ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৫
বহুনির্বাচনি লিখিত

১. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

একটি কার্নো ইঞ্জিনের কর্মদক্ষতা $40\%$ এবং তাপগ্রাহকের তাপমাত্রা $7° C$। কবির ইঞ্জিনটির দক্ষতা 100% করার জন্য সিঙ্কের তাপমাত্রা
$0K$ রেখে পরীক্ষা চালালো।
উত্তর ভিন্ন তাপমাত্রার দুটি বস্তু পরস্পর তাপীয় সংস্পর্শে আসার পর যখন সমতাপমাত্রায় উপনীত হয় তখন ঐ অবস্থাই হলো তাপীয় সমতা।
উত্তর শুধু প্রসারণ-সংকোচনজনিত কাজের জন্য $W=\int P\,dV$। সমআয়তন প্রক্রিয়ায় $dV=0$, তাই এই কাজ শূন্য। তবে বৈদ্যুতিক বা অন্য ধরনের কাজ থাকলে মোট কাজও শূন্য হবে—এ কথা সাধারণভাবে বলা যায় না।
উত্তর কার্নো ইঞ্জিনে $\eta=1-T_c/T_h$। পাঠ্যবইয়ের $273$ যোগের রীতি অনুযায়ী $T_c=280\,\mathrm{K}$, তাই $T_h=280/(1-0.40)=466.67\,\mathrm{K}=193.67^\circ\mathrm{C}$। $273.15$ ব্যবহার করলে যথাক্রমে $466.92\,\mathrm{K}$ ও $193.77^\circ\mathrm{C}$ পাওয়া যায়।
উত্তর আনুষ্ঠানিকভাবে $\eta=1-0/T_h=1$ বসালে $100\%$ পাওয়া যায়। কিন্তু বাস্তবে সসীম প্রক্রিয়ায় সিঙ্ককে পরমশূন্য $0\,\mathrm{K}$-এ নেওয়া যায় না। কার্নো চক্র চালানোর জন্যও উভয় তাপাধারের উপযুক্ত ভৌত অবস্থা প্রয়োজন। তাই এটি কেবল সমীকরণের সীমামান; কবির বাস্তব পরীক্ষায় $100\%$ দক্ষতা অর্জন করতে পারেনি।

২. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

বাম থেকে ডানে একই সরলরেখায় বিন্দুগুলোর ক্রম: A — P — B। P থেকে A-এর দিকে একটি তীর বামমুখী এবং P থেকে B-এর দিকে অন্য তীর ডানমুখী।

চিত্রে $A$ বিন্দুতে $1.5 \times 10^{-6} \mathrm{C}$ এবং $B$ বিন্দুতে $2.5 \times 10^{-6} \mathrm{C}$ চার্জ স্থাপন করা আছে। $A$ ও $B$ বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব $10 cm .$ মালেক $A$ বিন্দু থেকে $4.37 cm$ দূরে $P$ বিন্দুতে একক ধনাত্মক আধান স্থাপন করে কোনো সাড়া পায় না।
উত্তর আধান পদার্থের একটি মৌলিক ধর্ম, যার কারণে তড়িৎ-চৌম্বকীয় পারস্পরিক ক্রিয়া ঘটে। আধান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে; এর SI একক কুলম্ব।
উত্তর তড়িৎক্ষেত্রের দিক সংজ্ঞায়িত হয় অতি ক্ষুদ্র ধনাত্মক পরখ আধানের ওপর বলের দিক দিয়ে: $\vec E=\vec F/q$। তাই ধনাত্মক পরখ আধান নেওয়া সুবিধাজনক রীতি। ঋণাত্মক আধান দিয়েও ক্ষেত্র মাপা যায়, তবে বলের বিপরীত দিক হবে ক্ষেত্রের দিক। পরখ আধান এত ছোট হতে হবে যেন মূল আধানবিন্যাস উল্লেখযোগ্যভাবে বদলে না যায়।
উত্তর

এখানে, $A$ বিন্দুতে চার্জ, $\mathrm{q}_{\mathrm{A}}=1.5 \times 10^{-6} \mathrm{C}$

$B$ বিন্দুতে চার্জ, $q_B=2.5 \times 10^{-6} \mathrm{C}$

$\mathrm{AB}=10 \mathrm{~cm}=0.1 \mathrm{~m}$

আমরা জানি, চার্জদ্বয়ের মধ্যে ক্রিয়াশীল বল,

$\begin{aligned} F_{A B} & =\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_A q_B}{A B^2} \\ & =9 \times 10^9 \times \frac{1.5 \times 10^{-6} \times 2.5 \times 10^{-6}}{(0.1)^2} \\ & =3.375 \mathrm{~N}\end{aligned}$

অতএব, চার্জদ্বয়ের মধ্যে ক্রিয়াশীল বল $3.375 N.$

উত্তর

দুটি আধানই ধনাত্মক, তাই তাদের মাঝখানে ক্ষেত্রদ্বয় বিপরীতমুখী। $AP=x$ হলে শূন্য ক্ষেত্রের শর্ত $q_A/x^2=q_B/(0.10-x)^2$।

ফলে $x=0.10/[1+\sqrt{2.5/1.5}]=0.0436492\,\mathrm{m}=4.36492\,\mathrm{cm}$। এই অবস্থানে আদর্শ ক্ষুদ্র পরখ আধানের ওপর নিট তড়িৎবল শূন্য।

প্রদত্ত $4.37\,\mathrm{cm}$ কাছাকাছি আনুমানিক অবস্থান, হুবহু শূন্য ক্ষেত্র নয়। এ মান সরাসরি বসালে $E_A\approx7.069\times10^6$ ও $E_B\approx7.098\times10^6\,\mathrm{N\,C^{-1}}$; তাই অল্প লব্ধি থাকে। একই দশমিক মানে দুটি ক্ষেত্র গোল করে সমান বলা সঠিক নয়।

৩. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

10 V উৎসের ধনাত্মক প্রান্ত বামের নোড এবং ঋণাত্মক প্রান্ত ডানের নোডে যুক্ত। বামের নোড থেকে মধ্যবর্তী নোড পর্যন্ত $C_1=3\,\mu\mathrm F$ (ওপরের শাখা) এবং $C_3=2\,\mu\mathrm F$ (নিচের শাখা) পরস্পর সমান্তরাল। মধ্যবর্তী নোড থেকে ডানের নোডে $C_2=1\,\mu\mathrm F$ যুক্ত; অর্থাৎ ওই সমান্তরাল অংশের সঙ্গে $C_2$ শ্রেণিতে রয়েছে।
উত্তর অসীম দূর থেকে একক ধনাত্মক আধানকে তড়িৎ ক্ষেত্রের কোনো বিন্দুতে আনতে কৃতকাজের পরিমাণই হলো তড়িৎ বিভব।
উত্তর বিন্দু আধানের ক্ষেত্র $E=k|q|/r^2$ এবং দিক আধানের কেন্দ্র থেকে ব্যাসার্ধ বরাবর। দূরত্ব বদলালে মান এবং অবস্থান বদলালে সাধারণত দিকও বদলায়। তাই এটি সুষম ক্ষেত্র নয়।
উত্তর চিত্রে $C_1=3\,\mu\mathrm{F}$ ও $C_3=2\,\mu\mathrm{F}$ সমান্তরাল, তাই $C_p=5\,\mu\mathrm{F}$। এই সমবায়টি $C_2=1\,\mu\mathrm{F}$-এর সঙ্গে শ্রেণিতে। সুতরাং $C_{\mathrm{eq}}=C_pC_2/(C_p+C_2)=5/6=0.8333\,\mu\mathrm{F}$।
উত্তর

একই $10\,\mathrm{V}$ আদর্শ উৎসের সঙ্গে সংযুক্ত রাখলে $U=\tfrac12 C_{\mathrm{eq}}V^2$। সব ধারক সমান্তরালে দিলে $C_{\mathrm{eq}}=3+1+2=6\,\mu\mathrm{F}$ সর্বোচ্চ হয়। তাই $U_{\max}=\tfrac12(6\times10^{-6})(10)^2=3.00\times10^{-4}\,\mathrm{J}$।

মূল সংযোগে $U=\tfrac12(5/6\times10^{-6})(10)^2=4.167\times10^{-5}\,\mathrm{J}$; ফলে বৃদ্ধি $7.2$ গুণ। এটি একই স্থির বিভবে উৎস সংযুক্ত রেখে তুলনা; বিচ্ছিন্ন স্থির আধানের ক্ষেত্রে সিদ্ধান্তের শর্ত ভিন্ন।

৪. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

10 V উৎসের ধনাত্মক প্রান্ত বামের নোড L এবং ঋণাত্মক প্রান্ত ডানের নোড R-এ। মূল ওপরের রেখায় L থেকে $R_1=3\,\Omega$, তারপর $R_2=6\,\Omega$, তারপর $R_3=12\,\Omega$ হয়ে R। অতিরিক্ত একটি আদর্শ তার L-কে $R_2$ ও $R_3$-এর সংযোগে এবং আরেকটি তার $R_1$ ও $R_2$-এর সংযোগকে R-এ যুক্ত করেছে। বাম বাহ্যিক শাখায় তীর ওপরমুখী। L ও R নাম দুটি শুধু সংযোগ ব্যাখ্যার জন্য।
উত্তর কোনো ধারকের দুই পাতের বিভব পার্থক্য একক পরিমাণ বাড়াতে যে পরিমাণ চার্জের প্রয়োজন হয় তাকে ঐ ধারকের ধারকত্ব বলে।
উত্তর পৃথিবীর বিভবকে সুবিধামতো শূন্য রেফারেন্স ধরা হয়; এটি কোনো অপরিবর্তনীয় পরম শূন্য বিভব নয়। পৃথিবী বড় পরিবাহক ও বড় ধারকত্বের আধার হওয়ায় সাধারণ পরীক্ষাগারের অল্প আধান গ্রহণ বা ত্যাগে এর বিভব পরিবর্তন খুব কম হয়। তাই ভূ-সংযুক্ত পরিবাহীর বিভবকে প্রায় এই রেফারেন্সের সমান ধরা যায়।
উত্তর সংযোগের তার অনুসরণ করলে তিনটি রোধের প্রতিটির দুই প্রান্ত একই দুটি নোডে যুক্ত; তাই $3\,\Omega$, $6\,\Omega$ ও $12\,\Omega$ সমান্তরাল। $R_{\mathrm{eq}}=(1/3+1/6+1/12)^{-1}=12/7=1.71429\,\Omega$।
উত্তর

একই আদর্শ $10\,\mathrm{V}$ উৎস ও একই সময় $t$-এর জন্য $H=V^2t/R_{\mathrm{eq}}$। সমান্তরালে তুল্যরোধ সর্বনিম্ন, তাই বিদ্যমান সমান্তরাল সংযোগেই সর্বাধিক তাপ পাওয়া যায়।

$H_{\max}=100t/(12/7)=(175/3)t=58.3333t\,\mathrm{J}$, যেখানে $t$ সেকেন্ডে। সব শ্রেণিতে হলে $R=21\,\Omega$ ও $H=100t/21=4.7619t\,\mathrm{J}$। বাস্তব উৎসের অভ্যন্তরীণ রোধ ও ক্ষমতার সীমা থাকলে তা আলাদাভাবে বিবেচ্য।

৫. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

নিচের চিত্রে ইয়ং-এর দ্বি-চির পরীক্ষার একটি ব্যবস্থা দেখানো হয়েছে। এখানে, $\mathrm{S}_1$ ও $\mathrm{S}_2$ দুটি সুসংগত আলোক উৎস এবং ব্যবহৃত আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য $3800Å$ $\mathrm{S}_1 \mathrm{~S}_2=0.5 \mathrm{~mm}$.

বাম থেকে ডানে প্রথমে আলোক উৎস S ও একক চির, এরপর ওপরের $S_1$ ও নিচের $S_2$-যুক্ত দ্বি-চির এবং সবশেষে পর্দা। $S_1S_2=0.5\,\mathrm{mm}$; দ্বি-চির থেকে পর্দার দূরত্ব 1 m। পর্দায় P, O-এর ওপরে এবং $PO=6.46\times10^{-3}\,\mathrm m$।
উত্তর দুটি বা ততোধিক সুসংগত তরঙ্গের উপরিপাতনে কোনো অঞ্চলে তীব্রতা বাড়া ও অন্য অঞ্চলে তীব্রতা কমার ঘটনাকে ব্যতিচার বলে। সমান বিস্তার প্রয়োজনীয় নয়; সমান বিস্তার হলে আদর্শ ধ্বংসাত্মক ব্যতিচারে তীব্রতা শূন্য হতে পারে।
উত্তর দুটি স্বাধীন সাধারণ আলোক উৎসের পরমাণু স্বতন্ত্রভাবে অনিয়মিত দশায় বিকিরণ করে, ফলে তাদের আপেক্ষিক দশা সাধারণত স্থির থাকে না। তাই স্থায়ী ব্যতিচার ডোরা পেতে একটি উৎসকে বিভক্ত করে দুটি সুসংগত উৎস তৈরি করা হয়। তবে কোনো প্রাকৃতিক উৎসেরই সুসংগতি নেই—এটি অতিব্যাপক দাবি; সুসংগতি নির্দিষ্ট সময় ও দূরত্বের পরিসরে আলোচ্য।
উত্তর

উদ্দীপক হতে,

ব্যবহৃত আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য, $\lambda=3800 \AA=3.8 \times 10^{-7} \mathrm{~m}$

চিরদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, $\mathrm{a}=0.5 \mathrm{~mm}=5 \times 10^{-4} \mathrm{~m}$

চির হতে পর্দার দূরত্ব, $D=1 m$

অন্ধকার ডোরার ক্রম, $n = 3$

আমরা জানি, $\mathrm{x}_{\mathrm{n}}=(2 \mathrm{n}-1) \frac{\mathrm{D} \lambda}{2 \mathrm{a}}$

বা, $\quad \mathrm{x}_3=(2 \times 3-1) \times \frac{1 \times 3.8 \times 10^{-7}}{2 \times 5 \times 10^{-4}}$

বা, $\mathrm{x}_3=1.9 \times 10^{-3} \mathrm{~m}=1.9 \mathrm{~mm}$

অতএব, কেন্দ্রীয় উজ্জ্বল ডোরা হতে তৃতীয় অন্ধকার ডোরার দূরত্ব $1.9 mm .$

উত্তর

চিত্রে $D=1\,\mathrm{m}$, $a=0.5\,\mathrm{mm}$ এবং $OP=6.46\,\mathrm{mm}$। ক্ষুদ্র-কোণ সন্নিকর্ষে ডোরা-প্রস্থ $\beta=D\lambda/a=0.76\,\mathrm{mm}$। তাই $OP/\beta=6.46/0.76=8.5$।

পূর্ণসংখ্যার পরিবর্তে অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা হওয়ায় এখানে ধ্বংসাত্মক ব্যতিচার, অর্থাৎ এক পাশের নবম অন্ধকার ডোরা। সুতরাং গঠনমূলক ব্যতিচারের মন্তব্যটি যথার্থ নয়।

৬. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

একজন মহাশূন্যচারী $40$ বছর বয়সে $1.8 \times 10^8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ বেগে ধাবমান মহাকাশযানে চড়ে ছায়াপথ অনুসন্ধানে গেলেন এবং $50$ তম জন্মদিন শালনের উদ্দেশ্যে $10$ বছর পর পৃথিবীতে ফিরে আসলেন।
উত্তর কোনো বস্তু থেকে আলো বা শক্তির নিঃসরণ নিরবচ্ছিন্নভাবে হয় না। শক্তি বা বিকিরণ ছিন্নায়িত অর্থাৎ গুচ্ছগুচ্ছ আকারে প্যাকেট বা কোয়ান্টাম হিসেবে নিঃসৃত হয়। আলো তথা যেকোনো বিকিরণ সংখ্য কোয়ান্টাম সমষ্টি। আলোর এই কণা বা প্যাকেটই হলো ফোটন।
উত্তর ঘূর্ণনশীল কাঠামোর প্রতিটি বিন্দুর বেগের দিক পরিবর্তিত হয়; সমান কৌণিক বেগেও কেন্দ্রাভিমুখী ত্বরণ থাকে। এই কাঠামো থেকে বলমুক্ত বস্তুর গতি বর্ণনায় কেন্দ্রাতিগ ও করিওলিসের মতো জড়তাজনিত ছদ্মবল যোগ করতে হয়। তাই এটি জড় প্রসঙ্গ কাঠামো নয়।
উত্তর $10$ বছরকে পৃথিবীর ঘড়িতে অতিবাহিত সময় ধরে এবং যাত্রার বাঁক নেওয়ার স্বল্প সময় উপেক্ষা করে $\Delta\tau=10\sqrt{1-(0.6)^2}=8$ বছর। তাই ফিরে আসার সময় তাঁর জৈবিক বয়স $40+8=48$ বছর।
উত্তর

ফিরে এসে পৃথিবীতে অবস্থান করলে তাঁর বয়স $48$ থেকে $50$ হতে আরও $2$ বছর লাগবে। যাত্রা শুরুর পর পৃথিবীর হিসাবে মোট সময় হবে $10+2=12$ বছর।

$12.5$ বছর পাওয়া যায় যদি তিনি পৃথিবীতে না ফিরে একই বেগে চলতে চলতে নিজের ঘড়িতে পুরো $10$ বছর অতিক্রম করেন: $10/\sqrt{1-0.6^2}=12.5$। সেটি ফিরে এসে অপেক্ষা করার পরিস্থিতি নয়।

৭. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

Mও N দুটি তেজস্ক্রিয় মৌল। এদের অর্ধায়ু যথাক্রমে 12 দিন এবং 18 দিন।
উত্তর কোনো নিউক্লিয়াসের পৃথক মুক্ত প্রোটন ও নিউট্রনগুলোর ভরের সমষ্টি থেকে নিউক্লিয়াসের প্রকৃত ভর বাদ দিলে যে ধনাত্মক পার্থক্য পাওয়া যায়, তা ভরত্রুটি। $\Delta m=Zm_p+(A-Z)m_n-M_{\mathrm{nucleus}}$ এবং বন্ধনশক্তি $B=\Delta mc^2$।
উত্তর ক্ষয়ের ধারাবাহিক গড় মডেলে $N(t)=N_0e^{-\lambda t}$ সসীম $t$-তে ধনাত্মক থাকে এবং $t\to\infty$ হলে শূন্যের দিকে যায়। এই অর্থে মডেলের নিঃশেষকাল অসীম বলা হয়। বাস্তবে সসীমসংখ্যক নিউক্লিয়াসের ক্ষয় দৈব ঘটনা; শেষ নিউক্লিয়াস কখন ক্ষয় করবে তা নিশ্চিতভাবে বলা যায় না। গড় সূত্র থেকে শেষ পরমাণু অবশ্যই চিরকাল অক্ষত থাকবে—এ সিদ্ধান্ত আসে না।
উত্তর

এখানে, $N$ মৌলের অর্ধায়ু, $\mathrm{T}_{\frac{1}{2}}=18$ day

$N$ মৌলের গড় আয়ু, $\tau=$ ?

আমরা জানি, $\tau=\frac{\mathrm{T}_{\frac{1}{2}}}{\ln (2)}=\frac{18}{\ln (2)}=25.97$ day

অতএব, $N$ মৌলের গড় আয়ু $25.97$ দিন ।

উত্তর

$70\%$ ক্ষয়ে অবশিষ্ট ভগ্নাংশ $0.30$। তাই $t=T_{1/2}\ln(1/0.30)/\ln2$।

$M$-এর জন্য $t_M=12\ln(1/0.30)/\ln2=20.84$ দিন এবং $N$-এর জন্য $t_N=18\ln(1/0.30)/\ln2=31.27$ দিন। ফলে $t_M/t_N=2/3$; $M$-এর কম সময় লাগে। উক্তিটি সঠিক নয়।

৮. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

চিত্রটি লক্ষ করো।
উদ্দীপকের ছবি
উত্তর বিশুদ্ধ অর্ধপরিবাহীর সাথে খুব সামান্য পরিমাণে ত্রি বা পঞ্চযোজী মৌলের মিশ্রণের কৌশলকে ডোপিং বলে।
উত্তর সাধারণ তাপমাত্রার পরিসরে অন্তর্জাত অর্ধপরিবাহীতে তাপমাত্রা বাড়লে ইলেকট্রন-হোল জোড়ের সংখ্যা দ্রুত বাড়ে; চলনক্ষমতা কিছু কমলেও বাহকের সংখ্যা বৃদ্ধির প্রভাব বেশি হওয়ায় রোধ সাধারণত কমে। ধাতুতে বাহকের সংখ্যা প্রায় অপরিবর্তিত থাকে, কিন্তু জালের কম্পন ও ইলেকট্রনের বিক্ষেপণ বাড়ায় রোধ সাধারণত বাড়ে। সব পদার্থ ও সব তাপমাত্রায় এই প্রবণতা একরকম নয়।
উত্তর

উপরের শাখায় $\overline A$, নিচের শাখায় AND-এর পরে NOT থাকায় $\overline{AB}$। শেষ গেইট NOR, তাই $Y=\overline{\overline A+\overline{AB}}$। ডি মরগ্যানের সূত্রে $Y=A\cdot AB=AB$।

সরলীকৃত বর্তনী: A ও B-কে একটি দুই-ইনপুট AND গেইটের ইনপুটে দাও; তার আউটপুটই Y।

উত্তর না। কেবল AND গেইট দিয়ে ইনপুটের পরিপূরক তৈরি করা যায় না: সব ইনপুট 0 হলে AND-সমন্বিত যেকোনো বর্তনীর আউটপুট 0, অথচ NOT(0)=1। তাই AND একা সার্বজনীন নয় এবং সব মৌলিক গেইট বাস্তবায়ন করতে পারে না। NAND বা NOR সার্বজনীন গেইট।