এখানে, নৌকার বেগ, $\mathrm{v}=5 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}$

নদীর প্রস্থ, d = 2 km

স্রোতের বেগের সাথে নৌকার বেগের উৎপন্ন কোণ, $\alpha=90^{\circ}$

নদী পার হতে সময়, t = ?

আমরা জানি, $t=\frac{d}{v \sin \alpha}=\frac{2}{5 \sin 90^{\circ}}=0.4 \mathrm{~h}$

অতএব, রহিম 0.4 h সময়ে নদী পার হয়েছিল।

এখানে, করিমের লব্ধি বেগ, $v=5.3 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}$

বৃষ্টির বেগ, $\mathrm{v}_{\mathrm{R}}=10 \mathrm{~km} \cdot \mathrm{~h}^{-1}$

উলম্বের সাথে ছাতা ধরার কোণ, $\theta=?$

আমরা জানি,

$\tan \theta=\frac{v}{v_R}$

বা, $\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{5.3}{10}\right)=27.92^{\circ}$

সুতরাং উদ্দীপক অনুসারে, করিমকে বৃষ্টি থেকে রক্ষা পেতে উল্লম্বের সাথে 27.92° কোণে ছাতা ধরতে হবে।

এখানে বৃষ্টিকে ভূমির সাপেক্ষে খাড়া নিচের দিকে পড়ছে ধরা হয়েছে। সেই শর্তে আপেক্ষিক বৃষ্টির অনুভূমিক উপাংশ করিমের গতির বিপরীত; তাই ছাতার ওপরের অংশ নিজের চলার দিকের দিকে কাত করতে হবে। বৃষ্টির দিক খাড়া না হলে শুধু10km/hদ্রুতি দিয়ে এই কোণ নির্ণীত নয়।

বক্তব্যে “ভিন্ন তলে” বলতে তিনটি ভেক্টরকে একই আদিবিন্দুতে স্থাপন করলে অসহতল বোঝাতে হবে। লব্ধি শূন্য ধরলে $\vec A+\vec B+\vec C=\vec0$, তাই $\vec C=-(\vec A+\vec B)$।

সুতরাং তৃতীয় ভেক্টরটি প্রথম দুইটির বিস্তৃত তলেই থাকতে বাধ্য; অর্থাৎ তিনটি সহতল হয়। তাই সত্যিকার অসহতল তিনটি ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হতে পারে না। শুধু আঁকার সময় আলাদা তলে অবস্থান করানো এই শর্তের বিকল্প নয়।

এখানে, সাইকেলের বেগ, $\mathrm{v}=15 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$

হেলে যাওয়া কোণ, $\theta=20^{\circ}$

বাঁকের ব্যাসার্ধ, r = ?

আমরা জানি,

$\tan \theta=\frac{\mathrm{v}^2}{\mathrm{rg}}$

বা, $r=\frac{v^2}{g \tan \theta}=\frac{(15)^2}{9.8 \times \tan 20^{\circ}}=63.08 \mathrm{~m}$

অতএব, রাস্তাটির বাঁকের বক্রতার ব্যাসার্ধ 63.08 m।

এখানে, হেলে যাওয়া কোণ, $\theta=20^{\circ}$
প্রতিক্রিয়া বল, R = 1147.18 N
অভিকর্ষজ ত্বরণ, $\mathrm{g}=9.8 \mathrm{~ms}^{-2}$.
সাইকেলের ভর, $\mathrm{m}_1=35 \mathrm{~kg}$
আরোহীর ভর, $m_2=$ ?

আমরা জানি,

$R \cos \theta=\left(m_1+m_2\right) g$

বা, $m_1+m_2=\frac{R \cos \theta}{g}$

বা, $m_2=\frac{R \cos \theta}{g}-m_1=\frac{1147.18 \times \cos 20^{\circ}}{9.8}-35=75 \mathrm{~kg}$

সুতরাং, উদ্দীপকের শিক্ষার্থীর মন্তব্য যথার্থ।

এখানে, বস্তুটির ভর, m = 10kg

$\begin{aligned} & A B=30 \mathrm{~m} ; B C=50 \mathrm{~m} \\ \therefore \quad & A C=\sqrt{B C^2-A B^2}=\sqrt{(50)^2-(30)^2}=40 \mathrm{~m}\end{aligned}$

∴ C বিন্দুতে বিভবশক্তি,

$\begin{aligned} E_p=m g h & =10 \times 9.8 \times 40 \\ & =3920 J[\because h=A C=40 \mathrm{~m}]\end{aligned}$

অতএব C বিন্দুতে বস্তুটির বিভবশক্তি 3920 J

উভয় পথে উচ্চতা বৃদ্ধি $h=AC=\sqrt{50^2-30^2}=40\,\mathrm m$। $DC=\sqrt{40^2+5^2}=\sqrt{1625}\approx40.3113\,\mathrm m$। ঘর্ষণ উপেক্ষা এবং পথ বরাবর ধ্রুব ত্বরণ3m/s² ধরে ইঞ্জিনের বল $F=mg\sin\theta+ma$।

তাই পথের দৈর্ঘ্য $s$ হলে ইঞ্জিনের কাজ $W=Fs=mgh+mas$। DC-তে $W_{DC}=3920+30\sqrt{1625}\approx5129.34\,\mathrm J$; BC-তে $W_{BC}=3920+30(50)=5420\,\mathrm J$।

অতএব BCপথে উপযোগী যান্ত্রিক কাজ প্রায়290.66Jবেশি। উভয় পথের মাধ্যাকর্ষীয় বিভববৃদ্ধি একই; দীর্ঘ পথে একই ত্বরণ বজায় রাখায় গতিশক্তি বেশি বাড়ে। ইঞ্জিনের জ্বালানি-শক্তি তুলনায় একই কর্মদক্ষতা ধরা প্রয়োজন।

গোলীয় প্রতিসম পৃথিবীর কেন্দ্রে বিপরীত দিকের সমদূরবর্তী ভরাংশগুলোর আকর্ষণ সমান ও বিপরীত হওয়ায় লব্ধি মহাকর্ষ ক্ষেত্র শূন্য হয়।

সুষম ঘনত্বের বিশেষ মডেলে গভীরতা $h$-এ $g_h=g(1-h/R)$; কেন্দ্রে $h=R$ বসালেও শূন্য পাওয়া যায়। ভেতরের সর্বত্র এই সরল রৈখিক সূত্র ব্যবহারে সুষম ঘনত্বের অনুমান দরকার।

$O$ অবলম্বন, $B$ সর্বনিম্ন বিন্দু, $OA=2\,\mathrm m$ এবং উল্লম্ব $OB$-এর সঙ্গে $OA$-এর কোণ $60^\circ$। $A$ থেকে উল্লম্বে অনুভূমিক লম্বের পাদবিন্দু $E$; তাই $OE=OA\cos60^\circ$, $BE=OB-OE$।

এখানে, ববের ভর, m = 4kg

চিত্র হতে,

$\cos 60^{\circ}=\frac{\mathrm{OE}}{\mathrm{OA}}$

বা, $\mathrm{OE}=\mathrm{OA} \cos 60^{\circ}=2 \times \frac{1}{2}=1 \mathrm{~m}$

$\therefore \mathrm{BE}=\mathrm{OB}-\mathrm{OE}=(2-1) \mathrm{m}=1 \mathrm{~m}[\because \mathrm{OA}=\mathrm{OB}=2 \mathrm{~m}]$

∴ A বিন্দুতে বিভবশক্তি,

$\begin{aligned} \mathrm{E}_{\mathrm{p}} & =\mathrm{mg} \times \mathrm{BE} \\ & =4 \times 9.8 \times 1=39.2 \mathrm{~J}\end{aligned}$

অতএব, A বিন্দুতে দোলকটির বিভবশক্তি 39.2 J

B-তে বিভব শূন্য ধরি। A ও D প্রদত্ত সর্বোচ্চ বিন্দু, তাই সেগুলোতে বেগশূন্য; ঘর্ষণ উপেক্ষায় মোটশক্তি $E=mgL(1-\cos60^\circ)=39.2\,\mathrm J$।

C-তে $U_C=mgL(1-\cos30^\circ)=4(9.8)(2-\sqrt3)\approx10.5036\,\mathrm J$ এবং $K_C=39.2-U_C\approx28.6964\,\mathrm J$। তাই $K_C/U_C=1+\sqrt3\approx2.732$।

অতএব C-তে গতিশক্তি বিভবশক্তির প্রায়2.73গুণ।

চলন্ত গাড়ির টায়ার বারবার বিকৃত হয় এবং রাবারের অভ্যন্তরীণ অপচয় ও রাস্তার সঙ্গে ঘর্ষণে তাপ সৃষ্টি হয়। এই তাপ ভেতরের বাতাসে গেলে তার তাপমাত্রা বাড়ে।

বাতাসের পরিমাণ ও আয়তন প্রায় অপরিবর্তিত থাকলে $P\propto T$, তাই চাপ বাড়ে। গাড়ির সামগ্রিক চলার বেগ বাড়লেই টায়ারের সাপেক্ষে অণুর তাপীয় দ্রুতি সরাসরি বাড়ে—এমন নয়; তাপমাত্রার বৃদ্ধি প্রাসঙ্গিক।

ধরি, পৃথিবীর ভর = $\mathrm{M}_{\mathrm{e}}$, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ = $\mathrm{R}_{\mathrm{e}}$

উদ্দীপক হতে, গ্রহের ভর, M=64 $\mathrm{M}_{\mathrm{e}}$, গ্রহের ব্যাসার্ধ, R=9 $\mathrm{R}_{\mathrm{e}}$

পৃথিবীর অভিকর্ষজ ত্বরণ, $\mathrm{g}_{\mathrm{e}}=9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$

গ্রহটির পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, $\mathrm{g}=$ ?

আমরা জানি,

$\begin{aligned} g=\frac{G M}{R^2} & =\frac{G \times 64 M_e}{\left(9 R_e\right)^2}=\frac{64}{81} \times \frac{G M_e}{R_e^2} \\ & =\frac{64}{81} \times g_e=\frac{64}{81} \times 9.8=7.743 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}\end{aligned}$

অতএব, গ্রহটির পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ $7.743 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$.

গ্রহটির মুক্তিবেগ $v_e^\prime=\sqrt{64/9}\,(11.2)=29.87\,\mathrm{km\,s^{-1}}$। প্রদত্ত খাড়া নিক্ষেপণ বেগ25km/sএরচেয়ে কম।

বায়ুর বাধা ও গ্রহের আবর্তন উপেক্ষায় নির্দিষ্ট যান্ত্রিক শক্তি ঋণাত্মক এবং খাড়া নিক্ষেপণে কৌণিক ভরবেগ শূন্য। তাই উপগ্রহটি রেডিয়াল পথে ওপরে উঠে এক উচ্চতায় থেমে আবার গ্রহের পৃষ্ঠে ফিরে আসবে; গ্রহকে কেন্দ্র করে সাধারণ উপবৃত্তাকার কক্ষপথে ঘুরবে না।

শক্তির নিত্যতা থেকে $r_{\max}=\dfrac{R}{1-(v/v_e^\prime)^2}\approx3.34R$। এখানে $v>v_e^\prime/\sqrt2$ হলেও সেই তুলনা মাত্র দিয়ে রেডিয়াল নিক্ষেপণকে অক্ষত উপবৃত্তাকার কক্ষপথ বানানো যায় না।

উদ্দীপক হতে, B তারের পীড়ন $=4.9 \times 10^{10} \mathrm{Nm}^{-2}$

$B$ তারের বিকৃতি $= 0.2$

$B$ তারের একক আয়তনে সঞ্চিত বিভবশক্তি,

$\mathrm{U}=\frac{1}{2}$ × পীড়ন × বিকৃতি

$=\frac{1}{2} \times 4.9 \times 10^{10} \times 0.2=4.9 \times 10^9 \mathrm{Jm}^{-3}$

অতএব, $B$ তারের একক আয়তনে সঞ্চিত বিভবশক্তি $4.9 \times 10^9 \mathrm{Jm}^{-3}$

উদ্দীপক হতে, উভয় তারের বিকৃতি $= 0.2$
$A$ তারের পীড়ন $=4 \times 10^{10} \mathrm{Nm}^{-2}$
$B$ তারের পীড়ন $=4.9 \times 10^{10} \mathrm{Nm}^{-2}$

$A$ তারের ইয়ং এর গুণাঙ্ক,

$Y_A=\dfrac{\text{পীড়ন}}{\text{বিকৃতি}}=\dfrac{4\times10^{10}}{0.2}=2\times10^{11}\,\mathrm{N\,m^{-2}}$।

$B$ তারের ইয়ং এর গুণাঙ্ক,

$Y_B=\dfrac{\text{পীড়ন}}{\text{বিকৃতি}}=\dfrac{4.9\times10^{10}}{0.2}=2.45\times10^{11}\,\mathrm{N\,m^{-2}}$।

যেহেতু $Y_B>Y_A$

সুতরাং, $B$ তারটি বেশি স্থিতিস্থাপক। তাই উদ্দীপক অনুসারে $B$ তারটি বিল্ডিং তৈরির জন্য বেশি উপযোগী।

এটি একই পীড়নে কম বিকৃতি তথা বেশি অনুদৈর্ঘ্য দৃঢ়তার তুলনা। শুধু ইয়ং গুণাঙ্ক দিয়ে প্রকৃত নির্মাণের সামগ্রিক উপযোগিতা নিশ্চিত নয়; ভাঙনসীমা, নমনীয়তা ও পরিবেশগত স্থায়িত্বও প্রয়োজন।

একই বলকে অক্ষের লম্বভাবে প্রয়োগ করলে টর্ক $\tau=rF$। লম্বা হাতলে $r$ বেশি হওয়ায় একই টর্কের জন্য কম বল লাগে; এজন্য নাটবল্টু খোলা সহজ হয়।

এতে প্রয়োজনীয় যান্ত্রিক কাজ বিনা কারণে কমে যায় না: একই কোণ ঘোরাতে হাতল বেশি পথ অতিক্রম করে। সুবিধাটি বলের পরিমাণ কমানো, শক্তি সৃষ্টি বা অনিবার্যভাবে শক্তি সাশ্রয় নয়।

এখানে, চাপ, $\mathrm{P}=2 \mathrm{~atm}=2 \times 101325 \mathrm{~Pa}=202650 \mathrm{~Pa}$

তাপমাত্রা, $T=30^{\circ} C=(30+273) K=303 K$

মোল সংখ্যা, n = 5mol

আয়তন, V = ?

মোলার গ্যাস ধ্রুবক, $\mathrm{R}=8.31 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}$

আমরা জানি,

PV = nRT

বা, $\mathrm{V}=\frac{\mathrm{nRT}}{\mathrm{P}}=\frac{5 \times 8.31 \times 303}{202650}=0.062 \mathrm{~m}^3$

অতএব, গ্যাসটির প্রাথমিক আয়তন $0.062 \mathrm{~m}^3$

এখানে, প্রাথমিক চাপ, $\mathrm{P}_1=2$ atm
আয়তন, $\mathrm{V}_1=0.062 \mathrm{~m}^3$
তাপমাত্রা, $\mathrm{T}_1=30^{\circ} \mathrm{C}=303 \mathrm{~K}$

তাপ প্রয়োগের পর-

চাপ, $\mathrm{P}_2=2 \mathrm{P}_1$
আয়তন, $\mathrm{V}_2=2 \mathrm{~V}_1$
তাপমাত্রা, $\mathrm{T}_2=$ ?

আমরা জানি, $\frac{P_1 V_1}{T_1}=\frac{P_2 V_2}{T_2}$

বা, $T_2=\frac{T_1 P_2 V_2}{P_1 V_1}=\frac{303 \times 2 P_1 \times 2 V_1}{P_1 V_1}=1212 \mathrm{~K}$

আবার, স্থানান্তর গতির মোট গতিশক্তি, $E_k=\frac{3}{2}nRT$

$\therefore \quad \mathrm{E}_{\mathrm{k}} \propto \mathrm{T}$

এখন, $\frac{E_{k_1}}{E_{k_2}}=\frac{T_1}{T_2}=\frac{303}{1212}$

বা, $E_{k_2}=4 \times E_{k_1}$

শিক্ষার্থী মন্তব্য করেছে গ্যাসটির মোট গতিশক্তি দ্বিগুণ হবে। কিন্তু গ্যাসটির মোট গতিশক্তি পূর্বের 4 গুণ হবে।
অতএব, শিক্ষার্থীর মন্তব্য সঠিক নয়।

উদ্দীপক হতে,

দোলকটি দিনে ধীরে চলে, n=15 s

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $\mathrm{R}=6.4 \times 10^6 \mathrm{~m}$

পর্বতের উচ্চতা, h = ?

পর্বতের পাদদেশে ও চূড়ায় পর্যায়কাল যথাক্রমে T ও T' হলে,

$\frac{T^{\prime}}{T}=\frac{86400}{86400-n}=\frac{86400}{86400-15}=1.000173641$

আমরা জানি,

$\begin{aligned} h & =\left(\frac{T^{\prime}}{T}-1\right) R \\ & =(1.000173641-1) \times 6.4 \times 10^6 \\ & =1111.3 \mathrm{~m}\end{aligned}$

অতএব, পর্বতটির উচ্চতা 1111.3 m

'গ' হতে পাই, $\frac{\mathrm{T}^{\prime}}{\mathrm{T}}=1.000173641$

ধরি, সঠিক সময় পেতে পর্বতারোহী দোলকটির কার্যকর দৈর্ঘ্য L কে পরিবর্তন করে L' করেছিলো।

আমরা জানি, $\frac{L^{\prime}}{g^{\prime}}=\frac{L}{g}$

বা, $\mathrm{L}^{\prime}=\frac{\mathrm{g}^{\prime}}{\mathrm{g}} \times \mathrm{L}=\left(\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{T}^{\prime}}\right)^2 \times \mathrm{L}\left[\because \frac{\mathrm{g}^{\prime}}{\mathrm{g}}=\left(\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{T}^{\prime}}\right)^2\right]$

$\begin{aligned} & \quad=\left(\frac{1}{1.000173641}\right)^2 \mathrm{~L} \\ & \therefore \quad \mathrm{~L}^{\prime}=0.999653 \mathrm{~L}\end{aligned}$

দৈর্ঘ্যের হ্রাস $=\mathrm{L}-0.999653 \mathrm{~L}$

$=3.47 \times 10^{-4} \mathrm{~L}=\mathrm{L}$ এর $0.0347 \%$

অতএব, সঠিক সময় পেতে পর্বতারোহী দোলকটির কার্যকর দৈর্ঘ্য 0.0347% হ্রাস করেছিলো।