উদ্দীপক হতে,

ব্যাবহৃত আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য, $\lambda=5400 Å=5.4 \times 10^{-7} \mathrm{~m}$

চিরদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, $a=2.5 \mathrm{~mm}=2.5 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$

উজ্জ্বল ডোরার ক্রম, n = 12

আমরা জানি, উজ্জ্বল ডোরার জন্য,

$a \sin \theta=n \lambda$

বা, $\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{\mathrm{n} \lambda}{\{a\}}\right)=\sin ^{-1}\left(\frac{12 \times 5.4 \times 10^{-7}}{2.5 \times 10^{-3}}\right)=0.15^{\circ}$

অতএব, পর্দায় সৃষ্ট কেন্দ্রীয় উজ্জ্বল ডোরা থেকে 12তম উজ্জ্বল ডোরার কৌণিক সরণ $0.15^{\circ}$.

বায়ুতে ডোরা প্রস্থ

$\beta_a=\dfrac{D\lambda}{a} =\dfrac{2\times5.4\times10^{-7}}{2.5\times10^{-3}} =4.32\times10^{-4}~\mathrm m=0.432~\mathrm{mm}$।

সমগ্র পরীক্ষণ গ্লিসারিনে সম্পন্ন করলে কম্পাঙ্ক অপরিবর্তিত থাকে এবং তরঙ্গদৈর্ঘ্য $\lambda_g=\lambda/1.46$ হয়। তাই

$\beta_g=\dfrac{\beta_a}{1.46} =0.2959~\mathrm{mm}$।

অতএব ডোরা প্রস্থ কমবে; বায়ুর মানের প্রায় $0.685$ গুণ হবে।

একই মাধ্যমে বিচ্ছিন্ন পরিবাহী গোলকের জন্য $V=Q/(4\pi\epsilon r)$। তাই

$C=\dfrac QV=4\pi\epsilon r$।

অতএব অন্যান্য শর্ত অপরিবর্তিত থাকলে গোলকের ধারকত্ব ব্যাসার্ধের সমানুপাতিক।

প্রথমে আধান দুটি $A$ ও $B$-তে আছে—এই অবস্থায় $AC=BC=CD=0.20~\mathrm m$ এবং $AD=BD=0.20\sqrt2~\mathrm m$।

$E_A=\dfrac{kq_A}{AD^2}=1.125\times10^6~\mathrm{N\,C^{-1}}$,

$E_B=\dfrac{kq_B}{BD^2}=5.625\times10^5~\mathrm{N\,C^{-1}}$।

উভয় আধান ধনাত্মক; $D$-তে ক্ষেত্র দুটি যথাক্রমে $A$ থেকে দূরে ও $B$ থেকে দূরে, পরস্পর লম্ব। তাই

$E=\sqrt{E_A^2+E_B^2}=1.258\times10^6~\mathrm{N\,C^{-1}}$।

লব্ধি $E_A$ থেকে $E_B$-এর দিকে $\tan^{-1}(E_B/E_A)=26.565^\circ$ ঘোরে। অর্থাৎ $CD$-এর ঊর্ধ্বমুখী দিকের ডানদিকে $18.435^\circ$ কোণে।

যদি প্রশ্নটি $B$-এর আধানকে $C$-তে সরানোর পরের অবস্থা বোঝায়, তবে $C$-এর ক্ষেত্র সরাসরি ঊর্ধ্বমুখী হয়। সেক্ষেত্রে $E_x=7.955\times10^5$, $E_y=1.9205\times10^6~\mathrm{N\,C^{-1}}$ এবং $E\approx2.079\times10^6~\mathrm{N\,C^{-1}}$। কোন অবস্থার ক্ষেত্র চাওয়া হয়েছে তা স্পষ্ট করা প্রয়োজন।

এখানে, A বিন্দুর চার্জ, $\mathrm{q}_{\mathrm{A}}=10 \times 10^{-6} \mathrm{C}$
$B$ বিন্দুর চার্জ, $q_B=5 \times 10^{-6} \mathrm{C}$

$ \mathrm{AC}=\mathrm{CB}=20 \mathrm{~cm}=0.2 \mathrm{~m} $
$ \mathrm{AB}=40 \mathrm{~cm}=0.4 \mathrm{~m}$

A বিন্দুর আধানের জন্য C বিন্দুর বিভব,

$\begin{aligned} \mathrm{V}_{\mathrm{C}}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{\mathrm{q}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{AC}} & =9 \times 10^9 \times \frac{10 \times 10^{-6}}{0.2} \\ & =4.5 \times 10^5 \mathrm{~V}\end{aligned}$

আবার, A বিন্দুর আধানের জন্য B বিন্দুর বিভব,

$\begin{aligned} V_B=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_A}{A B} & =9 \times 10^9 \times \frac{10 \times 10^{-6}}{0.4} \\ & =2.25 \times 10^5 \mathrm{~V}\end{aligned}$

এখন, B বিন্দুর আধানকে C বিন্দুতে আনতে কৃতকাজ,

$\begin{aligned} W & =q_B\left(V_C-V_B\right) \\ & =5 \times 10^{-6} \times\left(4.5 \times 10^5-2.25 \times 10^5\right) \\ & =1.125 \mathrm{~J}\end{aligned}$

যেহেতু কাজের পরিমাণ ধনাত্মক সেহেতু বাহ্যিক বল দ্বারা কার্য সম্পাদন করতে হবে।

কোনো তলের মধ্য দিয়ে তড়িৎ ক্ষেত্রের লম্ব উপাংশের তল-সমাকলনকে তড়িৎ ফ্লাক্স বলে:

$\Phi_E=\displaystyle\int\vec E\cdot d\vec A$।

সুষম ক্ষেত্রে সমতল তলের জন্য $\Phi_E=EA\cos\theta$, যেখানে $\theta$ ক্ষেত্র ও তলের অভিলম্বের মধ্যবর্তী কোণ।

প্রত্যাবর্তী রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় আদর্শ গ্যাসের জন্য $PV^\gamma=$ ধ্রুবক। আদর্শ গ্যাস সমীকরণ ব্যবহার করলে

$TV^{\gamma-1}=\text{ধ্রুবক}$।

অতএব $T\propto V^{1-\gamma}$। $\gamma>1$ হওয়ায় প্রসারণে গ্যাস কাজ করে ও তাপমাত্রা কমে; সংকোচনে তাপমাত্রা বাড়ে। এই সমীকরণের শর্তগুলো ছাড়া যেকোনো রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় একই সম্পর্ক প্রয়োগ করা যায় না।

এখানে,

রোধ, R=200 $\Omega$
তড়িচ্চালক বল, V $=20 \mathrm{~V}$
সময়, $\mathrm{t}=20 \mathrm{~s}$
উৎপন্ন তাপ, H = ?

আমরা জানি,

$\begin{aligned} H & =\frac{V^2}{R} \times t \\ & =\frac{20^2}{200} \times 20 \\ & =40 \mathrm{~J}\end{aligned}$

অতএব, প্রথম ক্ষেত্রে চিত্র-১ এ উৎপন্ন তাপের পরিমাণ 40 J.

সময় $t$ একই রাখা হলে চিত্র-১-এ উৎসের বিভব পরিবর্তন করে প্রবাহ $I$ ধ্রুব রাখা হয়। তখন

$H=I^2Rt\quad\Rightarrow\quad H\propto R$।

তাই $H$ বনাম $R$ লেখচিত্র মূলবিন্দুগামী সরলরেখা:

চিত্র-২-এ আদর্শ উৎসের বিভব $V$ ধ্রুব রাখা হয়। তখন

$H=\dfrac{V^2t}{R}\quad\Rightarrow\quad H\propto\dfrac1R$।

তাই $H$ বনাম $R$ লেখচিত্র হ্রাসমান আয়তাকার অধিবৃত্ত:

অতএব দুটি লেখচিত্র একই ধরনের হবে না।

একই তড়িচ্চালক শক্তি $E$ ও একই অল্প অভ্যন্তরীণ রোধ $r$-বিশিষ্ট $n$টি কোষ একই অভিমুখে শ্রেণিতে যুক্ত করলে

$I=\dfrac{nE}{R+nr}$।

বাহ্যিক রোধ $R\gg nr$ হলে $I\approx nE/R$; তাই একটি কোষের তুলনায় প্রায় $n$ গুণ প্রবাহ পাওয়া যায়। এ শর্তে শ্রেণি সমবায় সুবিধাজনক। শুধু অভ্যন্তরীণ রোধ অল্প বলা থেকে সব বাহ্যিক রোধের জন্য একই সিদ্ধান্ত করা যায় না।

উদ্দীপক হতে,

তাপ উৎসের তাপমাত্রা, $\mathrm{T}_1=500^{\circ} \mathrm{C}=(273+500) \mathrm{K}=773 \mathrm{~K}$
তাপ গ্রাহকের তাপমাত্রা, $\mathrm{T}_2=27^{\circ} \mathrm{C}=(273+27) \mathrm{K}=300 \mathrm{~K}$
উৎস হতে গৃহীত তাপ, $Q_1=8.4 \times 10^4 \mathrm{~J}$

কার্নো চক্রের ক্ষেত্রে আমরা জানি,

$\frac{Q_1}{T_1}=\frac{Q_2}{T_2}$

বা, $Q_2=\frac{T_2}{T_1} \times Q_1=\frac{300}{773} \times 8.4 \times 10^4=32600.3 \mathrm{~J}$

অতএব, কার্নো ইঞ্জিনের সিলিন্ডারটি গ্রাহকে 32600.3 J তাপ বর্জন করবে।

প্রদত্ত $T_H=500^\circ\mathrm C\approx773~\mathrm K$ এবং $T_C=27^\circ\mathrm C\approx300~\mathrm K$।

প্রাথমিক দক্ষতা

$\eta=1-\dfrac{300}{773}=0.61190$।

শুধু গ্রাহকের তাপমাত্রা বদলে দক্ষতা দ্বিগুণ করতে চাইলে

$1-\dfrac{T_C'}{773}=2\left(1-\dfrac{300}{773}\right)$,

অর্থাৎ $T_C'=2(300)-773=-173~\mathrm K$ লাগবে।

সাধারণ তাপাধারের জন্য এমন ঋণাত্মক পরম তাপমাত্রা প্রযোজ্য নয়। চাওয়া দক্ষতা প্রায় $122.38\%$, যা এই ইঞ্জিনে সম্ভব নয়। অতএব রফিক শুধু গ্রাহকের তাপমাত্রা পরিবর্তন করে লক্ষ্য অর্জন করতে পারবে না।

ডায়োডে বিমুখ বিভব বাড়িয়ে ব্রেকডাউন বিভবে পৌঁছালে বিমুখ প্রবাহ দ্রুত বেড়ে যায়। এটি প্রবল ক্ষেত্রে জেনার টানেলিং অথবা বাহকের সংঘর্ষজনিত অ্যাভালাঞ্চ প্রক্রিয়ায় ঘটতে পারে; সব ব্রেকডাউনকে কেবল জেনার ক্রিয়া বলা যায় না।

প্রবাহ সীমিত না করলে অতিরিক্ত তাপে সাধারণ ডায়োড নষ্ট হতে পারে। উপযুক্ত জেনার ডায়োডে নিয়ন্ত্রিত প্রবাহে ব্রেকডাউন অঞ্চল ব্যবহার করা হয়।

চিত্র-১ হতে, A বিন্দুতে আয়তন, $\mathrm{V}_1=2 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^3$
$B$ বিন্দুতে আয়তন, $V_2=4 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^3$
মোল সংখ্যা, $\mathrm{n}=1$ mole
সার্বজনীন গ্যাস ধ্রুবক, $\mathrm{R}=8.314 \mathrm{~J} \mathrm{~mole}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}$

AB সমোষ্ণ প্রক্রিয়া:

∴ উৎস হতে গৃহীত তাপ, $\mathrm{Q}_1=\mathrm{W}_{\mathrm{AB}}=\mathrm{nRT}_1 \ln \left(\frac{\mathrm{~V}_2}{\mathrm{~V}_1}\right)$

∴ এন্ট্রপির পরিবর্তন,

$\begin{aligned} \Delta S_{A B} & =\frac{Q_1}{T_1}=n R \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right) \\ & =1 \times 8.314 \times \ln \left(\frac{4 \times 10^{-3}}{2 \times 10^{-3}}\right) \\ & =5.763 \mathrm{JK}^{-1}\end{aligned}$

অতএব, উদ্দীপকের চিত্র-১ অনুসারে গ্যাসকে A থেকে B অবস্থানে নিলে এন্ট্রপির পরিবর্তন $5.763 \mathrm{JK}^{-1}$

দুটি চক্রকেই আদর্শ প্রত্যাবর্তী কার্নো চক্র এবং হাইড্রোজেনের $\gamma=1.4$ ধরে তুলনা করা যাক। প্রথম চক্রে $BC$ রুদ্ধতাপীয় হলে

$T_{C1}=T_{H1}\left(\dfrac{V_B}{V_C}\right)^{\gamma-1} =323\left(\dfrac4\{13.258\}\right)^{0.4}\approx200~\mathrm K$।

তাই কার্নো দক্ষতা

$\eta_1=1-\dfrac{200}{323}\approx38.08\%$।

দ্বিতীয় চক্রে $T_{H2}=353~\mathrm K$ ও $T_{C2}=200~\mathrm K$ হলে

$\eta_2=1-\dfrac{200}{353}\approx43.34\%$।

অতএব আদর্শ কার্নো-ইঞ্জিনের শর্তে দ্বিতীয়টি বেশি দক্ষ। কিন্তু শুধু দুই চক্রের সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন তাপমাত্রা থেকে সাধারণ বাস্তব ইঞ্জিনের প্রকৃত দক্ষতা এই সূত্রে নির্ণয় করা যায় না; চক্রগুলো প্রত্যাবর্তী কার্নো চক্র না হলে প্রকৃত গৃহীত তাপ ও নিট কাজের তথ্য দরকার।

নিশ্চল দৈর্ঘ্য $L_0>0$-বিশিষ্ট ভরযুক্ত বস্তুর গতি-সমান্তরাল দৈর্ঘ্য

$L=L_0\sqrt{1-v^2/c^2}$।

ভরযুক্ত বস্তুর জন্য $v

এখানে, হাইড্রোজেনের প্রোটন সংখ্যা, $\mathrm{z}=1$

ইলেকট্রনের চার্জ, $\mathrm{e}=-1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$

প্লাঙ্কের ধ্রুবক, $\mathrm{h}=6.63 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

$ \epsilon_0=8.854 \times 10^{-12} \mathrm{C}^2 \mathrm{~N}^{-1} \mathrm{~m}^{-2} $
$ \mathrm{n}=3$

তৃতীয় শক্তিস্তরের ইলেকট্রনের বেগ, v = ?

আমরা জানি,

$\begin{aligned} v & =\frac{\mathrm{ze}^2}{2 \epsilon_0 \mathrm{nh}} \\ & =\frac{1 \times\left(-1.6 \times 10^{-19}\right)^2}{2 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 3 \times 6.63 \times 10^{-34}} \\ & =7.27 \times 10^5 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\end{aligned}$

অতএব, তৃতীয় শক্তিস্তরের ইলেকট্রনের বেগ $7.27 \times 10^5 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$

সারণির শক্তি ব্যবহার করলে $E_5=-0.54~\mathrm{eV}$ এবং $E_3=-1.51~\mathrm{eV}$।

নিঃসৃত ফোটনের শক্তি

$E_\gamma=E_5-E_3=0.97~\mathrm{eV}=1.552\times10^{-19}~\mathrm J$।

তাই

$\lambda=\dfrac{hc}{E_\gamma} =\dfrac{6.63\times10^{-34}\times3\times10^8}{1.552\times10^{-19}} =1.282\times10^{-6}~\mathrm m$।

এটি প্রায় $1282~\mathrm{nm}$, প্রদত্ত দৃশ্যমান সীমার দীর্ঘতর দিকে। তাই বিকিরণটি দৃশ্যমান নয়; অবলোহিত অঞ্চলের।

একই একবর্ণ উৎসের তরঙ্গমুখ বা বিস্তারকে দুই অংশে ভাগ করে দুটি গৌণ উৎস তৈরি করা যায়। একই মূল উৎস থেকে উৎপন্ন হওয়ায় উপযুক্ত স্থির আলোকপথে তাদের কম্পাঙ্ক সমান ও পারস্পরিক দশা পার্থক্য ধ্রুব থাকে।

যেমন ইয়ং-এর পরীক্ষায় একটি উৎস দিয়ে দুটি সরু চির আলোকিত করলে চিরদ্বয় সুসংগত গৌণ উৎস হিসেবে কাজ করে। সুসংগতির মূল শর্ত ধ্রুব দশা পার্থক্য; কেবল রশ্মি পরে একত্র করলেই স্বাধীন উৎস সুসংগত হয়ে যায় না।

সর্বোচ্চ গতিশক্তি

$K_{\max}=\dfrac{hc}{\lambda_1}-W_0 =\dfrac{6.63\times10^{-34}\times3\times10^8}{3200\times10^{-10}} -2.87(1.6\times10^{-19})$।

অতএব $K_{\max}=1.623625\times10^{-19}~\mathrm J=1.0148~\mathrm{eV}$।

প্রথম ক্ষেত্রে নিবৃত্তি বিভবের মান

$V_{s1}=\dfrac{K_{\max}}e=1.0148~\mathrm V$।

সূচন তরঙ্গদৈর্ঘ্য

$\lambda_0=\dfrac{hc}{W_0} =4.3314\times10^{-7}~\mathrm m\approx4331~\mathrm{\mathring A}$।

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে $\lambda_2=4600~\mathrm{\mathring A}>\lambda_0$ এবং

$E_2=\dfrac{hc}{\lambda_2}=4.324\times10^{-19}~\mathrm J

তাই দ্বিতীয় ক্ষেত্রে এক-ফোটন আলোকতড়িৎ নির্গমন হবে না; কোনো নির্গত প্রবাহ নিবৃত্ত করার বিভব নির্ধারণের প্রশ্নও ওঠে না। সূচন মান পর্যন্ত তরঙ্গদৈর্ঘ্য বাড়ালে নিবৃত্তি বিভব কমে; তার পরে নির্গমন বন্ধ হয়।

কোষের তড়িচ্চালক শক্তি $\mathcal E$, অভ্যন্তরীণ রোধ $r$ ও বাহ্যিক রোধ $R$ হলে $I=\mathcal E/(r+R)$।

যদি বাহ্যিক রোধের পরিবর্তন অভ্যন্তরীণ রোধের তুলনায় খুব ছোট হয় এবং $r\gg R$ হয়, তবে $I\approx\mathcal E/r$; বাহ্যিক রোধ বদলালেও প্রবাহ খুব অল্প বদলায়। এ সীমায় কোষ ধ্রুব প্রবাহ উৎসের আনুমানিক আচরণ করে।

অল্প অভ্যন্তরীণ রোধের কোষ বরং ধ্রুব বিভব উৎসের কাছাকাছি; বড় বাহ্যিক রোধ একাই ধ্রুব প্রবাহ উৎস বানায় না।

চিত্র-১-এর ওপরের গেট XOR; তার আউটপুটে ইনভার্সন বুদবুদ নেই। তাই $X=A\oplus B=\overline A B+A\overline B$। নিচের গেট AND, তাই $Y=AB$।

চিত্র-২-এর সারণিতে কেবল $P=Q=1$ হলে $Z=0$; এটি NAND গেট। NAND সর্বজনীন, তাই চিত্র-১-এর XOR ও AND উভয়ই এর দ্বারা বাস্তবায়ন করা যায়।

নিচের সংযোগতালিকায় প্রত্যেকটি ধাপ একটি NAND গেট নির্দেশ করে:

অতএব এই পাঁচটি NAND সংযোগে মূল চিত্রের দুটি আউটপুটই পাওয়া যায়।