ব বিকৃতি = 0.31 × দৈর্ঘ্য বিকৃতি

অর্থাৎ, দৈর্ঘ্য বিকৃতি = 3.226 × পার্শ্ব বিকৃতি

অর্থাৎ স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যে তামায় বল প্রয়োগে যে দৈর্ঘ্য বিকৃতি ঘটে তা পার্শ্ব বিকৃতির 3.226 গুণ।

এখানে,

$P$ তারের

ইয়ং এর গুণাঙ্ক,

$Y_p=2 \times 10^{11} N m^{-2}$

ব্যাস,

$D=1 \mathrm{~mm}=1 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$

∴ ক্ষেত্রফল,

$A=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2=\pi \times\left(\frac{1 \times 10^{-3}}{2}\right)^2$

$=7.853 \times 10^{-7} \mathrm{~m}^2$

দৈর্ঘ্য প্রসারণ,

$l=3.1 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$

তারের মূল দৈঘ্য, $\mathrm{L}=5 \mathrm{~m}$

আমরা জানি,

কৃতকাজ,

$\begin{aligned} & \mathrm{W}=\frac{1}{2} \times \frac{\mathrm{YA} l^2}{\mathrm{~L}} \\ & =\frac{1}{2} \times \frac{2 \times 10^{11} \times 7.853 \times 10^{-7} \times\left(3.1 \times 10^{-3}\right)^2}{5} \\ & =0.15 \mathrm{~J} \end{aligned}$

উদ্দীপক হতে,

$P$ তারের ইয়ং এর গুণাঙ্ক, $\mathrm{Y}_{\mathrm{P}}=2 \times 10^{11} \mathrm{Nm}^{-2}$

$Q$ তারে প্রযুক্ত বল, $F=98N$

$Q$ তারের দৈর্ঘ্য, $L=5m$

$Q$ তারের ব্যাসার্ধ, $\mathrm{r}=\frac{1}{2} \mathrm{~mm}=5 \times 10^{-4} \mathrm{~m}$

$Q$ তারের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি, $l=4.8 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$

$Q$ তারের ইয়ং এর গুণাঙ্ক,

$\begin{aligned} \mathrm{Y}_{\mathrm{Q}}=\frac{\mathrm{FL}}{\mathrm{Al}}=\frac{\mathrm{FL}}{\pi \mathrm{r}^2 l} & =\frac{98 \times 5}{3.1416 \times\left(5 \times 10^{-4}\right)^2 \times 4.8 \times 10^{-3}} \\ & =1.3 \times 10^{11} \mathrm{Nm}^{-2}\end{aligned}$

যেহেতু $Y_P>Y_Q$

সুতরাং, $P$ তারের স্থিতিস্থাপকতা বেশি। তাই উদ্দীপক অনুসারে বিল্ডিং তৈরি করার জন্য $P$ তারটি বেশি উপযোগী হবে।

এই সিদ্ধান্ত কেবল একই পীড়নে কম দৈর্ঘ্য-বিকৃতি বা বেশি অনুদৈর্ঘ্য দৃঢ়তার তুলনায় প্রযোজ্য। প্রকৃত নির্মাণ-উপযোগিতা নির্ধারণে ভাঙন-পীড়ন, নমনীয়তা ও ক্ষয়রোধের মতো তথ্যও প্রয়োজন।

সরল দোলকের প্রত্যাবর্তী বলের স্পর্শকীয় উপাংশ $-mg\sin\theta$। ছোট কৌণিক বিস্তারে, যেমন প্রায় $4^\circ$-এর মধ্যে, রেডিয়ানে $\sin\theta\simeq\theta$ ধরা যায়; ফলে প্রত্যাবর্তী প্রভাব সরণের সমানুপাতিক হয় এবং সরল ছন্দিত গতির আনুমানিক সূত্র $T=2\pi\sqrt{L/g}$ ব্যবহার করা যায়।

বিস্তার বড় হলে এই আনুমানিকতা কম নির্ভুল হয় এবং সময়কাল বিস্তারের ওপর নির্ভর করে। দোলক ছোট বা বড় উভয় বিস্তারেই বৃত্তচাপ বরাবর চলে; 4° কোনো আকস্মিক গতিপথ-পরিবর্তনের সীমা নয়।

উদ্দীপক হতে, বল ধ্রুবক, $\mathrm{k}=1.8 \mathrm{Nm}^{-1}$

বস্তুকণার ভর, m = 0.2kg

কৌণিক কম্পাঙ্ক, $\omega=\sqrt{\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{m}}}=\sqrt{\frac{1.8}{0.2}}=3 \mathrm{rad} \mathrm{s}^{-1}$

কম্পাঙ্ক, $f=\frac{\omega}{2 \pi}=\frac{3}{2 \times 3.1416}=0.4775 \mathrm{~Hz}$

অতএব, স্পন্দনশীল বস্তুটির কম্পাঙ্ক $0.4775 \mathrm{~Hz}$ ।

উদ্দীপক হতে, বল ধ্রুবক, $\mathrm{k}=1.8 \mathrm{Nm}^{-1}$

বস্তুকণার ভর, m = 0.2kg

সরণের ভেক্টর সমীকরণ, $\vec{r}=(\hat{i} \cos 3 t+\hat{j} \sin 3 t) m$

সরণের মান, $\mathbf{x}=|\vec{\mathbf{r}}|$

$=\sqrt{\cos ^2 3 t+\sin ^2 3 t}=1 m$

বেগের ভেক্টর সমীকরণ,

$\vec{v}=\frac{d \vec{r}}{d t}=\{-(\hat{i} 3 \sin 3 t)+\hat{j}(3 \cos 3 t)\} \mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}$

বেগের মান,

$\begin{aligned} v & =\sqrt{(-3 \sin 3 t)^2+(3 \cos 3 t)^2} \\ & =3 \sqrt{\sin ^2 3 t+\cos ^2 3 t}=3 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\end{aligned}$

গতিশক্তি, $K=\frac{1}{2} m v^2=\frac{1}{2} \times 0.2 \times 3^2=0.9 \mathrm{~J}$

বিভবশক্তি, $\mathrm{U}=\frac{1}{2} \mathrm{kx}^2=\frac{1}{2} \times 1.8 \times 1^2=0.9 \mathrm{~J}$

যেহেতু K = U

তাই বলা যায়, উদ্দীপকে উল্লিখিত সরণে বস্তুটির গতিশক্তি ও বিভবশক্তি সমান হবে।

তবে প্রদত্ত $\vec r(t)$-তে $x^2+y^2=1$; কণাটির পূর্ণ গতি সমবেগ বৃত্তীয়, সরলরৈখিক সরল ছন্দিত গতি নয়। x ও y অভিক্ষেপ পৃথকভাবে SHM। $\vec F=-k\vec r$ কেন্দ্রীয় প্রত্যাবর্তী বলের দ্বিমাত্রিক মডেলে উপরোক্ত K=U ফলটি সঠিক; প্রদত্ত একমাত্রিক SHM বর্ণনার সঙ্গে এটি অসংগত।

হাঁটার সময় পা মাটিকে পেছনে ঠেলে এবং মাটি পায়ে সামনের দিকে ঘর্ষণ বল দেয়। আলগা বালিতে দানাগুলো পায়ের চাপে সরে যায় ও পা দেবে যায়, তাই শক্ত মাটির মতো স্থিতিশীল অবলম্বন এবং কার্যকর সামনের ঘর্ষণ পাওয়া কঠিন হয়।

বালি সরানো ও দেবে যাওয়ায় শক্তিও ব্যয় হয়। এজন্য হাঁটা কষ্টকর; বালিকে পানির মতো আন্তঃআণবিক ব্যবধানের যুক্তিতে ব্যাখ্যা করা প্রয়োজন নেই।

এখানে, চাকার ব্যাসার্ধ, $\mathrm{r}=\frac{1.2}{2}=0.6 \mathrm{~m}$

কৌণিক বেগ, $\omega=\frac{2 \pi \times 50}{15}=20.944 \mathrm{rad} \mathrm{s}^{-1}$

∴ চাকাটির প্রান্তের রৈখিক বেগ,

$\begin{aligned} \mathbf{v}=\omega \mathbf{r} & =20.944 \times 0.6 \\ & =12.566 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\end{aligned}$

অতএব, চাকাটির প্রান্তের রৈখিক বেগ $12.566 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$

চিত্রে ব্যাঙ্কের ঢালু প্রস্থ 5 m ও উচ্চতা 0.2 m; তাই $\theta=\sin^{-1}(0.2/5)\approx2.292^\circ$। গাড়ির বেগ $v=p/m=3600/600=6\,\mathrm{m\,s^{-1}}$।

ঘর্ষণ ছাড়াই বাঁক নেওয়ার নকশা-বেগ $v_0=\sqrt{rg\tan\theta}\approx7.411\,\mathrm{m\,s^{-1}}$। এটি সর্বোচ্চ নিরাপদ বেগ নয়। প্রকৃত 6 m/s এই মানের নিচে হওয়ায় ঘর্ষণহীন হলে গাড়ি ঢালের নিচের দিকে পিছলাতে চাইবে।

ঘর্ষণযুক্ত রাস্তার জন্য প্রয়োজনীয় সর্বনিম্ন সহগ $\mu_{\min}=\dfrac{\tan\theta-v^2/(rg)}{1+\tan\theta\,v^2/(rg)}\approx0.0138$। প্রশ্নে ঘর্ষণ-সহগ দেওয়া নেই, তাই নিরাপদে পারবে বলে নিশ্চিত সিদ্ধান্ত দেওয়া যায় না।

গ-তে পাওয়া 12.566 m/s চাকার কেন্দ্রের সাপেক্ষে প্রান্তের বেগ। একই সময়ে বিশুদ্ধ গড়িয়ে চলা বোঝালে এটি গাড়ির 6 m/s-এর সঙ্গে মেলে না; সেক্ষেত্রেও প্রদত্ত তথ্য অসংগত।

কোনো পদার্থকে ঘরের তাপমাত্রায় সাধারণত গ্যাস বলা হলেও তার প্রকৃত তাপমাত্রা অনুযায়ী এই পার্থক্য করতে হয়।

দেওয়া আছে,
$A$ সিলিন্ডারের চাপ, $P = 630 \text{ kPa} = 630 \times 10^3 \text{ Pa}$
আয়তন, $V = 10^{-3} \text{ m}^3$
মোল সংখ্যা, $n = 3 \text{ mole}$
সার্বজনীন গ্যাস ধ্রুবক, $R = 8.314 \text{ J mol}^{-1} \text{K}^{-1}$
গ্যাসের তাপমাত্রা, $T = ?$
আমরা জানি,
আদর্শ গ্যাস সমীকরণ,
$PV = nRT$
$T = \frac{PV}{nR}$
$T = \frac{630 \times 10^3 \times 10^{-3}}{3 \times 8.314}$
$T = \frac{630}{24.942}$
$T \approx 25.26 \text{ K}$

$A$ সিলিন্ডারের গ্যাসের তাপমাত্রা প্রায় $25.26 \text{ K}$।

আদর্শ গ্যাসের গতিতত্ত্বে মোলার ভর $M=3PV/(nC_{\rm rms}^2)$। তাই $M_A=\dfrac{3(630000)(10^{-3})}{3(150)^2}=0.028\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$ এবং $M_B=\dfrac{3(825000)(10^{-3})}{3(171.5)^2}\approx0.02805\,\mathrm{kg\,mol^{-1}}$।

রাউন্ডিংয়ের মধ্যে উভয়ের মোলার ভর প্রায় $28\,\mathrm{g\,mol^{-1}}$, যা নাইট্রোজেনের সঙ্গে সঙ্গতিপূর্ণ। কিন্তু সমান মোলার ভর থেকেই রাসায়নিক পরিচয় নিশ্চিত হয় না; অন্য কোনো গ্যাসের মোলার ভরও একই হতে পারে। তাই তথ্য দুটি একই গ্যাস হওয়ার সঙ্গে সঙ্গতিপূর্ণ, নিশ্চিত প্রমাণ নয়।

একটি ভৌত সীমাবদ্ধতাও আছে: আদর্শ সূত্রে A-এর তাপমাত্রা প্রায়25.26 K পাওয়া যায়; 630 kPa চাপে এই তাপমাত্রায় নাইট্রোজেনকে সাধারণ গ্যাস হিসেবে ধরা বাস্তবসম্মত নয়। তাই এটি আদর্শায়িত সংখ্যাতাত্ত্বিক অনুশীলন হিসেবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে।