সিলেট বোর্ড ২০২৫
বহুনির্বাচনি লিখিত

১. উদ্দীপক

2 m দৈর্ঘ্য ও 1 mm ব্যাসার্ধের ইস্পাতের খন্ডে 15 N বল প্রয়োগ করায় স্বাভাবিক অবস্থায় 2 mm দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি হয় এবং এটি স্প্রিং এ রূপান্তর করলে 3 mm প্রসারণ হয়। অপর একটি ধাতব স্প্রিং-এ 4 cm প্রসারণে 6 joule শক্তি সঞ্চিত হয়। (ব্যাসার্ধের পরিবর্তন উপেক্ষা করা হয়েছে)
উত্তর কোনো পদার্থের (বস্তুর) একক ক্ষেত্রফলের উপর লম্বভাবে প্রযুক্ত সর্বাপেক্ষা কম যে বলের ক্রিয়ার ফলে কোনো বস্তু ভেঙে বা ছিঁড়ে যায় তাকে ঐ পদার্থের অসহ পীড়ন বলে।
উত্তর একটি ইস্পাতের তারকে বারবার বাঁকালে তারের ভেতরের অণুগুলোর মধ্যকার বন্ধন বারবার টান ও চাপের সম্মুখীন হয়। এই প্রক্রিয়ায় অণুগুলোর অবস্থান সামান্য করে পরিবর্তিত হয় এবং তারা ঘর্ষণের মতো বাধা সৃষ্টি করে। এই ঘর্ষণের ফলে যান্ত্রিক শক্তি তাপে রূপান্তরিত হয়। ফলে তারের অভ্যন্তরে তাপ জমা হতে থাকে এবং তা উত্তপ্ত হয়ে ওঠে।
উত্তর

উদ্দীপক হতে, তারের দৈর্ঘ্য, L = 2m

তারের ব্যাসার্ধ, $r=1 \mathrm{~mm}=1 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$

প্রযুক্ত বল, F = 15N

তারের দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি, $l=2 \mathrm{~mm}=2 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$

ইয়ং এর গুণাঙ্ক, Y =?

আমরা জানি,

$\begin{aligned} \mathrm{Y}=\frac{\mathrm{FL}}{\mathrm{Al}}=\frac{\mathrm{FL}}{\pi \mathrm{r}^2 l} & =\frac{15 \times 2}{3.1416 \times\left(1 \times 10^{-3}\right)^2 \times 2 \times 10^{-3}} \\ & =4.77 \times 10^9 \mathrm{Nm}^{-2}\end{aligned}$

অতএব উদ্দীপকের ১ম তারের ইয়ং এর গুণাঙ্ক $4.77 \times 10^9 \mathrm{Nm}^{-2}$.

উত্তর

উদ্দীপক হতে,

১ম স্প্রিং এর উপর প্রযুক্ত বল, F = 15 N

১ম স্প্রিং এর প্রসারণ, $\mathrm{x}_1=3 \mathrm{~mm}=0.003 \mathrm{~m}$

∴ ১ম স্প্রিং এর স্প্রিং ধ্রুবক, $\mathrm{k}_1=\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{x}_1}=\frac{15}{0.003}=5000 \mathrm{Nm}^{-1}$

আবার, ২য় স্প্রিং এর সঞ্চিত শক্তি, U = 6J

২য় স্প্রিং এর প্রসারণ, $x_2=4 \mathrm{~cm}=0.04 \mathrm{~m}$

আমরা জানি,

$\mathrm{U}=\frac{1}{2} \mathrm{k}_2 \mathrm{x}_2\{ \}^2$

বা, $\mathrm{k}_2=\frac{2 \mathrm{U}}{\mathrm{x}_2^2}=\frac{2 \times 6}{(0.04)^2}=7500 \mathrm{Nm}^{-1}$

∴ ২য় স্প্রিং এর স্প্রিং ধ্রুবক, $\mathrm{k}_2=7500 \mathrm{Nm}^{-1}$

যেহেতু $k_2>k_1$

সুতরাং উদ্দীপকের ২য় স্প্রিং এর অনমনীয়তা বেশি।

২. উদ্দীপক

3500 kg ভরের কৃত্রিম উপগ্রহ পৃথিবীপৃষ্ঠ হতে 1800 km উচ্চতায় $7.1 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ বেগে ঘুরছে। পৃথিবীর ব্যাসার্ধ $6.4 \times 10^6 \mathrm{~m}$, পৃথিবীর ভর $6 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$ এবং $\mathrm{G}=6.67 \times 10^{-11} \mathrm{Nm}^2 \mathrm{~kg}^{-2}$ ।
উত্তর ভূ-স্থির উপগ্রহের কক্ষপথকে পার্কিং কক্ষপথ বলে।
উত্তর

পৃথিবীকে সুষম ঘনত্ব $\rho$-এর গোলক ধরলে কেন্দ্র থেকে $x$ দূরত্বের ভেতরের ভর $M_x=(4/3)\pi x^3\rho$। বাইরের গোলীয় খোলসগুলোর লব্ধি ক্ষেত্র সেখানে শূন্য। তাই $g_x=GM_x/x^2=(4/3)\pi G\rho x$, অর্থাৎ $g_x\propto x$।

এই সমানুপাতিক সম্পর্কটি সুষম ঘনত্বের আদর্শ মডেলের জন্য; বাস্তব পৃথিবীতে ঘনত্ব গভীরতার সঙ্গে বদলায়।

উত্তর

উদ্দীপক হতে,

পৃথিবীর ভর, $M=6 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R=6.4 \times 10^6 \mathrm{~m}$

মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $\mathrm{G}=6.67 \times 10^{-11} \mathrm{Nm}^2 \mathrm{~kg}^{-2}$

উচ্চতা, $\mathrm{h}=1800 \mathrm{~km}=1.8 \times 10^6 \mathrm{~m}$

h উচ্চতায় মহাকর্ষীয় প্রাবল্য, E = ?

আমরা জানি,

$\mathrm{E}=\frac{\mathrm{GM}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})^2}$

$=\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{\left(6.4 \times 10^6+1.8 \times 10^6\right)^2}$

$=5.95 \mathrm{~N} \mathrm{~kg}^{-1}$

অতএব, উদ্দীপকের প্রদত্ত উচ্চতায় মহাকর্ষীয় প্রাবল্য $5.95 \mathrm{~N} \mathrm{~kg}^{-1}$.

উত্তর

প্রদত্ত বেগ $7.1\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ অপরিবর্তিত নিয়ে হিসাব করি। $r=R+h=8.2\times10^6\,\mathrm m$-এ বৃত্তীয় কক্ষীয় বেগ $\sqrt{GM/r}\approx6986\,\mathrm{m\,s^{-1}}$; প্রদত্ত বেগ এর তুলনায় অতি সামান্য।

শুধু মহাকর্ষে চলা এবং বেগ স্পর্শকীয় ধরে প্রাথমিক নির্দিষ্ট শক্তি $\varepsilon=v^2/2-GM/r<0$ এবং নির্দিষ্ট কৌণিক ভরবেগ $\ell=rv$। এই তথ্যের কেপলার কক্ষপথের বহিঃভূমি অংশ পৃথিবীপৃষ্ঠকে ছেদ করে; অর্থাৎ এটি পৃথিবীর বাইরে স্থায়ী কক্ষপথ নয় এবং উপগ্রহটি ভূপৃষ্ঠে পড়বে।

$mv^2/r$ একটি বৃত্তীয় গতির জন্য প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী লব্ধি বল, আলাদা বাস্তব কেন্দ্রবিমুখী বল নয়। মহাকর্ষের সঙ্গে এমন কোনো বিপরীত বাস্তব বল তুলনা করে কক্ষপথের সাধারণ সিদ্ধান্ত দেওয়া ঠিক নয়।

৩. উদ্দীপক

চিত্রে $30~gm$ ভরের একটি বব সুতার সাহায্যে ঝুলানো আছে। যেখানে $OC=1~m,AM=30~cm$ এবং $BN=20~cm.$
উদ্দীপকের ছবি
উত্তর কোনো স্প্রিং-এর মুক্ত প্রান্তের একক সরণ ঘটালে স্প্রিংটি সরণের বিপরীত দিকে যে বল প্রয়োগ করে তাকে ঐ স্প্রিং-এর স্প্রিং ধ্রুবক বলে।
উত্তর যে বলের বিরুদ্ধে করা কাজের পুনরুদ্ধার সম্ভব নয় তাকে অসংরক্ষণশীল বল বলে। কোনো বস্তুকে একটি অমসৃণ তলের উপর দিয়ে টেনে নিয়ে যাওয়ার সময় ঘর্ষণ বলের বিরুদ্ধে কাজ করতে হয়। অমসৃণ তলটি অনুভূমিক হলে এই কৃতকাজ বস্তুটির মধ্যে স্থিতিশক্তিরূপে সঞ্চিত হয় না এবং বস্তুটিও কোনো কাজ করার সামর্থ্য লাভ করে না। বস্তুটিকে তার প্রাথমিক অবস্থানে ফিরিয়ে আনার সময় আবার ঘর্ষণ বলের বিরুদ্ধে কাজ করতে হয়। সুতরাং ঘর্ষণ বলের বিরুদ্ধে কৃতকাজের পুনরুদ্ধার সম্ভব নয়। তাই ঘর্ষণ বল একটি অসংরক্ষণশীল বল।
উত্তর

$O$ অবলম্বন ও $C$ উল্লম্বের সর্বনিম্ন বিন্দু। $OA=1\,\mathrm m$; $A$ থেকে উল্লম্ব $OC$-এ অনুভূমিক লম্বের পাদবিন্দু $M$, $MA=0.3\,\mathrm m$ এবং $MC=h$।

এখানে,

দূরত্ব, $\mathrm{OA}=\mathrm{OC}=1 \mathrm{~m}$

$\mathrm{AM} =30 \mathrm{~cm}$

$=\frac{30}{100} \mathrm{~m}=0.3 \mathrm{~m}$

ভর, $\mathrm{m}=30 \mathrm{gm}=\frac{30}{1000} \mathrm{~kg}$

$=0.03~kg$

অভিকর্ষজ ত্বরণ, $\mathrm{g}=9.8 \mathrm{~ms}^{-2}$

চিত্রে,

সমকোণী ত্রিভুজ $AMO$-এ

বা, $\mathrm{OA}^2=\mathrm{OM}^2+\mathrm{AM}^2$

বা, $\mathrm{OM}=\sqrt{\mathrm{OA}^2-\mathrm{AM}^2}$

বা, $\mathrm{OM}=\sqrt{1^2-(0.3)^2}$

$\therefore \mathrm{OM}=0.954 \mathrm{~m}$

$\therefore \mathrm{CM}=\mathrm{h}=\mathrm{OC}-\mathrm{OM}$

$\quad=1-0.954=0.046$

$\therefore \mathrm{~h}=0.046 \mathrm{~m}$

$A$ বিন্দুতে বিভব শক্তি,

$\mathrm{E}_{\mathrm{p}}=\mathrm{mgh}=0.03 \times 9.8 \times 0.046=0.0135$

$\therefore \mathrm{E}_{\mathrm{P}}=0.0135 \mathrm{~J}$ (Ans.)

উত্তর

ঘর্ষণ উপেক্ষা এবং A থেকে স্থির অবস্থা থেকে ছেড়ে দেওয়ার অতিরিক্ত অনুমান করি। C-কে শূন্য বিভব ধরলে $h_A=1-\sqrt{1-0.3^2}=0.0460608\,\mathrm m$ এবং $h_B=1-\sqrt{1-0.2^2}=0.0202041\,\mathrm m$।

শক্তির নিত্যতা থেকে $K_C=mgh_A\approx0.0135419\,\mathrm J$, $K_B=mg(h_A-h_B)\approx0.00760187\,\mathrm J$। তাই $K_B/K_C\approx0.5614$, যা অর্ধেক নয়।

তবে উদ্দীপকে A থেকে স্থির অবস্থা থেকে ছাড়ার কথা বলা নেই। প্রাথমিক গতিশক্তি থাকলে উভয় মানে সেটি যুক্ত হবে এবং অনুপাত বদলাবে। তাই উপরোক্ত সংখ্যাগত উত্তর ওই অতিরিক্ত অনুমানের অধীন।

৪. উদ্দীপক

দুই বন্ধু মিলে সমুদ্রের 200 m গভীরে যেতে চায়। ১ম বন্ধু বলল, 144 gm অক্সিজেন গ্যাস ভর্তি একটি বেলুনকে সমুদ্রের তলদেশে নিয়ে গেলে যদি আয়তন এক-তৃতীয়াংশ হয় তবে কাঙ্খিত গভীরতায় পৌছা যাবে। সমুদ্র পৃষ্ঠে চাপ বায়ুর চাপের সমান এবং তাপমাত্রা 27° C। সমুদ্র তলদেশের তাপমাত্রা 15°C। (পানির ঘনত্ব $1025 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$, $\left.g=9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}, R=8.314 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} / \mathrm{K}\right)$
উত্তর কোনো সময় কোনো স্থানের একক আয়তনের বায়ুতে যে পরিমাণ জলীয় বাষ্প থাকে তাকে ঐ বায়ুর পরম আর্দ্রতা বলে।
উত্তর কোনো গ্যাসের গড় মুক্ত পথ $9 \times 10^{-12} \mathrm{~m}$ বলতে বোঝায়, উক্ত গ্যাসের অণুসমূহ পরস্পর দুটি সংঘর্ষের মধ্যবর্তী সময়ে গড়ে $9 \times 10^{-12} \mathrm{~m}$ সরলরৈখিক দূরত্ব অতিক্রম করে।
উত্তর

এখানে, অক্সিজেনের পরিমাণ, m = 144gm

অক্সিজেনের আণবিক ভর, M = 32gm

তাপমাত্রা, $\mathrm{T}=27^{\circ} \mathrm{C}=(27+273) \mathrm{K}=300 \mathrm{~K}$

গ্যাস ধ্রুবক, $\mathrm{R}=8.314 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}$

আমরা জানি,

$\begin{aligned} \mathrm{E}=\frac{3}{2} \mathrm{nRT} & =\frac{3}{2} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{M}} \mathrm{RT} \\ & =\frac{3}{2} \times \frac{144}{32} \times 8.314 \times 300 \\ & =16835.85 \mathrm{~J}\end{aligned}$

অতএব, সমুদ্রপৃষ্ঠে অক্সিজেন গ্যাসের গতিশক্তি 16835.85 J

এখানে অণুগুলোর স্থানান্তর গতির মোট গতিশক্তি বোঝানো হয়েছে। ঘূর্ণন স্বাধীনতার মাত্রা সক্রিয় থাকলে দ্বিপরমাণুক আদর্শ অক্সিজেনের মোট অভ্যন্তরীণ শক্তি আলাদা; তাকে $\frac32nRT$ বলা যাবে না।

উত্তর

এখানে,

পানির ঘনত্ব,

$\mathbf{P}=1025 \mathrm{kgm}^{-3}$

অভিকর্ষজ ত্বরণ,

$\mathrm{g}=9.8 \mathrm{~ms}^{-2}$

সমুদ্রপৃষ্ঠে তাপমাত্রা,

$\mathrm{T}_1=27^{\circ} \mathrm{C}$

$=(27+273) \mathrm{K}$

$=300 \mathrm{~K}$

সমুদ্রের গভীরতা, $\mathrm{h}=200 \mathrm{~m}$

সমুদ্রের তলদেশে তাপমাত্রা,

$\mathrm{T}_2=15^{\circ} \mathrm{C}=(15+273)=288 \mathrm{~K}$

সমুদ্র পৃষ্ঠে চাপ,

$\mathrm{P}_1=101325 \mathrm{~Pa}$

ধরি, সমুদ্র পৃষ্ঠে ও সমুদ্রের তলদেশে আয়তন যথাক্রমে $V_1$ ও $V_2$

সুমদ্রের তলদেশে চাপ, $Ρ_2$ হলে,

$\mathrm{P}_2=\mathrm{P}_1+\mathrm{h} \rho \mathrm{g}$

$=101325+200 \times 1025 \times 9.8$

$=2110325 \mathrm{~Pa}$

আমরা জানি,

$\frac{P_1 V_1}{T_1}=\frac{P_2 V_2}{T_2}$

বা, $\frac{\mathrm{V}_2}{\mathrm{~V}_1}=\frac{\mathrm{P}_1 \mathrm{~T}_2}{\mathrm{P}_2 \mathrm{~T}_1}$

$=\frac{101325 \times 288}{2110325 \times 300}$

বা, $\frac{V_2}{V_1}=0.046 \approx \frac{1}{21.7}$

এখানে, $\frac{\mathrm{V}_2}{\mathrm{~V}_1}<\frac{1}{3}$

তাপমাত্রার পরির্তন বিবেচনায় ১ম বন্ধুর হিসেব অনুযায়ী প্রত্যাশিত সমুদ্র গভীরতায় যেতে পারবে না।

৫. উদ্দীপক

একজন গবেষক ঢাকা ও গাইবান্ধায় স্থাপিত দুটি শুষ্ক ও আর্দ্র বাল্ব আর্দ্রতামাপক যন্ত্রে নিচের উপাত্তগুলো সংগ্রহ করলেন:

স্থান শুষ্ক বাল্ব থার্মোমিটারের পাঠ আর্দ্র বাল্ব থার্মোমিটারের পাঠ বায়ুর তাপমাত্রায় গ্লেইশারের ধ্রুবক
ঢাকা 30.4 °C 22.4 °C 1.65
গাইবান্ধা 33.6 °C 26.6 °C 1.62

17° C, 18° C, 22° C, 23° C, 30° C, 31° C, 33° C এবং 34° С তাপমাত্রায় সম্পৃক্ত বাষ্পচাপ যথাক্রমে 14.56 mm, 15.48 mm, 19.83 mm, 21.11 mm, 31.85 mm, 33.75 mm, 37.78 mm এবং 39.90 mm পারদ চাপ।
উত্তর কোনো নির্দিষ্ট তাপমাত্রায় কোনো আবদ্ধ স্থানের বাষ্প সর্বাধিক যে চাপ দিতে পারে তাকে সম্পৃক্ত বাষ্পচাপ বলে।
উত্তর আমরা জানি, যে তাপমাত্রায় কোনো নির্দিষ্ট আয়তনের বায়ু এর মধ্যে উপস্থিত জলীয়বাষ্প দ্বারা সম্পৃক্ত হয় তাকে শিশিরাঙ্ক বলে। কোনো স্থানের শিশিরাঙ্ক 12° C বলতে বুঝায় ওইদিন বায়ুর তাপমাত্রা 12° C-এ আনা হলে উপস্থিত জলীয়বাষ্প দ্বারা উক্ত বায়ু সম্পৃক্ত হবে।
উত্তর

এখানে, ঢাকায় শুষ্ক বাল্ব থার্মোমিটার পাঠ, $\theta_1=30.4^{\circ} \mathrm{C}$

আর্দ্র বাল্ব থার্মোমিটার পাঠ, $\theta_2=22.4^{\circ} \mathrm{C}$

বায়ুর তাপমাত্রায় গ্লেইসারের উৎপাদক, G = 1.65

শিশিরাঙ্ক, $\theta=?$

আমরা জানি,

$\begin{aligned} \theta & =\theta_1-\mathrm{G}\left(\theta_1-\theta_2\right) \\ & =30.4^{\circ} \mathrm{C}-1.65(30.4-22.4)^{\circ} \mathrm{C} \\ & =17.2^{\circ} \mathrm{C}\end{aligned}$

অতএব, উদ্দীপক অনুসারণে ঢাকার শিশিরাঙ্ক 17.2° C

উত্তর

ঢাকার শিশিরাঙ্ক আগের অংশ থেকে 17.2°C। সরল আন্তর্বেশনে প্রকৃত বাষ্পচাপ $f_D=14.56+0.2(15.48-14.56)$, অর্থাৎ $f_D=14.744\,\mathrm{mmHg}$। পরিবেশের তাপমাত্রায় সম্পৃক্ত চাপ $F_D=31.85+0.4(33.75-31.85)$, অর্থাৎ $F_D=32.61\,\mathrm{mmHg}$। তাই আপেক্ষিক আর্দ্রতা 45.21%।

গাইবান্ধার শিশিরাঙ্ক $33.6-1.62\times7=22.26^\circ\mathrm C$। প্রকৃত বাষ্পচাপ $f_G=19.83+0.26(21.11-19.83)$, অর্থাৎ $f_G=20.1628\,\mathrm{mmHg}$। সম্পৃক্ত চাপ $F_G=37.78+0.6(39.90-37.78)$, অর্থাৎ $F_G=39.052\,\mathrm{mmHg}$। আপেক্ষিক আর্দ্রতা 51.63%।

ঢাকার আপেক্ষিক আর্দ্রতা কম, কিন্তু দুই স্থানের তাপমাত্রা সমান নয়। তাই শুধু আপেক্ষিক আর্দ্রতা দিয়ে শুকানোর হার নিশ্চিত করা যায় না। কাপড়ের পৃষ্ঠ উভয় স্থানে একই তাপমাত্রায় এবং অন্য সব শর্ত একই থাকলে ঢাকার কম প্রকৃত বাষ্পচাপে বাষ্পীভবন বেশি হতে পারে।

অন্যদিকে কাপড়ের পৃষ্ঠ নিজ পরিবেশের তাপমাত্রায় আছে ধরলে বাষ্পচাপ-ঘাটতি ঢাকায় 17.866 mmHg এবং গাইবান্ধায় 18.8892 mmHg; এই সরল মডেলে গাইবান্ধায় ঘাটতি বেশি। বাস্তবের পৃষ্ঠের তাপমাত্রা, বাতাসের বেগ ও তাপ সরবরাহও প্রয়োজন। তাই উৎসের নিঃশর্ত “ঢাকায় দ্রুত” সিদ্ধান্ত তথ্য থেকে নিশ্চিত নয়।

৬. উদ্দীপক

তিনটি ভেক্টর যথাক্রমে $\vec{A}=9 \hat{i}+\hat{j}-6 \hat{k} ; \vec{B}=4 \hat{i}-6 \hat{j}+5 \hat{k}$ এবং $\vec{V}=3 x y z^2 \hat{i}+2 x y^2 \hat{j}-x^3 y^2 z \hat{k}$
উত্তর প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টর দিয়ে নির্দেশ করা হয় তাকে ঐ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বা ব্যাসার্ধ ভেক্টর বলে।
উত্তর আমরা জানি, কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুকে মূলবিন্দু ধরে যে ভেক্টর অঙ্কন করা হয়, তাকে সীমাবদ্ধ ভেক্টর বলে। অন্যদিকে, প্রসঙ্গ কাঠামোর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টরের সাহায্যে প্রকাশ করা হয় তাকে অবস্থান ভেক্টর বলে। অর্থাৎ, অবস্থান ভেক্টর সর্বদা মূল বিন্দু থেকে হিসাব করতে হয়। তাই এটি সীমাবদ্ধ ভেক্টর।
উত্তর

এখানে, $\vec{V}=3 x y z^2 \hat{i}+2 x y^2 \hat{j}-x^3 y^2 z \hat{k}$

$\begin{aligned} \therefore \operatorname{div}(\vec{V}) & =\vec{\nabla} \cdot \vec{V} \\ & =\left(\frac{\partial}{\partial x} \hat{i}+\frac{\partial}{\partial y} \hat{j}+\frac{\partial}{\partial z} \hat{k}\right) \cdot 3 x y z^2 \hat{i}+2 x y^2 \hat{j}-x^3 y^2 z \hat{k} \\ & =\frac{\partial}{\partial x}\left(3 x y z^2\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(2 x y^2\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(-x^3 y^2 z\right) \\ & =3 y z^2+4 x y-x^3 y^2\end{aligned}$

$ \therefore(1,-1,1) $ বিন্দুতে $ \operatorname{div}(\vec{V}) $

$ \quad=3 \times(-1) \times 1^2+4 \times 1 \times(-1)-1^3 \times(-1)^2$

$ \quad=-3-4-1=-8$

অতএব, (1, – 1, 1) বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্র $\vec{\mathrm{v}}$ এর ডাইভারজেন্স $– 8$.

উত্তর

এখানে, $\vec{A}=9 \hat{i}+\hat{j}-6 \hat{k}$ এবং $\vec{B}=4 \hat{i}-6 \hat{j}+5 \hat{k}$

$\vec{A}$ কোনো বৃত্তের ব্যাস নির্দেশ করলে $\vec{\mathrm{B}}$ ঐ বৃত্তের পরিধির উপর অঙ্কিত স্পর্শক নির্দেশ করবে যদি $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ পরস্পর লম্ব হয়। অর্থাৎ, যদি $\vec{A} \cdot \vec{B}=0$ হয়।

এখন,

$\begin{aligned} \vec{A} \cdot \vec{B} & =(9 \hat{i}+\hat{j}-6 \hat{k}) \cdot(4 \hat{i}-6 \hat{j}+5 \hat{k}) \\ & =36-6-30=0\end{aligned}$

সুতরাং, স্পর্শক নির্দেশ করবে।

এটি স্পর্শকের দিক নির্দেশের শর্ত। ব্যাসের সংশ্লিষ্ট প্রান্তে এবং বৃত্তের তলে $\vec B$ স্থাপন করলে সেটি স্পর্শকের দিক হতে পারে; শুধু মুক্ত ভেক্টরের উপাংশ থেকে নির্দিষ্ট স্পর্শক রেখার অবস্থান নির্ধারিত হয় না।

৭. উদ্দীপক

$60 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}$ গতিবেগ সম্পন্ন একটি ট্রেন 656 m ব্যাসের রেললাইনে বাঁক নেওয়ার সময় বগিসহ উল্টে যায়। ঐ স্থানে রেললাইনের দুটি পাতের মধ্যে দূরত্ব 1 m এবং ভেতরের পাত অপেক্ষা বাইরের পাত 7 cm উঁচু ছিল।
উত্তর খুব অল্প সময়ের জন্য খুব বড় মানের যে বল কোনো বস্তুর উপর প্রযুক্ত হয় তাকে ঘাতবল বলে।
উত্তর

বলটি ধরার সময় তার ভরবেগ প্রায় $\mu$ থেকে শূন্য হয়। গড় বাধা বলের মান $F_{\rm av}=\Delta p/\Delta t=mu/\Delta t$।

হাত বলের গতির দিকে কিছুটা পেছনে সরালে থামানোর সময় ও দূরত্ব বাড়ে। একই ভরবেগ পরিবর্তন বেশি সময়ে ঘটায় গড় বল কমে; ক্রিয়া-প্রতিক্রিয়ায় হাতে পড়া গড় বলও কমে এবং আঘাত হ্রাস পায়।

উত্তর

সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ $d$, খাড়া উচ্চতা $h$ এবং ভূমির সঙ্গে কোণ $\theta$; তাই $\sin\theta=h/d$।

এখানে, রেল লাইনের দুই পাতের মধ্যে দূরত্ব, d = 1m

ভেতরের পাত অপেক্ষা বাইরের পাতের উচ্চতা, h = 7cm

= 0.07m

ব্যাংকিং কোণ, $\theta=?$

চিত্র হতে,

$\begin{gathered}\sin \theta=\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{d}}=\frac{0.07}{1} \\ \therefore \theta=\sin ^{-1}(0.07)=4^{\circ}\end{gathered}$

অতএব, ঐ স্থানের ব্যাংকিং কোণ $4^{\circ}$ ।

উত্তর

বাঁকের ব্যাসার্ধ $r=656/2=328\,\mathrm m$ এবং চিত্র অনুযায়ী $\sin\theta=0.07/1$, তাই $\theta\simeq4.014^\circ$। ঘর্ষণ বা অতিরিক্ত পার্শ্ববল ছাড়াই নকশা-বেগ $v_0=\sqrt{rg\tan\theta}\approx15.02\,\mathrm{m\,s^{-1}}=54.07\,\mathrm{km\,h^{-1}}$।

প্রকৃত বেগ $60\,\mathrm{km\,h^{-1}}=16.67\,\mathrm{m\,s^{-1}}$, অর্থাৎ নকশা-বেগের বেশি। তাই ব্যাঙ্কিংয়ের স্বাভাবিক প্রতিক্রিয়া একাই প্রয়োজনীয় কেন্দ্রমুখী বল জোগাতে পারে না; রেলচক্রের অতিরিক্ত পার্শ্বীয় প্রতিক্রিয়া প্রয়োজন।

তবে $v_0$-কে সর্বোচ্চ নিরাপদ বেগ বলা ঠিক নয়। উল্টে যাওয়ার নির্দিষ্ট সীমা নির্ণয়ে ট্রেনের ভরকেন্দ্রের উচ্চতা, চাকার সংযোগ ও পার্শ্ববল-সীমা দরকার। এই তথ্য নেই বলে শুধু 60>54 থেকে দুর্ঘটনার নিশ্চিত কারণ প্রমাণ করা যায় না।

৮. উদ্দীপক

একটি সেকেন্ড দোলক ভূ-পৃষ্ঠে সঠিক সময় দেয়। দোলকটিকে এমন একটি উপগ্রহে নিয়ে যাওয়া হয় যার ব্যাসার্ধ পৃথিবীর ব্যাসার্ধের $\frac{1}{4}$ গুণ এবং ভর পৃথিবীর ভরের $\frac{1}{50}$ গুণ। পৃথিবীর ভর $6 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$, ব্যাসার্ধ $6.4 \times 10^6 \mathrm{~m}$ এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ $9.81 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$
উত্তর সরল ছন্দিত স্পন্দনের দশা সময়ের সঙ্গে যে হারে পরিবর্তিত হয়, তাকে কৌণিক কম্পাঙ্ক বলে। $\omega=2\pi/T=2\pi f$; এর একক $\mathrm{rad\,s^{-1}}$। এটি কণার বাস্তব গতিপথের কৌণিক দূরত্বের হার বোঝায় না।
উত্তর সরল ছন্দিত গতি হলো এমন গতি যেখানে বস্তু একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর দুই পাশে সামনে-পিছনে দুলতে থাকে এবং ত্বরণ সবসময় উক্ত বিন্দুর দিকে থাকে। কিন্তু পৃথিবীর গতি এমন নয়- পৃথিবী একদিকে গিয়ে থামে না বা ফিরে আসে না, বরং চলতে চলতে একই দিকে ঘোরে এবং কখনো গতি থামে না বা দোলায়িত হয় না। তাই পৃথিবীর গতিকে সরল ছন্দিত গতি বলা যায় না।
উত্তর

উদ্দীপক হতে, পৃথিবীর ভর, $\mathrm{M}_{\mathrm{e}}=6 \times 10^{24}$

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $\mathrm{R}_{\mathrm{e}}=6.4 \times 10^6 \mathrm{~m}$

অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g_{\mathrm{e}}=9.81 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$

উপগ্রহের ভর, $M=\frac{M_e}{50}$

উপগ্রহের ব্যাসার্ধ, $R=\frac{R_e}{4}$

উপগ্রহটির পৃষ্ঠে মাধ্যাকর্ষণজনিত ত্বরণ, g= ?

আমরা জানি,

$\begin{aligned} g=\frac{G M}{R^2} & =\frac{G \times \frac{M_e}{50}}{\left(\frac{R_e}{4}\right)^2}=\frac{16}{50} \times \frac{G M_e}{R_e^2} \\ & =\frac{16}{50} g_e=\frac{16}{50} \times 9.81=3.14 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}\end{aligned}$

অতএব, উপগ্রহটির পৃষ্ঠে মাধ্যাকর্ষণজনিত ত্বরণ $3.14 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$.

উত্তর

উদ্দীপক হতে,

ভূপৃষ্ঠে দোলনকাল, $\mathrm{T}_e=2 \mathrm{~s}$

অভিকর্ষজ ত্বরণ, $\mathrm{g}_{\mathrm{e}}=9.81 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$

'গ' হতে, উপগ্রহের মাধ্যাকর্ষণজনিত ত্বরণ, $\mathrm{g}=3.14 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$

উপগ্রহের পৃষ্ঠে দোলকের দোলনকাল T হলে,

$\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{T}_{\mathrm{e}}}=\sqrt{\frac{\mathrm{g}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{g}}}$

বা, $\frac{T}{2}=\sqrt{\frac{9.81}{3.14}}$

$\therefore \quad \mathrm{T}=3.54 \mathrm{~s}$

যেহেতু $\mathrm{T}>\mathrm{T}_e$

সুতরাং, দোলকটি পৃথিবী পৃষ্ঠের চেয়ে উপগ্রহের পৃষ্ঠে ধীরে চলবে।