বাতাসের অনুভূমিক প্রভাব উপেক্ষা করে বৃষ্টি খাড়া নিচে পড়লে বৃষ্টির বেগ $\vec u$ এবং গাড়ির বেগ $\vec v$। গাড়ির সাপেক্ষে বৃষ্টির বেগ $\vec u-\vec v$; এর অনুভূমিক উপাংশ গাড়ির গতির বিপরীত দিকে।

তাই গাড়ির যাত্রীর কাছে বৃষ্টি সামনের দিক থেকে তির্যকভাবে আসতে দেখা যায় এবং সামনের কাচে লাগে। আদর্শ এই পরিস্থিতিতে পিছনের কাচ সরাসরি সেই বৃষ্টির মুখোমুখি হয় না। বাতাস ও ঘূর্ণিস্রোত থাকলে বাস্তবে পিছনের কাচও ভিজতে পারে।

$\nabla\times\vec V=(\partial_yV_z-\partial_zV_y)\hat i+(\partial_zV_x-\partial_xV_z)\hat j+(\partial_xV_y-\partial_yV_x)\hat k$।

সুতরাং $\nabla\cdot(\nabla\times\vec V)=\partial_x\partial_yV_z-\partial_x\partial_zV_y+\partial_y\partial_zV_x-\partial_y\partial_xV_z+\partial_z\partial_xV_y-\partial_z\partial_yV_x$।

দ্বিতীয় আংশিক অন্তরজগুলো অবিচ্ছিন্ন হলে মিশ্র অন্তরজের ক্রম বদলানো যায়; পদগুলো জোড়ায় কাটে। তাই $\nabla\cdot(\nabla\times\vec V)=0$।

$\nabla\phi=(\partial_x\phi)\hat i+(\partial_y\phi)\hat j+(\partial_z\phi)\hat k$। এর কার্লের উপাংশগুলো যথাক্রমে $\partial_y\partial_z\phi-\partial_z\partial_y\phi$, $\partial_z\partial_x\phi-\partial_x\partial_z\phi$ এবং $\partial_x\partial_y\phi-\partial_y\partial_x\phi$।

$\phi$-এর দ্বিতীয় আংশিক অন্তরজগুলো অবিচ্ছিন্ন হলে প্রতিটি পার্থক্য শূন্য। সুতরাং $\nabla\times(\nabla\phi)=\vec0$।

বাহ্যিক ঘাত উপেক্ষা করলে সম্পূর্ণ স্থিতিস্থাপক ও সম্পূর্ণ অস্থিতিস্থাপক উভয় সংঘর্ষেই মোট ভরবেগ সংরক্ষিত থাকে। স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষে গতিশক্তিও সংরক্ষিত এবং প্রত্যাবর্তন সহগ $e=1$।

সম্পূর্ণ অস্থিতিস্থাপক সংঘর্ষে বস্তুদুটি একসঙ্গে একই বেগে চলে, $e=0$; গতিশক্তির একাংশ অন্য শক্তিতে যায়। আলাদা হয়ে যাওয়া সাধারণ অস্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ হতে পারে, কিন্তু সম্পূর্ণ অস্থিতিস্থাপক সংঘর্ষের শর্ত নয়।

প্রথম বস্তুর শেষ বেগ $v_1=8/4=2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$। দ্বিতীয় বস্তুর ভর $m_2$ ও শেষ বেগ $v_2$ হলে $7(8)=7(2)+m_2v_2$, অর্থাৎ $m_2v_2=42\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$।

দুটি অজানার জন্য এটি একটি সমীকরণ। সংঘর্ষের প্রকৃতি, প্রত্যাবর্তন সহগ বা দ্বিতীয় বস্তুর শেষ বেগ না জানলে ভর এককভাবে পাওয়া যায় না। অতিরিক্তভাবে সংঘর্ষ স্থিতিস্থাপক ধরলে $v_2-v_1=8$, তাই $v_2=10\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ও $m_2=4.2\,\mathrm{kg}$। এই মান শর্তসাপেক্ষ।

আদি গতিশক্তি $K_i=\frac12(7)(8^2)=224\,\mathrm J$। ভরবেগ থেকে $v_2=42/m_2$, ফলে $K_f=\frac12(7)(2^2)+\frac12m_2(42/m_2)^2=14+882/m_2$ জুল।

$K_f=224$ হওয়ার জন্য $m_2=4.2\,\mathrm{kg}$ লাগবে, কিন্তু এই ভর উদ্দীপকে নেই। স্থিতিস্থাপকতা ধরে পাওয়া ভর দিয়ে আবার স্থিতিস্থাপকতা প্রমাণ করা চক্রাকার যুক্তি। তাই প্রদত্ত তথ্য থেকে সংঘর্ষের প্রকৃতি নিশ্চিতভাবে যাচাই করা যায় না।

বাঁক নিতে কেন্দ্রের দিকে $mv^2/r$ বল দরকার। দ্রুতি বাড়লে এই প্রয়োজন $v^2$ অনুযায়ী বাড়ে। চাকা ও রাস্তার বলের আনুভূমিক উপাংশ যথেষ্ট না হলে গাড়ি বাইরের দিকে পিছলাতে পারে।

বলগুলোর ঘূর্ণনপ্রভাবের কারণে বাইরের চাকার উপর ভর করে গাড়ি উল্টাতেও পারে; সেই সীমা ভরকেন্দ্রের উচ্চতা ও চাকার ব্যবধানের উপর নির্ভর করে। ব্যাংকিং কেন্দ্রমুখী বল পেতে সাহায্য করে, কিন্তু পিছলানো ও উল্টে যাওয়া পৃথক ঘটনা।

ঘর্ষণ থাকলে একটি বেগে নিরাপদে চলতে পারার তথ্য দিয়ে ব্যাংকিং কোণ এককভাবে নির্ণীত হয় না। এখানে $\mu=0.5$ এবং $v=25/3.6=6.9444\,\mathrm{m\,s^{-1}}$; এমনকি সমতল রাস্তায়ও ঘর্ষণ যথেষ্ট।

যদি অতিরিক্তভাবে এই বেগকে ঘর্ষণবিহীন নকশা-বেগ ধরা হয়, তবে $\tan\theta=v^2/(rg)=0.0984198$, অর্থাৎ $\theta\approx5.62^\circ$। $8\,\mathrm m$-কে ঢাল বরাবর প্রস্থ ধরলে $h=8\sin\theta\approx0.784\,\mathrm m$। এটি অতিরিক্ত শর্তের ফল; সরবরাহকৃত নিরাপদ বেগ থেকে অনিবার্য উচ্চতা নয়।

ব্যাংকিংবিহীন সমতলে পিছলানো এড়ানোর শর্ত $mv^2/r\le\mu_smg$। তাই $v_{\max}=\sqrt{\mu_srg}=\sqrt{0.5(50)(9.8)}=15.65\,\mathrm{m\,s^{-1}}$।

বর্তমান বেগ $6.944\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ এই সীমার কম। সুতরাং পিছলানোর বিচারে বাঁক নেওয়া সম্ভব। উল্টে যাওয়ার আলাদা সীমা নির্ণয়ের জন্য গাড়ির ভরকেন্দ্র ও চাকার ব্যবধান লাগবে।

কর্মদক্ষতা $\eta=E_{\mathrm{useful}}/E_{\mathrm{input}}\times100\%$। শক্তি সংরক্ষণ অনুযায়ী সাধারণ শক্তি-রূপান্তর যন্ত্রে কার্যকর প্রাপ্ত শক্তি প্রদত্ত শক্তির বেশি হতে পারে না; তাই দক্ষতা $100\%$-এর বেশি নয়।

বাস্তব যন্ত্রে ঘর্ষণ, উত্তাপ বা শব্দে অনাকাঙ্ক্ষিত শক্তিরূপ তৈরি হয়; তাই দক্ষতা সাধারণত $100\%$-এর কম। সম্পূর্ণ ক্ষয়হীন আদর্শ যন্ত্রের তাত্ত্বিক দক্ষতা $100\%$ হতে পারে।

এখানে, কুয়ার গভীরতা, h = 10m

কুয়ার ব্যাসার্ধ, $r=\frac{1.5}{2}=0.75 \mathrm{~m}$

∴ সম্পূর্ণ কুয়ার পানির ভর,

$\begin{aligned} \mathrm{m} & =\rho \mathrm{V} \\ & =\rho \pi \mathrm{r}^2 \mathrm{~h} \\ & =1000 \times 3.1416 \times(0.75)^2 \times 10 \\ & =17671.5 \mathrm{~kg}\end{aligned}$

সম্পূর্ণ কুয়ার গড় গভীরতা, $\mathrm{h}^{\prime}=\frac{10}{2}=5 \mathrm{~m}$

সময়, $\mathrm{t}=25 \mathrm{~min}=1500 \mathrm{~s}$

কার্যকর ক্ষমতা, P = ?

আমরা জানি,

$\begin{aligned} \mathrm{P}=\frac{\mathrm{mgh}^{\prime}}{\mathrm{t}} & =\frac{17671.5 \times 9.8 \times 5}{1500} \\ & =577.27 \mathrm{~W}=0.7738 \mathrm{HP}\end{aligned}$

অতএব, ১ম পাম্পটির কার্যকর ক্ষমতা 0.7738 HP ।

১ম এক-তৃতীয়াংশের ক্ষেত্রে:

মোটরের কার্যকর ক্ষমতা, $P_1=577.27 \mathrm{~W}$ [ গ হতে]

গড় গভীরতা, $h_1=\frac{\frac{h}{3}}{2}=\frac{h}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3} \mathrm{~m}$

পানির ভর, $\mathrm{m}_1=\frac{\mathrm{m}}{3}=\frac{17671.5}{3}=5890.5 \mathrm{~kg}$

প্রয়োজনীয় সময়, $t_1=?$

আমরা জানি,

$P_1=\frac{m_1 g h_1}{t_1}$

বা, $t_1=\frac{m_1 g h_1}{P_1}=\frac{5890.5 \times 9.8 \times 5}{577.27 \times 3}=166.67 \mathrm{~s}$

৩য় এক-তৃতীয়াংশের ক্ষেত্রে :

মোটরের কার্যকর ক্ষমতা,

$\begin{aligned} \mathrm{P}_2 & =0.82 \mathrm{HP} \\ & =0.82 \times 746 \mathrm{~W}=611.72 \mathrm{~W}\end{aligned}$

গড় গভীরতা, $h_2=\frac{2 h}{3}+\frac{\frac{h}{3}}{2}=\frac{5 h}{6}=\frac{5 \times 10}{6}=\frac{25}{3} \mathrm{~m}$

পানির ভর, $m_2=m_1=5890.5 \mathrm{~kg}$

সময় $\mathrm{t}_2=?$

আমরা জানি, $P_2=\frac{m_2 g h_2}{t_2}$

বা, $t_2=\frac{m_2 g h_2}{P_2}=\frac{5890.5 \times 9.8 \times 25}{611.72 \times 3}=786.4 \mathrm{~s}$

এখানে, $t_1 \neq t_2$

সুতরাং উদ্দীপকের কুয়াটির ১ম এক-তৃতীয়াংশ এবং ৩য় এক-তৃতীয়াংশ যথাক্রমে ১ম এবং ২য় পাম্প দ্বারা পানি শূন্য করতে প্রয়োজনীয় সময় ভিন্ন হবে।

সাধারণভাবে পীড়ন দ্বিতীয় ক্রমের টেনসর রাশি। কোনো বিন্দুতে বিভিন্ন অভিমুখের তলের উপর বলের উপাংশ কীভাবে কাজ করছে তা প্রকাশ করতে একাধিক উপাংশ প্রয়োজন।

সাধারণ একমুখী টানের ক্ষেত্রে আমরা শুধু অভিলম্ব পীড়নের মান $\sigma=F/A$ দিয়ে হিসাব করি; এই বিশেষ উপাংশের সংখ্যামানকে স্কেলারভাবে ব্যবহার করা যায়। কিন্তু তা থেকে সাধারণ পীড়নকে স্কেলার বা সাধারণ ভেক্টর বলা ঠিক নয়।

উদ্দীপক হতে, তারের দৈর্ঘ্য, L = 1m

তারের ব্যাসার্ধ, $\mathrm{r}=2 \mathrm{~mm}=2 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$

ভর, m = 5kg

দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি, $l=0.1 \mathrm{~mm}=1 \times 10^{-4} \mathrm{~m}$

তারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল,

$\mathrm{A}=\pi \mathrm{r}^2=3.1416 \times\left(2 \times 10^{-3}\right)^2=1.257 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^2$

তারের উপর প্রযুক্ত বল, $\mathrm{F}=\mathrm{mg}=5 \times 9.8=49 \mathrm{~N}$

আমরা জানি,

ইয়ং এর গুনাঙ্ক,

$\begin{aligned} \mathrm{Y}=\frac{\mathrm{FL}}{\mathrm{Al}} & =\frac{49 \times 1}{1.257 \times 10^{-5} \times 1 \times 10^{-4}} \\ & =3.9 \times 10^{10} \mathrm{Nm}^{-2}\end{aligned}$

অতএব তারটির ইয়ং এর গুণাঙ্ক $3.9 \times 10^{10} \mathrm{Nm}^{-2}$

স্থিতিস্থাপক সীমায় দৈর্ঘ্য বিকৃতি ভারের সমানুপাতিক। $5\,\mathrm{kg}$-এ $\epsilon_5=0.1\,\mathrm{mm}/1\,\mathrm m=10^{-4}$; $2\,\mathrm{kg}$-এ $\epsilon_2=(2/5)10^{-4}=4\times10^{-5}$।

পয়সনের অনুপাতে $\Delta r/r=-\nu\epsilon$। ভারহীন অবস্থার তুলনায় $5\,\mathrm{kg}$-এ $\Delta r_5=-0.4(10^{-4})(0.002)=-8\times10^{-8}\,\mathrm m$; $2\,\mathrm{kg}$-এ $\Delta r_2=-3.2\times10^{-8}\,\mathrm m$।

তাই ভার $5$ থেকে $2\,\mathrm{kg}$ করলে ব্যাসার্ধ বাড়ে $\Delta r_2-\Delta r_5=4.8\times10^{-8}\,\mathrm m$। নতুন অবস্থায় ভারহীন তারের তুলনায় সংকোচন $3.2\times10^{-8}\,\mathrm m$ থাকে; এটি ভার কমানোর ফলে বৃদ্ধি নয়।

একটি গ্রহের একই উপবৃত্তাকার কক্ষপথে সূর্যের কাছে এলে মহাকর্ষীয় বিভবশক্তি কমে এবং গতিশক্তি বাড়ে; তাই দ্রুতি বাড়ে। শক্তি সংরক্ষণ থেকে $v^2=GM_\odot(2/r-1/a)$, যেখানে $a$ ওই কক্ষপথের অর্ধ-দীর্ঘ অক্ষ।

একই কক্ষপথে $a$ অপরিবর্তিত; তাই $r$ কমলে $v$ বাড়ে। কেপলারের দ্বিতীয় সূত্র অনুযায়ীও কাছের অবস্থানে একই সময়ে বেশি পথ অতিক্রম করতে হয়।

উদ্দীপক হতে, পৃথিবীর ভর, $\mathrm{M}=6 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $\mathrm{R}=6.4 \times 10^6 \mathrm{~m}$

উপগ্রহের বেগ, $\mathrm{v}=3.08 \mathrm{~km} \mathrm{~s}^{-1}=3080 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$

মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $\mathrm{G}=6.7 \times 10^{-11} \mathrm{Nm}^2 \mathrm{~kg}^{-2}$

উপগ্রহটির উচ্চতা, h = ?

আমরা জানি, $v=\sqrt{\frac{G M}{R+h}}$

বা, $R+h=\frac{G M}{v^2}=\frac{6.7 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{(3080)^2}=42.38 \times 10^6 \mathrm{~m}$

বা, $h=42.38 \times 10^6-R=42.38 \times 10^6-6.4 \times 10^6$

$=35.98 \times 10^6 \mathrm{~m}$

অতএব, উপগ্রহটির উচ্চতা $35.98 \times 10^6 \mathrm{~m}$.

বৃত্তাকার কক্ষপথ ধরে $r=GM/v^2\approx4.238\times10^7\,\mathrm m$। তাই $T=2\pi r/v\approx8.645\times10^4\,\mathrm s\approx24\,\mathrm h$।

প্রদত্ত বেগের যথার্থতা অনুযায়ী আবর্তনকাল পৃথিবীর ঘূর্ণনকালের কাছাকাছি। তবে ভূস্থির হতে শুধু সমান আবর্তনকাল যথেষ্ট নয়: কক্ষপথ বিষুবীয়, বৃত্তাকার এবং আবর্তন পৃথিবীর ঘূর্ণনের একই দিকে হতে হয়। দিক ও কক্ষতলের তথ্য না থাকায় উপগ্রহটি নিশ্চিত ভূস্থির বলা যায় না; এটি ভূস্থিরতার সময়কাল-শর্তের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

উদ্দীপক হতে, সেকেন্ড দোলকের পর্যায়কাল, T = 2 s

অভিকর্ষজ ত্বরণ, $\mathrm{g}=9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$

দোলকটির কার্যকর দৈর্ঘ্য, L = ?

আমরা জানি,

$\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{\underline{L}}{\mathrm{~g}}}$

বা, $\mathrm{L}=\frac{\mathrm{T}^2 \mathrm{~g}}{4 \pi^2}=\frac{2^2 \times 9.8}{4 \times(3.1416)^2}=0.993 \mathrm{~m}$

অতএব, দোলকটির কার্যকর দৈর্ঘ্য 0.993 m

দৈর্ঘ্য ও তাপমাত্রা অপরিবর্তিত ধরে $T_D/T_T=86400/(86400-30)=1.000347343$। সমুদ্রপৃষ্ঠ থেকে দুই স্থানের উচ্চতা $h_D,h_T$ হলে গোলীয়-পৃথিবীর মডেলে $T_D/T_T=(R+h_D)/(R+h_T)$।

তাই $h_D=(T_D/T_T)(R+h_T)-R$। ঠাকুরগাঁওয়ের সমুদ্রপৃষ্ঠ-উচ্চতা $h_T$ দেওয়া নেই; ফলে দার্জিলিংয়ের নির্ভুল পরম উচ্চতা এককভাবে পাওয়া যায় না।

ঠাকুরগাঁওকে আনুমানিক সমুদ্রপৃষ্ঠে ধরলে $h_D\approx R(T_D/T_T-1)=6400(0.000347343)=2.223\,\mathrm{km}$। ছোট উচ্চতার জন্য এটি প্রায় দুই স্থানের উচ্চতার ব্যবধান। অক্ষাংশজনিত $g$-এর পার্থক্যও এই সরল মডেলে উপেক্ষিত।

এখানে, বায়ুমণ্ডলের চাপ, $\mathrm{P}_1=10^5 \mathrm{~Pa}$

পানির ঘনত্ব, $\rho=1020 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$

হ্রদের তলদেশে চাপ, $P_2=P_1+h \rho g$

ধরি, হ্রদের তলদেশে বুদবুদের ব্যাস, $\mathrm{d}_2=\mathrm{d}$

হ্রদের তলদেশে বুদবুদের আয়তন, $\mathrm{V}_2=\frac{4}{3} \pi \mathrm{r}^3=\frac{1}{6} \pi \mathrm{~d}^3=\mathrm{V}$

হ্রদের উপরিতলে বুদবুদের ব্যাস, $\mathrm{d}_1=3 \mathrm{~d}$

হ্রদের উপরিতলে বুদবুদের আয়তন, $V_1=\frac{1}{6} \pi(3 d)^3=27 V$

হ্রদের গভীরতা, h = ?

আমরা জানি,

$P_1 V_1=P_2 V_2$

বা, $P_1 \times 27 V=\left(P_1+h \rho g\right) V$
বা, $27 \mathrm{P}_1=\mathrm{P}_1+\mathrm{h} \rho \mathrm{g}$
বা, $27 P_1-P_1=h \rho g$
বা, $26 \mathrm{P}_1=\mathrm{h} \rho \mathrm{g}$
বা, $h=\frac{26 \mathrm{P}_1}{\rho g}=\frac{26 \times 10^5}{1020 \times 9.8}=260.1 \mathrm{~m}$

অতএব, হ্রদের গভীরতা 260.1 m |

একই তাপমাত্রা, বায়ুচাপ এবং একই তিনগুণ ব্যাস-বৃদ্ধি বজায় রেখে মিঠাপানির সমতুল্য হ্রদ বিবেচনা করলে $V_{\mathrm{surface}}/V_{\mathrm{bottom}}=27$। পৃষ্ঠটানের অতিরিক্ত চাপ উপেক্ষা করে $h=26P_0/(\rho g)$।

মিঠাপানিতে $\rho=1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ নিলে $h=26\times10^5/(1000\times9.8)=265.31\,\mathrm m$। লবণাক্ত পানির জন্য $h=260.10\,\mathrm m$; পার্থক্য প্রায় $5.20\,\mathrm m$।

অর্থাৎ একই বুদবুদ-প্রসারণ অনুপাত পেতে কম ঘনত্বের পানিতে গভীরতা বেশি হতে হবে। শুধু কোনো নির্দিষ্ট হ্রদের পানি বদলালেই তার বাস্তব তলদেশের গভীরতা বদলে যায়—এমন অর্থ নয়।