তাপগতিবিদ্যার প্রথম সূত্রে কোনো সিস্টেমে দেওয়া তাপ তার অভ্যন্তরীণ শক্তির পরিবর্তন ও সিস্টেম কর্তৃক সম্পাদিত কাজের সমষ্টি:

$Q=\Delta U+W$।

এতে শক্তি সৃষ্টি বা ধ্বংস হয় না; তাপ, কাজ ও অভ্যন্তরীণ শক্তির মধ্যে আদান-প্রদান ঘটে। সিস্টেম শক্তি গ্রহণ বা বর্জন করতে পারে, কিন্তু সিস্টেম ও পরিবেশকে একত্রে ধরলে মোট শক্তি সংরক্ষিত থাকে। এই অর্থে প্রথম সূত্র শক্তির নিত্যতার বিশেষ প্রকাশ।

উৎস থেকে গৃহীত তাপ $Q_H=1000~\mathrm J$ এবং গ্রাহকে বর্জিত তাপ $Q_C=600~\mathrm J$। প্রতি চক্রে কাজ

$W=Q_H-Q_C=400~\mathrm J$।

তাই দক্ষতা

$\eta=\dfrac{W}{Q_H}=\dfrac{400}{1000}=0.40=40\%$।

প্রদত্ত তাপমাত্রায় কার্নো সীমাও $1-300/500=0.40$; এই ইঞ্জিনের প্রদত্ত মান সেই সীমার সমান।

একটি পূর্ণ চক্রে কার্যকর পদার্থের এনট্রপির পরিবর্তন শূন্য। উৎস তাপ হারায় ও গ্রাহক তাপ পায়, তাই

$\Delta S_H=-\dfrac{1000}{500}=-2~\mathrm{J\,K^{-1}}$,

$\Delta S_C=+\dfrac{600}{300}=+2~\mathrm{J\,K^{-1}}$।

সুতরাং মোট এনট্রপি পরিবর্তন শূন্য। প্রদত্ত আদর্শ মানে চক্রটি প্রত্যাবর্তী সীমার সমতুল্য; এনট্রপি উৎপাদন নেই।

তবে এনট্রপি উৎপাদন শূন্য হলেই একটি ইঞ্জিনকে সর্বার্থে পরিবেশবান্ধব বলা যায় না। জ্বালানি, নিঃসরণ, বর্জ্য ও পরিবেশে তাপের প্রভাব সম্পর্কে তথ্য দেওয়া নেই। তাই পূর্ণ পরিবেশগত সিদ্ধান্তের জন্য প্রদত্ত তথ্য যথেষ্ট নয়।

এখানে, তড়িৎ দ্বিমেরুর চার্জ, $\mathrm{q}=4 \mu \mathrm{C}=4 \times 10^{-6} \mathrm{C}$

তড়িৎ দ্বিমেরুর মধ্যবর্তী দূরত্ব, $2 l=0.2 \mathrm{~mm}=0.2 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$

∴ দ্বিমেরু ভ্রামক,

$\begin{aligned} \mathrm{P} & =\mathrm{q} \times 2 l \\ & =4 \times 10^{-6} \times 0.2 \times 10^{-3} \mathrm{C} \mathrm{m} \\ & =8 \times 10^{-10} \mathrm{C} \mathrm{m}\end{aligned}$

দ্বিমেরুর মধ্যবিন্দু হতে P এর দূরত্ব, r=4 m

দ্বিমেরুর সাথে OP এর উৎপন্ন কোণ, $\theta=45^{\circ}$

P বিন্দুতে প্রাবল্য, $\mathrm{E}=$ ?

আমরা জানি,

$\begin{aligned} \mathrm{E} & =\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{\mathrm{P} \sqrt{1+3 \cos ^2 \theta}}{\mathrm{r}^3} \\ & =9 \times 10^9 \times \frac{8 \times 10^{-10} \times \sqrt{1+3 \cos ^2 45^{\circ}}}{(4)^3} \\ & =0.178 \mathrm{NC}^{-1}\end{aligned}$

অতএব, উদ্দীপকের P বিন্দুতে তড়িৎ প্রাবল্য $0.178 \mathrm{NC}^{-1}$.

দ্বিমেরু ভ্রামকের দিক $A$ থেকে $B$ এবং $p=8\times10^{-10}~\mathrm{C\,m}$। এখানে আধানদ্বয়ের দূরত্ব পর্যবেক্ষণ দূরত্বের তুলনায় খুব ছোট, তাই দ্বিমেরুর দূরবর্তী ক্ষেত্রের বিভবসূত্র প্রযোজ্য।

$V_P=\dfrac{kp\cos45^\circ}{4^2} =0.3182~\mathrm V$,

$V_Q=\dfrac{kp\cos150^\circ}{3^2} =-0.6928~\mathrm V$।

অতএব $V_P-V_Q=1.011~\mathrm V$। একটি ধনাত্মক পরীক্ষণ আধান $P$ থেকে $Q$-তে গেলে তড়িৎ ক্ষেত্র ধনাত্মক কাজ করতে পারে; ঋণাত্মক আধানের জন্য প্রবণতা বিপরীত।

তবে দুই বিন্দুর বিভব ভিন্ন হওয়া থেকে মুক্ত আধানের গতিপথ অবশ্যই সরল $PQ$ রেখা হবে—এ সিদ্ধান্ত আসে না। রেখা বরাবর চলতে হলে উপযুক্ত পরিবাহী পথ বা বাধ্যতামূলক গতিপথের শর্ত দরকার।

প্রদত্ত আধানের পরিমাণ, $q=5 \times 10^{-19} C$

এবং আমরা জানি ইলেকট্রনের আধান, $\mathrm{e}=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

এখন, $\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{e}}=\frac{5 \times 10^{-19} \mathrm{C}}{1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}}=3.125$

∴ দেখা যাচ্ছে আধানটি ইলেকট্রনের আধানের সরল গুণিতক নয়।

অর্থাৎ কোনো বস্তুর আধান $5 \times 10^{-19} \mathrm{C}$ হতে পারে না।

চিত্রে $\vec{AD}$ ও $\vec{BA}$ পরস্পর লম্ব। ঋণাত্মক $D$ আধানের কারণে $A$-তে ক্ষেত্র $D$-এর দিকে এবং ধনাত্মক $B$ আধানের কারণে ক্ষেত্র $B$ থেকে দূরে।

$E_D=\dfrac{k|q_D|}{AD^2} =\dfrac{9\times10^9\times2.25\times10^{-3}}{0.8^2} =3.1641\times10^7~\mathrm{N\,C^{-1}}$,

$E_B=\dfrac{kq_B}{AB^2} =4.5\times10^7~\mathrm{N\,C^{-1}}$।

তাই লব্ধি প্রাবল্যের মান

$E=\sqrt{E_D^2+E_B^2} =5.501\times10^7~\mathrm{N\,C^{-1}}$।

লব্ধি $\vec{BA}$ থেকে $\vec{AD}$-এর দিকে $\tan^{-1}(E_D/E_B)\approx35.1^\circ$ কোণে।

চার্জদ্বয়ের কারণে প্রাথমিক বিভব

$V_A=k\left(\dfrac{q_B}{AB}+\dfrac{q_D}{AD}\right) =9\times10^9\left(\dfrac{5\times10^{-3}}1-\dfrac{2.25\times10^{-3}}{0.8}\right) =1.96875\times10^7~\mathrm V$।

$V_C=k\left(\dfrac{q_B}{BC}+\dfrac{q_D}{DC}\right) =9\times10^9\left(\dfrac{5\times10^{-3}}{0.8}-\dfrac{2.25\times10^{-3}}1\right) =3.60\times10^7~\mathrm V$।

সুতরাং $V_C>V_A$। ধাতব তার দিয়ে যুক্ত করলে প্রথমে ইলেকট্রন পুনর্বণ্টিত হবে; প্রচলিত প্রবাহের দিক $C$ থেকে $A$। নিছক স্থির আধান ও তারের এই ব্যবস্থায় এটি ক্ষণস্থায়ী প্রবাহ; স্থায়ী প্রবাহ বজায় রাখতে বিভব পার্থক্য রক্ষাকারী উৎসের শর্ত প্রয়োজন।

মাইক্রোওয়েভ ওভেনের পরিবর্তী তড়িৎ ক্ষেত্র খাদ্যের মেরু অণু, বিশেষত পানির অণুকে পর্যায়ক্রমে অভিমুখ বদলাতে প্রবণ করে। খাদ্যের ডাইইলেকট্রিক ক্ষয় ও আয়নিক পরিবাহিতার মাধ্যমে তড়িৎচুম্বকীয় শক্তি তাপে রূপান্তরিত হয়।

এই তাপ খাদ্য গরম করে এবং পরিবহনের মাধ্যমে ছড়িয়ে পড়ে। পানির অণু ঘোরাতে কেবল মাইক্রোতরঙ্গই পারে—এমন একচ্ছত্র দাবি সঠিক নয়; এখানে উপযুক্ত কম্পাঙ্ক ও খাদ্যের শক্তি শোষণের বৈশিষ্ট্য গুরুত্বপূর্ণ।

কেন্দ্রীয় উজ্জ্বল ডোরা থেকে অষ্টম উজ্জ্বল ডোরার কৌণিক সরণ $\theta$ হলে

$a\sin\theta=8\lambda$।

$\theta=\sin^{-1}\left(\dfrac{8\times5.4\times10^{-7}}{1.5\times10^{-3}}\right) =0.002880~\mathrm{rad}\approx0.165^\circ$।

এটিই এক পাশের অষ্টম উজ্জ্বল ডোরার কৌণিক সরণ। উভয় পাশের অষ্টম ডোরার পারস্পরিক কৌণিক দূরত্ব হলে তা $2\theta\approx0.330^\circ$।

বায়ুতে ডোরা প্রস্থ

$\beta_a=\dfrac{\lambda D}{a} =\dfrac{5.4\times10^{-7}\times2}{1.5\times10^{-3}} =7.2\times10^{-4}~\mathrm m=0.72~\mathrm{mm}$।

পুরো পরীক্ষণ ব্যবস্থা পানিতে নিমজ্জিত করলে কম্পাঙ্ক অপরিবর্তিত থাকে এবং তরঙ্গদৈর্ঘ্য হয় $\lambda_w=\lambda/\mu$। তাই

$\beta_w=\dfrac{\beta_a}{\mu} =\dfrac{0.72}{4/3}=0.54~\mathrm{mm}$।

অতএব ডোরা প্রস্থ একই থাকবে না; বায়ুর মানের $\tfrac34$ হবে।

নভোচারীর নিজস্ব ঘড়িতে ভ্রমণকাল $\tau=20~\text{বছর}$। যাওয়া-ফেরার অধিকাংশ সময় দ্রুতি $0.8c$ এবং দিক পরিবর্তনের স্বল্প সময় উপেক্ষা করলে

$\gamma=\dfrac1\{\sqrt{1-0.8^2}\}=\dfrac53$,

$t=\gamma\tau=\dfrac53\times20=33.33~\text{বছর}$।

অতএব পৃথিবীর ক্যালেন্ডারে যাত্রার শুরু থেকে ৩৩.৩৩ বছর পার হয়েছে। জন্মতারিখ থেকে পৃথিবীর ক্যালেন্ডার অনুযায়ী গণনা করলে সংখ্যা $35+33.33=68.33$ বছর।

তবে নভোচারীর দেহ ও নিজস্ব ঘড়িতে অতিবাহিত বয়স $35+20=55$ বছর; ফিরে এসে এই প্রকৃত বয়সকে ৬৮.৩৩ বছর বলা যাবে না। প্রশ্নে 'পৃথিবীর হিসাবে বয়স' কথাটি ক্যালেন্ডারভিত্তিক গণনা বোঝালে ৬৮.৩৩, আর নভোচারীর বাস্তবে অতিবাহিত বয়স বোঝালে ৫৫ বছর।

মহাকাশযানের নিশ্চল ভর $m_0=600~\mathrm{kg}$ এবং $\gamma=5/3$।

নিশ্চল শক্তি $E_0=m_0c^2=5.4\times10^{19}~\mathrm J$।

আপেক্ষিক গতিশক্তি

$K=(\gamma-1)m_0c^2=\dfrac23E_0=3.6\times10^{19}~\mathrm J$।

অতএব গতিশক্তি নিশ্চল শক্তির দ্বিগুণ নয়; $\dfrac23$ গুণ।

একই ধাতু ও একই আপতিত কম্পাঙ্কে, কম্পাঙ্ক সূচন কম্পাঙ্কের বেশি হলে আলোর তীব্রতা বাড়ার অর্থ প্রতি একক সময়ে বেশি ফোটন আপতিত হওয়া। ফলে সাধারণ এক-ফোটন আলোকতড়িৎ প্রক্রিয়ায় নির্গত ইলেকট্রনের সংখ্যাও বাড়তে পারে।

একই সংগ্রাহক বিভব ও উপযুক্ত সংগ্রহ-ব্যবস্থায় তাই আলোকতড়িৎ প্রবাহ বাড়ে। এতে ইলেকট্রনের সর্বোচ্চ গতিশক্তি বাড়ে না; তা কম্পাঙ্ক ও কার্যাপেক্ষকের উপর নির্ভর করে।

এখানে, কার্যাপেক্ষক,

$\begin{aligned} \mathrm{W}_0=3 \mathrm{eV} & =3 \times 1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \\ & =4.8 \times 10^{-19} \mathrm{~J}\end{aligned}$

প্লাঙ্কের ধ্রুবক, $\mathrm{h}=6.63 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$
আলোর বেগ, $\mathrm{c}=3 \times 10^8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$.
সূচন তরঙ্গদৈর্ঘ্য, $\lambda_0=$ ?

আমরা জানি, $\mathrm{W}_0=\frac{\mathrm{hc}}{\lambda_0}$

বা, $\lambda_0=\frac{\mathrm{hc}}{\mathrm{W}_0}=\frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{4.8 \times 10^{-19}}=4.14 \times 10^{-7} \mathrm{~m}$

অতএব, পরীক্ষায় ব্যবহৃত ধাতুর সূচন তরঙ্গদৈর্ঘ্য $4.14 \times 10^{-7} \mathrm{~m}$.

আইনস্টাইনের সমীকরণ অনুযায়ী সর্বোচ্চ গতিশক্তি

$K_{\max}=\dfrac{hc}{\lambda}-W_0 =\dfrac{6.63\times10^{-34}\times3\times10^8}{260\times10^{-9}}-4.8\times10^{-19} =2.85\times10^{-19}~\mathrm J$।

সুতরাং

$v_{\max}=\sqrt{\dfrac{2K_{\max}}m} =\sqrt{\dfrac{2\times2.85\times10^{-19}}{9.1\times10^{-31}}} =7.91\times10^5~\mathrm{m\,s^{-1}}$।

প্রদত্ত $7.5\times10^5~\mathrm{m\,s^{-1}}$ এই সর্বোচ্চ বেগের কম। আলোকইলেকট্রন বিভিন্ন গতিশক্তিতে নির্গত হতে পারে; তাই এই বেগে ইলেকট্রন নির্গমন সম্ভব। তবে এটিকে সর্বোচ্চ বেগ বলে দাবি করা হলে তা প্রদত্ত মানের সঙ্গে মিলবে না।

সম্মুখ ঝোঁকে বহিঃউৎসের ধনাত্মক প্রান্ত $p$-অঞ্চলে এবং ঋণাত্মক প্রান্ত $n$-অঞ্চলে যুক্ত হয়। প্রয়োগ করা বিভব সংযোগস্থলের অন্তর্নিহিত বাধা বিভব কমায় ও নিঃশেষিত স্তর সরু করে।

ফলে সংখ্যাগরিষ্ঠ বাহক সংযোগস্থল অতিক্রম করতে পারে এবং যথেষ্ট সম্মুখ বিভবে উল্লেখযোগ্য প্রবাহ হয়। তাই ডায়োড কম রোধের মতো আচরণ করে; তবে এটি নিখুঁত ওহমীয় পরিবাহী নয়, এর প্রবাহ-বিভব সম্পর্ক অরৈখিক।

কমন-এমিটার সংযোগে প্রবাহ বিবর্ধন গুণক

$\beta=\dfrac{\Delta I_C}{\Delta I_B} =\dfrac{3\times10^{-3}}{20\times10^{-6}}=150$।

এখানে নিঃসারক প্রবাহ পরিবর্তন $\Delta I_E=3.02~\mathrm{mA}$। তা থেকে $\alpha=\Delta I_C/\Delta I_E\approx0.9934$ পাওয়া যায়, কিন্তু $\alpha$ হলো কমন-বেস প্রবাহ বিবর্ধন গুণক; প্রশ্নের কমন-এমিটার গুণক $\beta=150$।

প্রদত্ত কার্যবিন্দুতে কমন-এমিটার প্রবাহ লাভ $\beta=150$। তাই $20~\mu\mathrm A$ পীঠপ্রবাহ পরিবর্তনে $3~\mathrm{mA}$ সংগ্রাহক প্রবাহ পরিবর্তন হয়।

একই পীঠপ্রবাহ পরিবর্তনকে ঠিক ১২৫ গুণ বিবর্ধিত করতে চাইলে প্রত্যাশিত পরিবর্তন হতো

$125\times20~\mu\mathrm A=2.5~\mathrm{mA}$,

যা প্রদত্ত $3~\mathrm{mA}$-এর সমান নয়। অতএব প্রদত্ত সরাসরি প্রবাহ লাভ ঠিক ১২৫ নয়। তবে লক্ষ্য যদি অন্তত ১২৫ গুণ প্রবাহ লাভ হয়, তাহলে ১৫০ গুণ লাভ তা অতিক্রম করে; অথবা অতিরিক্ত বর্তনী-নিয়ন্ত্রণে লাভ কমানো সম্ভব কি না, তার জন্য অন্য তথ্য দরকার।

তেজস্ক্রিয় ক্ষয়ের সূচকীয় নিয়মে অবক্ষয়িত না-হওয়া পরমাণুর গড় সংখ্যা

$\langle N(t)\rangle=N_0e^{-\lambda t}$।

যেকোনো সসীম $t$-এর জন্য এই গড় মান ধনাত্মক থাকে এবং $t\to\infty$ হলে শূন্যের দিকে যায়। এই ধারাবাহিক গড়-সংখ্যার মডেলে নিঃশেষকাল অসীম বলা হয়।

তবে ক্ষয় একটি সম্ভাবনামূলক ঘটনা; একটি সসীম নমুনার শেষ পরমাণুটি অবশ্যই অসীম সময় পর্যন্ত থাকবে—এ দাবি এই সমীকরণ থেকে করা যায় না।

এখানে, ইলেকট্রনের ভর, m $=9.11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$
প্লাঙ্কের ধ্রুবক, $\mathrm{h}=6.63 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$
দ্বিতীয় কক্ষপথের ব্যাসার্ধ, $\mathrm{r}_2=2.12 Å=2.12 \times 10^{-10} \mathrm{~m}$
কক্ষপথ সংখ্যা, $\mathrm{n}_2=2$
ইলেকট্রনের গতিবেগ, $\mathrm{v}_2=$ ?

আমরা জানি, $\mathrm{mv}_2 \mathbf{r}_2=\frac{\mathrm{n}_2 \mathrm{~h}}{2 \pi}$

বা, $v_2=\frac{n_2 h}{2 \pi \mathrm{mr}_2}=\frac{2 \times 6.63 \times 10^{-34}}{2 \pi \times 9.11 \times 10^{-31} \times 2.12 \times 10^{-10}}$

$=1.09 \times 10^6 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$

অতএব, পরমাণুটির দ্বিতীয় শক্তিস্তরের ইলেকট্রনের গতিবেগ $1.09 \times 10^6 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$

এক-ইলেকট্রনবিশিষ্ট হাইড্রোজেনের বোর মডেলে $r_2\simeq2.12~\mathrm{\mathring A}$ প্রদত্ত মানের সঙ্গে মিলে। এই মডেলে

$E_n=-\dfrac{me^4}{8\epsilon_0^2h^2n^2}$।

প্রদত্ত ধ্রুবক বসিয়ে $E_2\approx-5.41\times10^{-19}~\mathrm J$ ও $E_3\approx-2.40\times10^{-19}~\mathrm J$।

$n=2$ থেকে $n=3$-এ যেতে শোষিত শক্তি

$\Delta E=E_3-E_2\approx3.01\times10^{-19}~\mathrm J$।

তাই $\lambda=hc/\Delta E\approx6.6\times10^{-7}~\mathrm m=660~\mathrm{nm}$।

এটি প্রদত্ত দৃশ্যমান পাল্লা $4\times10^{-7}$ থেকে $8\times10^{-7}~\mathrm m$-এর মধ্যে। অতএব বোরের হাইড্রোজেন মডেলের শর্তে শোষিত বিকিরণ দৃশ্যমান।