রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় $Q=0$। গ্যাস বাইরের উপর ধনাত্মক কাজ করলে প্রথম সূত্রে $\Delta U=-W<0$।

আদর্শ গ্যাসের অভ্যন্তরীণ শক্তি তাপমাত্রার ফাংশন, তাই এ ধরনের প্রসারণে তাপমাত্রা কমে। তবে বাইরের উপর কাজ না-করার মুক্ত প্রসারণে আদর্শ গ্যাসের তাপমাত্রা অপরিবর্তিত থাকতে পারে; শুধু রুদ্ধতাপীয় বলা যথেষ্ট নয়।

উদ্দীপক হতে,
তাপ উৎসের তাপমাত্রা, $\mathrm{T}_1=327^{\circ} \mathrm{C}=(273+327) \mathrm{K}=600 \mathrm{~K}$
তাপ গ্রাহকের তাপমাত্রা, $\mathrm{T}_2=27^{\circ} \mathrm{C}=(273+27) \mathrm{K}=300 \mathrm{~K}$
উৎস হতে গৃহীত তাপ, $\mathrm{Q}_1=2.5 \times 10^6 \mathrm{~J}$

কার্নো চক্রের ক্ষেত্রে আমরা জানি,

$\frac{Q_1}{T_1}=\frac{Q_2}{T_2}$
বা, $\quad \mathrm{Q}_2=\frac{\mathrm{T}_2}{\mathrm{~T}_1} \times \mathrm{Q}_1=\frac{300}{600} \times 2.5 \times 10^6=1.25 \times 10^6 \mathrm{~J}$

অতএব, ইঞ্জিনটি তাপ গ্রাহকে $1.25 \times 10^6 \mathrm{~J}$ তাপ বর্জন করবে।

প্রথম পর্যায়ে :

পরিবর্তিত তাপ উৎসের তাপমাত্রা, $\mathrm{T}_1\{ \}^{\prime}=273+327+50=650 \mathrm{~K}$

তাপ গ্রাহকের তাপমাত্রা, $\mathrm{T}_2=300 \mathrm{~K}$

$\therefore$ দক্ষতা, $\eta_1=\left(1-\frac{\mathrm{T}_2}{\mathrm{~T}_1^{\prime}}\right) \times 100 \%$
$=\left(1-\frac{300}{650}\right) \times 100 \%=53.85 \%$

দ্বিতীয় পর্যায়ে :

তাপ উৎসের তাপমাত্রা, $\mathrm{T}_1=600 \mathrm{~K}$

পরিবর্তিত তাপ গ্রাহকের তাপমাত্রা, $\mathrm{T}_2\{ \}^{\prime}=273+27-50=250 \mathrm{~K}$

$\therefore$ দক্ষতা, $\eta_2=\left(1-\frac{\mathrm{T}_2}{\mathrm{~T}_1}\right)\times 100 \%$

$=\left(1-\frac{250}{600}\right) \times 100 \%=58.33 \%$

যেহেতু $\eta_2>\eta_1$

সুতরাং, উদ্দীপকের ইঞ্জিনের দক্ষতা বৃদ্ধির জন্য ২য় পর্যায়টি অধিকতর গ্রহণযোগ্য।

এখানে দুটি পরিবর্তনকে একই মূল অবস্থা থেকে পৃথক বিকল্প হিসেবে তুলনা করা হয়েছে; উভয়ের বাস্তব খরচ বা শীতলীকরণ ব্যবস্থা সম্পর্কে আলাদা তথ্য দেওয়া নেই।

তড়িৎস্থির সাম্যাবস্থায় পরিবাহীর অভ্যন্তরে মুক্ত আধানের আর কোনো নির্দেশিত গতি থাকে না। অভ্যন্তরে তড়িৎ ক্ষেত্র থাকলে মুক্ত আধান পুনর্বণ্টিত হতো; তাই সাম্যাবস্থায় সেখানে $\vec E=0$।

এ কারণে কেন্দ্রসহ পরিবাহীর পুরো অভ্যন্তরের বিভব ধ্রুব, অর্থাৎ $\vec E=-\nabla V=0$। সাধারণ পরিবর্তনশীল ক্ষেত্রের জন্য বিভব পার্থক্যকে সরাসরি $E$ গুণ দূরত্ব লিখে প্রমাণ করা দরকার নেই।

এখানে, $P$ বিন্দুর চার্জ, $\mathrm{q}_{\mathrm{P}}=2 \mathrm{C}$

$\mathrm{PQ}=2 \mathrm{~m}$

এখন, $P$ বিন্দুর চার্জের জন্য $Q$ বিন্দুতে প্রাবল্য,

$\mathrm{E}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{\mathrm{q}_p}{\mathrm{PQ}^2}=9 \times 10^9 \times\frac{2}{2^2}=4.5 \times 10^9 \mathrm{NC}^{-1}$

$E$ এর দিক $\vec{\mathrm{PQ}}$ বরাবর।

অতএব, $P$ বিন্দুতে স্থাপিত চার্জের জন্য $Q$ বিন্দুতে প্রাবল্যের মান $4.5 \times 10^9 \mathrm{NC}^{-1}$ এবং দিক $\vec{\mathrm{PQ}}$ বরাবর।

হিলিয়াম নিউক্লিয়াসের আধান $q_\alpha=+2e=3.2\times10^{-19}~\mathrm C$।

$P$-এর $+2~\mathrm C$ আধান $R$-এর নিউক্লিয়াসকে $\vec{PR}$ বরাবর বিকর্ষণ করে, আর $Q$-এর $-2~\mathrm C$ তাকে $\vec{RQ}$ বরাবর আকর্ষণ করে। প্রতিটি বলের মান

$F_0=\dfrac{k(2)(3.2\times10^{-19})}{2^2} =1.44\times10^{-9}~\mathrm N$।

দুটি বল $120^\circ$ কোণে ক্রিয়া করে। ঊর্ধ্ব ও নিম্ন উপাংশ পরস্পর বাতিল এবং অনুভূমিক উপাংশ যোগ হয়:

$F=2F_0\cos60^\circ=F_0=1.44\times10^{-9}~\mathrm N$।

লব্ধির দিক $PQ$-এর সমান্তরালে $P$ থেকে $Q$-এর দিকে, অর্থাৎ চিত্রের $RS$ বরাবর ডানদিকে। এটি $PQ$-এর সঙ্গে $60^\circ$ কোণ নয়।

কোনো পদার্থের রোধাঙ্কের বিপরীত রাশি $\sigma=1/\rho$-কে বৈদ্যুতিক পরিবাহিতা বলে। সুষম পদার্থে $\vec J=\sigma\vec E$; এর এসআই একক $\mathrm{S\,m^{-1}}$।

অন্যদিকে নির্দিষ্ট পরিবাহীর রোধের বিপরীত রাশি $G=1/R$ হলো পরিবাহকত্ব বা conductance; এর একক সিমেন্স। রাশি দুটি এক নয়।

চিত্রের $50~\Omega$, $100~\Omega$ ও $150~\Omega$ রোধ একই দুই নোডে সমান্তরালে এবং $20~\Omega$ রোধ তাদের সঙ্গে শ্রেণিতে।

$R_p=\left(\dfrac1\{50\}+\dfrac1\{100\}+\dfrac1\{150\}\right)^{-1} =\dfrac{300}{11}~\Omega$।

তাই $R_{\mathrm{eq}}=20+\dfrac{300}{11}=\dfrac{520}{11}\approx47.27~\Omega$।

চিত্রে $20~\Omega$ ও ডানের $100~\Omega$ উভয়ের পাশে $R_1$ লেখা আছে; হিসাবটি মান ও অবস্থান দিয়ে রোধ চিহ্নিত করেছে।

এখানে $R_1$ বলতে বাঁয়ের শ্রেণি-রোধ $20~\Omega$ বোঝানো হলে প্রাথমিক প্রবাহ

$I_1=\dfrac6\{520/11\}=0.12692~\mathrm A$।

সেটি অর্ধেক করে $10~\Omega$ করলে

$I_2=\dfrac6\{10+300/11\}=0.16098~\mathrm A$,

$I_2/I_1=\dfrac{52}{41}=1.2683$।

তাই মূল প্রবাহ দ্বিগুণ হবে না। তবে চিত্রে ডানের $100~\Omega$-কেও $R_1$ লেখা হয়েছে; প্রশ্নে কোনটি বোঝানো তা নির্দিষ্ট করা দরকার। এই ফলটি $20~\Omega$ শ্রেণি-রোধ অর্ধেক করার জন্য।

উড়োজাহাজের ছায়া মাটিতে একেবারেই পড়ে না—এ কথা সর্বক্ষেত্রে সঠিক নয়। কম উচ্চতায় স্পষ্ট ছায়া দেখা যেতে পারে।

সূর্য একটি বিস্তৃত আলোক উৎস। উড়োজাহাজ বেশি উঁচুতে থাকলে বিভিন্ন দিক থেকে আসা সূর্যালোকে ছায়ার প্রান্তে উপচ্ছায়া চওড়া হয়; পূর্ণছায়া মাটিতে না পৌঁছালে বা খুব দুর্বল হলে সুস্পষ্ট কালো ছায়া দেখা যায় না। মিটার-আকারের বিমানের ক্ষেত্রে দৃশ্যমান আলোর অপবর্তনকে এর প্রধান কারণ বলা যথাযথ নয়।

উদ্দীপক হতে, চিড়ের বেধ, $\mathrm{a}=0.0004 \mathrm{~cm}=4 \times 10^{-6} \mathrm{~m}$

দাগের বেধ, $\mathrm{b}=0.00015 \mathrm{~cm}=1.5 \times 10^{-6} \mathrm{~m}$

গ্রেটিং ধ্রুবক, $\mathrm{d}=\mathrm{a}+\mathrm{b}=5.5 \times 10^{-6} \mathrm{~m}$

ব্যবহৃত আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য, $\lambda=7000 \AA=7 \times 10^{-7} \mathrm{~m}$

উজ্জ্বল ডোরার ক্রম, $n = 1$

অপবর্তন কোণ, $\theta=$ ?

আমরা জানি, গ্রেটিংয়ের প্রধান উজ্জ্বল চরমের জন্য,
$\mathrm{d} \sin \theta=\mathrm{n} \lambda$

বা, $\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{\mathrm{n} \lambda}{\mathrm{d}}\right)=\sin ^{-1}\left(\frac{1 \times 7 \times 10^{-7}}{5.5 \times 10^{-6}}\right)=7.312^{\circ}$

অতএব, প্রথম ক্রমের উজ্জ্বল ডোরার জন্য অপবর্তন কোণের মান $7.312^{\circ}$ .

'গ' হতে পাই, গ্রেটিং ধ্রুবক, $d=5.5 \times 10^{-6} \mathrm{~m}$ এখানে, আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য, $\lambda=7000 \AA=7000 \times 10^{-10} \mathrm{~m}$

১ম চরমের ক্ষেত্রে, $\mathrm{n}_1=1$

২য় চরমের ক্ষেত্রে, $\mathrm{n}_2=2$

গ্রেটিং হতে পর্দার দূরত্ব, $D = 1 m$

১ম চরমের ক্ষেত্রে অপবর্তন কোণ $\theta_1$ হলে,

$d \sin \theta_1=n_1 \lambda$

বা $\theta_1=\sin ^{-1} \frac{n_1 \lambda}{d}=\sin ^{-1}\left(\frac{1 \times 7000 \times 10^{-10}}{5.5 \times 10^{-6}}\right)=7.31^{\circ}$

কেন্দ্রীয় চরমের উভয় পাশের ১ম চরমের মধ্যবর্তী দূরত্ব,

$x_1=2 D \tan \theta_1=2 \times 1 \times \tan 7.31^{\circ}=0.25656 \mathrm{~m}$

২য় চরমের ক্ষত্রে অপবর্তন কোণ $\theta_2$ হলে,

$d \sin \theta_2=n_2 \lambda$

বা, $\theta_2=\sin ^{-1} \frac{n_2 \lambda}{d}=\sin ^{-1}\left(\frac{2 \times 7000 \times 10^{-10}}{5.5 \times 10^{-6}}\right)=14.75^{\circ}$

কেন্দ্রীয় চরমের উভয় পাশের ২য় চরমের মধ্যবর্তী দূরত্ব,

$x_2=2 D \tan \theta_2=2 \times 1 \times \tan 14.75^{\circ}=0.526556 \mathrm{~m}$

এখন, $\frac{\mathrm{x}_2}{\mathrm{x}_1}=\frac{0.526556 \mathrm{~m}}{0.25656 \mathrm{~m}}=2.05$

$\therefore \quad \mathrm{x}_2=2.05 \times \mathrm{x}_1$

সুতরাং, উদ্দীপকের পর্দায় গঠিত কেন্দ্রীয় চরমের উভয় পাশে ২য় চরমের মধ্যবর্তী দূরত্ব ১ম চরমের মধ্যবর্তী দূরত্বের দ্বিগুণ হবে না।

উভয় কণার বেগ একই হওয়ায় তাদের $\gamma$ সমান। গতিশক্তি $K=(\gamma-1)m_0c^2$। অতএব $K_p/K_e=m_p/m_e=(1.67\times10^{-27})/(9.1\times10^{-31})=1835.16$।

পৃথকভাবে $K_e=3.297\times10^{-13}\,\mathrm{J}$ এবং $K_p=6.050\times10^{-10}\,\mathrm{J}$। প্রোটনের গতিশক্তি ইলেকট্রনের প্রায় $1.84\times10^3$ গুণ, দ্বিগুণ নয়।

এখানে, কার্যাপেক্ষক, $\mathrm{W}_0=2.2 \mathrm{eV}=2.2 \times 1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$

$=3.52 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$

প্লাঙ্কের ধ্রুবক, $\mathrm{h}=6.63 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

সূচন কম্পাঙ্ক, $f_0=$ ?

আমরা জানি,

$\mathrm{W}_0=\mathrm{h} f_0$

বা, $f_0=\frac{W_0}{h}=\frac{3.52 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}}=5.31 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

অতএব, ধাতুটির সূচন কম্পাঙ্ক $5.31 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$.

সর্বোচ্চ গতিশক্তি $K_{\max}=hc/\lambda-W_0$, যেখানে $W_0=3.52\times10^{-19}\,\mathrm{J}$।

$5000\,\mathrm{\mathring A}$-এর জন্য $K_1=3.978\times10^{-19}-3.52\times10^{-19}=4.58\times10^{-20}\,\mathrm{J}$। $4500\,\mathrm{\mathring A}$-এর জন্য $K_2=4.42\times10^{-19}-3.52\times10^{-19}=9.00\times10^{-20}\,\mathrm{J}$।

তাই সর্বোচ্চ গতিশক্তি $\Delta K=4.42\times10^{-20}\,\mathrm{J}$ বাড়ে; $K_2/K_1=1.965$। সব নির্গত ইলেকট্রনের গতিশক্তি সমান নয়; আইনস্টাইনের সমীকরণটি সর্বোচ্চ মান নির্ধারণ করে।

বোর মডেলে অনুমোদিত স্থির কক্ষপথের কৌণিক ভরবেগ $mvr=n\hbar=nh/(2\pi)$, যেখানে $n=1,2,\ldots$। প্রতিটি অনুমোদিত অবস্থার শক্তি নির্দিষ্ট; মাঝামাঝি যেকোনো শক্তির স্থির কক্ষপথ অনুমোদিত নয়।

এই অর্থে শক্তিস্তরগুলো বিচ্ছিন্ন বা ছিন্নায়িত। এটি বোর মডেলের ব্যাখ্যা; আধুনিক কোয়ান্টাম তত্ত্বে ইলেকট্রনকে নির্দিষ্ট ধ্রুপদি পথে ঘোরা কণা হিসেবে বর্ণনা করা হয় না।

একই প্রারম্ভিক ভর $m_0$ হলে $m_A=m_0e^{-\lambda_At}$ এবং $m_B=m_0e^{-\lambda_Bt}$। অতএব $m_B/m_A=e^{(\lambda_A-\lambda_B)t}=2$।

সুতরাং $t=\ln2/(\ln2/4-\ln2/6)=12\,\mathrm{day}$। তখন $m_A=m_0/8$ এবং $m_B=m_0/4$; অর্থাৎ $m_B=2m_A$।

উভয় ধরনের অর্ধপরিবাহী সামগ্রিকভাবে তড়িৎ নিরপেক্ষ।

ট্রানজিস্টর সক্রিয় অঞ্চলে থাকে এবং ইনপুট ও সংগ্রাহক-প্রবাহের সংকেত-উপাংশ অপরিবর্তিত থাকে ধরে আউটপুটের মান $|V_o|=I_CR_L$। প্রদত্ত মানকে সংকেতের মান ধরলে $|V_o|=(0.99\times10^{-3})(6800)=6.732\,\mathrm{V}$ এবং $|A_v|=6.732/0.1=67.32$।

$R_L$ অর্ধেক হলে একই শর্তে $|V_o^\prime|=3.366\,\mathrm{V}$ ও $|A_v^\prime|=33.66$; অর্থাৎ মান অর্ধেক। সাধারণ-এমিটার ক্ষুদ্র-সংকেত ভোল্টেজ গেইনের চিহ্ন ঋণাত্মক।

তবে চিত্রের প্রবাহগুলো কেবল স্থির বায়াস প্রবাহ হলে তা দিয়ে ক্ষুদ্র-সংকেত গেইন নির্ণয় করা যায় না। লোড বদলালে কার্যবিন্দু ও প্রবাহও বদলাতে পারে; তাই অর্ধেক হওয়ার সিদ্ধান্তটি উল্লিখিত আদর্শ শর্তসাপেক্ষ।