চক্রাকার তাপ ইঞ্জিনের জন্য গৃহীত তাপের সবটুকু কাজে রূপান্তর করে অন্য কোনো পরিবর্তন ছাড়া চক্র চালানো তাপগতিবিদ্যার দ্বিতীয় সূত্রে অসম্ভব। গ্রাহকে কিছু তাপ $Q_C$ বর্জন করতে হয়, তাই $\eta=1-Q_C/Q_H<1$।

দুটি তাপাধারের মধ্যে প্রত্যাবর্তী কার্নো ইঞ্জিনের সর্বোচ্চ দক্ষতা $\eta_C=1-T_C/T_H$। সাধারণ ধনাত্মক পরম তাপমাত্রার গ্রাহকের জন্য এটিও একের কম; বাস্তব ইঞ্জিনের দক্ষতা এর চেয়ে বেশি নয়।

উদ্দীপক হতে,

শুরুতে তাপমাত্রা, $\mathrm{T}_1=123^{\circ} \mathrm{C}=(273+123) \mathrm{K}=396 \mathrm{~K}$

শুরুতে চাপ, $\mathrm{P}_1=1 \times 10^5 \mathrm{~Pa}$

চূড়ান্ত চাপ, $\mathrm{P}_2=\mathrm{P}_1-\frac{\mathrm{P}_1}{3}=\frac{2 \mathrm{P}_1}{3}$

He গ্যাসের জন্য, $\gamma=1.67$

যেহেতু সিলিন্ডার তাপ অপরিবাহী, তাই এখানে তাপের আদান-প্রদান না হওয়ায় এটি রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়া হবে।

চূড়ান্ত তাপমাত্রা $\mathrm{T}_2$ হলে,

$ \mathrm{T}_2 \mathrm{P}_2^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}=\mathrm{T}_1 \mathrm{P}_1^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}$

বা, $T_2=\left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} \times T_1=\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1-1.67}{1.67}} \times 396=336.55 \mathrm{~K}$

অতএব, উদ্দীপকের তথ্য অনুযায়ী তাপ অপরিবাহী পদার্থের সিলিন্ডারের চূড়ান্ত তাপমাত্রা 336.55 K .

একটি সিলিন্ডারের প্রক্রিয়াকে প্রত্যাবর্তী রুদ্ধতাপীয় এবং অপরটির প্রক্রিয়াকে সমোষ্ণ ধরে তুলনা করা হচ্ছে। $T_1=396~\mathrm K$, $P_2/P_1=2/3$, $n=2$, $\gamma=1.67$।

রুদ্ধতাপীয় ক্ষেত্রে

$T_2=T_1(P_2/P_1)^{(\gamma-1)/\gamma}=336.55~\mathrm K$,

$W_{\mathrm{ad}}=\dfrac{nR(T_1-T_2)}{\gamma-1}=1474.75~\mathrm J$।

সমোষ্ণ ক্ষেত্রে

$W_{\mathrm{iso}}=nRT_1\ln(P_1/P_2)=2668.58~\mathrm J$।

সুতরাং $W_{\mathrm{iso}}/W_{\mathrm{ad}}=1.810$। একই প্রাথমিক অবস্থা ও চূড়ান্ত চাপের এই তুলনায় সমোষ্ণ প্রসারণে বেশি কাজ হয়।

বড় দুটি সমান্তরাল পাতের মাঝের ব্যবধান তাদের আকারের তুলনায় ছোট হলে প্রান্তীয় প্রভাব উপেক্ষা করা যায়। সমান ও বিপরীত পৃষ্ঠ আধানের ক্ষেত্রে দুই পাতের তড়িৎ ক্ষেত্র মাঝখানে একই দিকে যোগ হয়।

ফলে মাঝখানে $E\approx\sigma/\epsilon_0$ সুষম থাকে এবং ক্ষেত্ররেখা পাতের অভিলম্ব বরাবর সমান্তরাল হয়। পাতের প্রান্তের কাছে এ আনুমানিকতা খাটে না; পরিবাহী পাতের নিজের অভ্যন্তরের ক্ষেত্র আবার শূন্য।

চিত্রে $q_A=3\times10^{-9}~\mathrm C$, $q_B=-5\times10^{-9}~\mathrm C$ ও $q_D=-3\times10^{-9}~\mathrm C$।

$BP=DP=0.06~\mathrm m$ এবং $AP=\sqrt{0.12^2-0.06^2}=0.06\sqrt3~\mathrm m$।

তাই

$V_P=k\left(\dfrac{q_A}{AP}+\dfrac{q_B}{BP}+\dfrac{q_D}{DP}\right) \approx-940.19~\mathrm V$।

$A$-এর ধনাত্মক আধানকে $B,D$-এর ঋণাত্মক আধানদ্বয় আকর্ষণ করে। বলের মান

$F_B=9.375\times10^{-6}~\mathrm N,\qquad F_D=5.625\times10^{-6}~\mathrm N$।

এদের অনুভূমিক উপাংশ বিপরীতমুখী হলেও সমান নয়। ফলে অবশিষ্ট অনুভূমিক বলের মান

$|F_x|=(F_B-F_D)\sin30^\circ =1.875\times10^{-6}~\mathrm N$।

$P$-তে যেকোনো আধান রাখলে তার কারণে $A$-তে বল শুধু উল্লম্ব $AP$ বরাবর হবে; তাই এই অনুভূমিক উপাংশ বাতিল করতে পারবে না। অন্য কোনো সহায়ক বল না থাকলে শুধু $P$-তে আধান বসিয়ে $A$-এর লব্ধি তড়িৎ বল শূন্য করা অসম্ভব।

এক্স-রে নলে ক্যাথোড থেকে নির্গত ইলেকট্রনকে বড় গতিশক্তি দিতে উচ্চ ত্বরক বিভব ব্যবহার করা হয়। বিভব $V$ হলে ইলেকট্রনের অর্জিত শক্তি প্রায় $eV$।

লক্ষ্যবস্তুতে বাধাপ্রাপ্ত হয়ে এই শক্তির অংশ এক্স-রে ফোটনে রূপান্তরিত হয়; সর্বোচ্চ ফোটন শক্তি $hf_{\max}=eV$ এবং সর্বনিম্ন তরঙ্গদৈর্ঘ্য $\lambda_{\min}=hc/(eV)$। তাই উচ্চ বিভব বেশি শক্তিশালী বা কম তরঙ্গদৈর্ঘ্যের এক্স-রে পেতে সাহায্য করে; তীব্রতা কেবল বিভব দিয়ে নির্ধারিত হয় না।

এখানে,

A ধাতুর কার্যাপেক্ষক,

$\mathrm{W}_{\mathrm{A}}=2.1 \mathrm{eV} =2 . \mathrm{l} \times 1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$

$=3.36 \times 10^{-19} \mathrm{~J} $

প্লাঙ্কের ধ্রুবক, $\mathrm{h}=6.63 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

A ধাতুর সূচন কম্পাঙ্ক, $f_0=$ ?

আমরা জানি,

$ W_A=h f_0 $

বা, $f_0=\frac{W_A}{h}=\frac{3.36 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}}=5.07 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

অতএব, 'A' ধাতুর সূচন কম্পাঙ্ক $5.07 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$.

$A$-এর জন্য আপতিত ফোটনের শক্তি $7.65\times10^{-19}~\mathrm J$ এবং কার্যাপেক্ষক $3.36\times10^{-19}~\mathrm J$। তাই

$K_A=4.29\times10^{-19}~\mathrm J,\qquad v_A=\sqrt{2K_A/m_e}\approx9.71\times10^5~\mathrm{m\,s^{-1}}$।

$B$-এর জন্য ফোটনের শক্তি $5.10\times10^{-19}~\mathrm J$ ও কার্যাপেক্ষক $3.68\times10^{-19}~\mathrm J$। ফলে

$K_B=1.42\times10^{-19}~\mathrm J,\qquad v_B\approx5.59\times10^5~\mathrm{m\,s^{-1}}$।

অতএব $\dfrac{v_A}{v_B}=\sqrt{\dfrac{4.29}{1.42}}\approx1.74$; $A$-এর সর্বোচ্চ বেগ বেশি।

এক্স-রে নলে ক্যাথোড থেকে নির্গত ইলেকট্রনকে বড় গতিশক্তি দিতে উচ্চ ত্বরক বিভব ব্যবহার করা হয়। বিভব $V$ হলে ইলেকট্রনের অর্জিত শক্তি প্রায় $eV$।

লক্ষ্যবস্তুতে বাধাপ্রাপ্ত হয়ে এই শক্তির অংশ এক্স-রে ফোটনে রূপান্তরিত হয়; সর্বোচ্চ ফোটন শক্তি $hf_{\max}=eV$ এবং সর্বনিম্ন তরঙ্গদৈর্ঘ্য $\lambda_{\min}=hc/(eV)$। তাই উচ্চ বিভব বেশি শক্তিশালী বা কম তরঙ্গদৈর্ঘ্যের এক্স-রে পেতে সাহায্য করে; তীব্রতা কেবল বিভব দিয়ে নির্ধারিত হয় না।

পুরোনো 'আপেক্ষিক ভর' পরিভাষায় $m_{\mathrm{rel}}=E/c^2=\gamma m_0$ ব্যবহার করলে

$\gamma=\dfrac1\{\sqrt{1-0.92^2}\}\approx2.55155$,

$m_{\mathrm{rel}}=\gamma(60)\approx153.09~\mathrm{kg}$।

তবে বস্তুর নিজস্ব বা অপরিবর্তনীয় ভর $m_0=60~\mathrm{kg}$-ই থাকে। ১৫৩.০৯ কিলোগ্রাম মানটি চলমান মোট শক্তিকে $c^2$ দিয়ে ভাগ করে সংজ্ঞায়িত; এটি নিজস্ব ভরের পরিবর্তন নয়।

মহাকাশচারীর কাঠামোতে একই সময়ে মাঠের প্রান্তগুলোর অবস্থান মেপে দৈর্ঘ্য নির্ণয় করলে গতি-সমান্তরাল দিক সংকুচিত হবে:

$L_\parallel=50\sqrt{1-0.92^2}\approx19.60~\mathrm m$।

গতির লম্ব দিক অপরিবর্তিত, $L_\perp=50~\mathrm m$। তাই এভাবে পরিমাপকৃত আকৃতি $19.60~\mathrm m\times50~\mathrm m$ আয়তক্ষেত্র, বর্গ নয়।

এটি একযোগে অবস্থান-পরিমাপের দৈর্ঘ্য সংকোচন; আলো পৌঁছানোর বিভিন্ন সময়সহ চোখে দেখা আলোকচিত্রের আকৃতি নিয়ে সরাসরি দাবি নয়।

এখানে, $\mathrm{E}_1=12 \mathrm{~V}, \mathrm{E}_2=8 \mathrm{~V}, \mathrm{r}=0.6 \Omega$ এবং $\mathrm{R}=10 \Omega$

$ \therefore$ বর্তনীর মূল তড়িৎ প্রবাহ,

$I=\frac{E_1+E_2}{R+r+r}=\frac{12+8}{10+0.6+0.6}=1.786 \mathrm{~A}$

$\therefore \mathrm{R}$ এর দুই প্রান্তের বিভব পার্থক্য,

$V_{A^{\prime} B^{\prime}}=I R=1.786 \times 10=17.86 \mathrm{~V}$

অতএব, বর্তনী-২ অনুসারে $\mathrm{V}_{A^{\prime} B^{\prime}}$ এর মান 17.86 V .

প্রথম বর্তনীতে দুটি সমমুখী কোষ সমান্তরালে, প্রতিটির অভ্যন্তরীণ রোধ $0.6~\Omega$। তাদের সমতুল্য উৎস

$\mathcal E_p=\dfrac{12/0.6+8/0.6}{1/0.6+1/0.6}=10~\mathrm V,\qquad r_p=0.3~\Omega$।

বাহ্যিক $R=10~\Omega$-এ $I_1=10/(10+0.3)=0.97087~\mathrm A$ এবং একই সময় $t$-তে $H_1=I_1^2Rt\approx9.426t~\mathrm J$।

দ্বিতীয় বর্তনীতে কোষ দুটি সমমুখী শ্রেণিতে:

$I_2=\dfrac{12+8}{10+0.6+0.6}=1.78571~\mathrm A$,

$H_2=I_2^2Rt\approx31.888t~\mathrm J$।

তাই $H_2/H_1\approx3.383$। দ্বিতীয় বর্তনীতে একই সময়ে বাহ্যিক রোধে বেশি শক্তি ব্যয় হবে।

নিজস্ব দৈর্ঘ্য $L_0$-বিশিষ্ট মহাকাশযান কোনো পর্যবেক্ষকের সাপেক্ষে দৈর্ঘ্য বরাবর $v$ বেগে চললে সেই পর্যবেক্ষকের একই সময়ে মাপা দৈর্ঘ্য

$L=L_0\sqrt{1-v^2/c^2}$।

$0

উদ্দীপক হতে,

লাল আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য, $\lambda_R=7000 \AA=7 \times 10^{-7} \mathrm{~m}$

পর্দার দূরত্ব ও চিরের ব্যবধানের অনুপাত, $\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{a}}=50$

উজ্জ্বল ডোরার ক্রম, $n=3$

আমরা জানি; $x_n=n \frac{D \lambda}{a}$

বা, $\mathrm{x}_3=3 \times 50 \times 7 \times 10^{-7}=1.05 \times 10^{-4} \mathrm{~m}$

অতএব, লাল আলোর ক্ষেত্রে কেন্দ্রীয় উজ্জ্বল হতে ৩য় উজ্জ্বল ডোরার দূরত্ব $1.05 \times 10^{-4} \mathrm{~m}$.

ডোরা প্রস্থ $\beta=D\lambda/a$। লাল আলোর প্রথম ডোরা প্রস্থ ও নতুন দূরত্বে নীল আলোর প্রস্থ সমান করতে

$\dfrac{D'\lambda_B}{a}=\dfrac{D\lambda_R}{a}$,

$\dfrac{D'}D=\dfrac{7000}{4000}=1.75$।

তাই পর্দার দূরত্ব আগের $1.75$ গুণ করতে হবে, অর্থাৎ $75\%$ বাড়াতে হবে।

নিকটবর্তী প্রোটনগুলোর মধ্যে কুলম্ব বিকর্ষণ থাকলেও প্রায় নিউক্লীয় দূরত্বে নিউক্লিয়নগুলোর সবল পারস্পরিক ক্রিয়া বন্ধন সৃষ্টি করতে পারে। উপযুক্ত প্রোটন-নিউট্রন বিন্যাসে এই বন্ধন শক্তি বিকর্ষণকে অতিক্রম করে আবদ্ধ নিউক্লিয়াস গঠন করে।

নিউট্রন আধানহীন হওয়ায় কুলম্ব বিকর্ষণ না বাড়িয়ে নিউক্লীয় বন্ধনে অংশ নেয়। তবে সব নিউক্লিয়াস স্থিতিশীল নয়; অনুপযুক্ত নিউক্লিয়ন অনুপাত বা অন্য কারণে তেজস্ক্রিয় ক্ষয় হতে পারে।

এখানে, A মৌলের ক্ষয় ধ্রুবক, $\lambda=5.1 \times 10^{-3} \mathrm{y}^{-1}$

প্রারম্ভিক ভর, $\mathrm{m}_0=50 \mathrm{gm}$

ক্ষয়ের সময়, $\mathrm{t}=1.5 \mathrm{y}$

অবশিষ্ট ভর, $\mathrm{m}=$ ?

আমরা জানি, $\mathrm{m}=\mathrm{m}_0 \mathrm{e}^{-\lambda \mathrm{t}}=50 \times \mathrm{e}^{-5.1 \times 10^{-3} \times 1.5}$

$ =49.619 \mathrm{gm} $

অতএব, উদ্দীপক হতে A মৌলের $X_A$ এর মান 49.619 gm .

$B$-এর জন্য ক্ষয়সূত্রে

$12.5=50e^{-\lambda_B Y_B} \quad\Rightarrow\quad Y_B=\dfrac{\ln4}{\lambda_B}$।

$C$-এর জন্য

$25.5=Z_Ce^{-1.5\lambda_C} \quad\Rightarrow\quad Z_C=25.5e^{1.5\lambda_C}~\mathrm g$।

গড় আয়ু $\tau_B=1/\lambda_B$ ও $\tau_C=1/\lambda_C$। কিন্তু সারণিতে $\lambda_B,\lambda_C$, তাদের অর্ধায়ু বা এই ধ্রুবক নির্ণয়ের অন্য কোনো তথ্য নেই। $A$-এর ক্ষয় ধ্রুবক দিয়ে ভিন্ন মৌলের ধ্রুবক নির্ণয় করা যায় না।

তাই $Y_B,Z_C$-এর একক সংখ্যামান ও গড় আয়ুর তুলনা প্রদত্ত তথ্য থেকে সম্ভব নয়; সংশ্লিষ্ট অতিরিক্ত ক্ষয়তথ্য দরকার।

ক্ষয়সূত্রে $N(t)=N_0e^{-\lambda t}$। তাই শুরুতে $N=N_0$ এবং সময়ের সঙ্গে অবক্ষয়িত না-হওয়া পরমাণুর সংখ্যা সূচকীয়ভাবে কমে।

ঢাল $dN/dt=-\lambda N<0$; শুরুতে ক্ষয় দ্রুত এবং পরে ঢালের পরম মান কমে। $d^2N/dt^2=\lambda^2N>0$, অর্থাৎ বক্ররেখা ঊর্ধ্ব-অভিমুখী বক্রতা নিয়ে সমতল হতে থাকে এবং গড়-সংখ্যার মডেলে সময় অক্ষের দিকে আসন্ন হয়।

উপরের শাখায় $\overline A$ ও $B$-এর AND এবং নিচের শাখায় $A$ ও $\overline B$-এর AND; শেষে দুই শাখা OR গেটে যুক্ত। তাই

$Y=\overline AB+A\overline B=A\oplus B$।

NAND সর্বজনীন গেট। মূল চিত্রের দুই NOT, দুই AND ও শেষ OR-এর কাজ কেবল NAND দিয়ে নিম্নের সুনির্দিষ্ট সংযোগে পাওয়া যায়:

ডি-মরগ্যানের সূত্রে শেষ আউটপুট ঠিক $Y=\overline AB+A\overline B$। তাই মূল XOR-সমতুল্য বর্তনীটি শুধু NAND দিয়েই বাস্তবায়ন সম্ভব।