স্থির আয়তনে গ্যাস কাজ করে না; দেওয়া তাপ অভ্যন্তরীণ শক্তি বাড়ায়। স্থির চাপে একই তাপমাত্রা বৃদ্ধিতে গ্যাসের প্রসারণজনিত কাজও করতে হয়, তাই বেশি তাপ লাগে।

এক মোল আদর্শ গ্যাসের জন্য $C_P-C_V=R>0$। অতএব $C_P>C_V$।

উদ্দীপক হতে,

তাপ উৎসের তাপমাত্রা, $\mathrm{T}_1=1200 \mathrm{~K}$
তাপ গ্রাহকের তাপমাত্রা, $\mathrm{T}_2=650 \mathrm{~K}$

∴ ইঞ্জিনের দক্ষতা,

$\begin{aligned} \eta & =\left(1-\frac{T_2}{T_1}\right) \times 100 \% \\ & =\left(1-\frac{650}{1200}\right) \times 100 \%=45.83 \%\end{aligned}$

অতএব, উদ্দীপকে উল্লিখিত দক্ষতা 45.83%.

উদ্দীপক হতে,

তাপ উৎসের তাপমাত্রা, $\mathrm{T}_1=1200 \mathrm{~K}$
তাপ গ্রাহকের তাপমাত্রা, $\mathrm{T}_2=650 \mathrm{~K}$
তাপ উৎস হতে গৃহীত তাপ, $\mathrm{Q}_1=500 \mathrm{~J}$

আমরা জানি, কার্নো চক্রের জন্য,

$\frac{Q_1}{T_1}=\frac{Q_2}{T_2}$

বা, $\mathrm{Q}_2=\frac{\mathrm{T}_2}{\mathrm{~T}_1} \times \mathrm{Q}_1=\frac{650}{1200} \times 500=270.83 \mathrm{~J}$

BC ও DA রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়া, তাই এই পথে এন্ট্রপির পরিবর্তন শূন্য

অর্থাৎ, $\Delta \mathrm{S}_{\mathrm{BC}}=\Delta \mathrm{S}_{\mathrm{DA}}=0$

AB পথে এন্ট্রপির পরিবর্তন,

$\Delta \mathrm{S}_{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{Q}_1}{\mathrm{~T}_1}=\frac{500}{1200}=0.417 \mathrm{JK}^{-1}$

CD পথে এন্ট্রপির পরিবর্তন,

$\Delta \mathrm{S}_{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{Q}_2}{\mathrm{~T}_2}=\frac{-270.83}{650}=-0.417 \mathrm{JK}^{-1}$

[CD পথে তাপের বর্জন হয়, তাই Q₂ ঋণাত্মক]

অতএব, উদ্দীপকের কার্নো চক্রটির BC ও DA ধাপে এন্ট্রপির পরিবর্তন শূন্য এবং AB ও CD ধাপে এন্ট্রপির পরিবর্তন সমান কিন্তু বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট। ফলে সমগ্র চক্রের এন্ট্রপির পরিবর্তন শূন্য।

অসীম থেকে বিভব শূন্য ধরা একটি বিচ্ছিন্ন ব্যাসার্ধ $r$-এর পরিবাহী গোলকে $Q$ আধান থাকলে তার পৃষ্ঠের বিভব $V=Q/(4\pi\epsilon r)$।

তাই ধারকত্ব $C=Q/V=4\pi\epsilon r$। একই মাধ্যমে ও একই বিচ্ছিন্ন গোলাকার বিন্যাসে $C\propto r$; ব্যাসার্ধ বাড়লে ধারকত্ব বাড়ে।

উদ্দীপক হতে পাই, A, B ও C বিন্দুতে চার্জের পরিমাণ যথাক্রমে,

$q_1=2 C, q_2=-2 C$ এবং $q_3=2 C$

$\begin{aligned} & A B=B C=C D=A D=1 m \\ \therefore \quad & B D=\sqrt{A B^2+A D^2}=\sqrt{(1)^2+(1)^2}=\sqrt{2} m\end{aligned}$

এখন, D বিন্দুতে বিভব V হলে,

$\begin{aligned} V & =\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_1}{A D}+\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_2}{B D}+\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_3}{C D} \\ & =\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\left(\frac{q_1}{A D}+\frac{q_2}{B D}+\frac{q_3}{C D}\right) \\ & =9 \times 10^9 \times\left(\frac{2}{1}+\frac{-2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{1}\right)=2.33 \times 10^{10} V\end{aligned}$

অতএব, D বিন্দুর বিভব $2.33 \times 10^{10} \mathrm{~V}$.

বর্গের $D$-তে $A$-এর ধনাত্মক আধানের ক্ষেত্র $\vec{AD}$ বরাবর ঊর্ধ্বে এবং $C$-এর ধনাত্মক আধানের ক্ষেত্র $\vec{CD}$ বরাবর বাঁয়ে। প্রতিটির মান

$E_A=E_C=\dfrac{k(2)}{1^2}=1.8\times10^{10}~\mathrm{N\,C^{-1}}$।

এদের লব্ধি কর্ণ $BD$-এর সম্প্রসারণ বরাবর $B$ থেকে দূরে:

$E_{AC}=\sqrt2(1.8\times10^{10})=2.5456\times10^{10}~\mathrm{N\,C^{-1}}$।

$B$-এর ঋণাত্মক আধানের ক্ষেত্র $D$ থেকে $B$-এর দিকে। $BD=\sqrt2~\mathrm m$, তাই

$E_B=\dfrac{k|q_B|}{BD^2}=\dfrac{9\times10^9\times2}{2}=9\times10^9~\mathrm{N\,C^{-1}}$।

ক্ষেত্র দুটি বিপরীতমুখী। ফলে

$E=E_{AC}-E_B=1.6456\times10^{10}~\mathrm{N\,C^{-1}}$,

দিক $\vec{BD}$ বরাবর, অর্থাৎ $B$ থেকে $D$-এর দিকে এবং $D$ পেরিয়ে বাইরের দিকে।

কোষের তড়িচ্চালক শক্তি $\mathcal E$ হলো কোষের অ-তড়িৎস্থির প্রক্রিয়া দ্বারা প্রতি একক আধানকে দেওয়া শক্তি। আর দুই প্রান্তের বিভব পার্থক্য $V$ হলো প্রতি একক আধানের তড়িৎ বিভব শক্তির পার্থক্য।

কোষ $I$ প্রবাহ সরবরাহ করলে অভ্যন্তরীণ রোধ $r$-এ বিভব পতন হয়, তাই $V=\mathcal E-Ir$। সুতরাং প্রবাহ চলাকালে সাধারণত প্রান্তীয় বিভব পার্থক্য তড়িচ্চালক শক্তির কম; খোলা বর্তনীতে আদর্শভাবে $V=\mathcal E$ হতে পারে।

এখানে, বর্তনীর রোধ, $\mathrm{R}_1=6 \Omega, \mathrm{R}_2=15 \Omega, \mathrm{R}_3=5 \Omega$

তড়িচ্চালক বল, E = 10V

অভ্যন্তরীণ রোধ, $\mathrm{r}=0.25 \Omega$

বর্তনীর $R_2$ ও $R_3$ সমান্তরালে সংযুক্ত। এদের তুল্যরোধ,

$\begin{aligned} R_p & =\left(\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}\right)^{-1} \\ & =\left(\frac{1}{15}+\frac{1}{5}\right)^{-1}=3.75 \Omega\end{aligned}$

এবং $\mathrm{R}_1$ ও $\mathrm{R}_{\mathrm{p}}$ শ্রেণিতে সংযুক্ত। এদের তুল্যরোধ,

$\begin{aligned} R_s & =R_1+R_p \\ & =(6+3.75) \Omega=9.75 \Omega\end{aligned}$

বর্তনীর মূল প্রবাহ, $I=\frac{E}{R_s+r}=\frac{10}{9.75+0.25}=1 \mathrm{~A}$

অতএব, উদ্দীপকের উল্লিখিত বর্তনীর মূল প্রবাহ 1 A.

$R_1=6~\Omega$ শ্রেণিতে আছে একটি সমান্তরাল অংশের সঙ্গে। অংশের ওপরের শাখায় $R_2=15~\Omega$; নিচের শাখায় $R_3=5~\Omega$ ও $R_4=5~\Omega$ শ্রেণিতে। উৎস $\mathcal E=10~\mathrm V$, অভ্যন্তরীণ রোধ $r=0.25~\Omega$; চিত্রের মূল প্রবাহ নিচের বাহুতে বাঁদিকে।

$\mathbf{R}_3$ এর সাথে $R_4=5 \Omega$ শ্রেণিতে যুক্ত করলে:

বর্তনীর $R_3 ও R_4$ শ্রেণি সংযুক্ত। এদের তুল্যরোধ,

$\mathrm{R}_{\mathrm{s}_1}=\mathrm{R}_3+\mathrm{R}_4=5+5=10 \Omega$

$R_2$ ও $R_{s_1}$ সমান্তরালে সংযুক্ত। এদের তুল্যরোধ,

$\begin{aligned} R_{p_1} & =\left(\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_{s_1}}\right)^{-1} \\ & =\left(\frac{1}{15}+\frac{1}{10}\right)^{-1}=6 \Omega\end{aligned}$

এবং $R_1 ও R_{p_1}$ শ্রেণিতে সংযুক্ত। এদের তুল্যরোধ,

$R_s=R_{p_1}+R_1=6+6=12 \Omega$

∴ বর্তনীর তড়িৎ প্রবাহ, $I_1=\frac{E}{R_s+r}=\frac{10}{12+0.25}=0.816 \mathrm{~A}$

$R_1=6~\Omega$-এর সঙ্গে $R_2=15~\Omega$, $R_3=5~\Omega$, $R_4=5~\Omega$-এর তিন-শাখার সমান্তরাল অংশ শ্রেণিতে যুক্ত। উৎস $\mathcal E=10~\mathrm V$, $r=0.25~\Omega$; চিত্রে মূল প্রবাহ নিচের বাহুতে বাঁদিকে।

$\mathrm{R}_3$ এর সাথে $\mathrm{R}_4=5 \Omega$ সমান্তরালে যুক্ত করলে:

বর্তনীর $\mathbf{R}_2, \mathbf{R}_3$ ও $\mathbf{R}_4$ সমান্তরালে যুক্ত। এদের তুল্যরোধ,

$\begin{aligned} \mathrm{R}_{\mathrm{p}} & =\left(\frac{1}{\mathrm{R}_2}+\frac{1}{\mathrm{R}_3}+\frac{1}{\mathrm{R}_4}\right)^{-1} \\ & =\left(\frac{1}{15}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\right)^{-1} \\ & =2.14 \Omega\end{aligned}$

$R_p$ ও $R_1$ শ্রেণিতে সংযুক্ত। এদের তুল্যরোধ,

$\mathrm{R}_{\mathrm{s}}^{\prime}=\mathrm{R}_{\mathrm{p}}+\mathrm{R}_1=2.14+6=8.14 \Omega$

∴ বর্তনীর তড়িৎ প্রবাহ, $I_2=\frac{E}{R_s^{\prime}+r}=\frac{10}{8.14+0.25}=1.19 \mathrm{~A}$

এখানে, $I_2>I_1$

সুতরাং, উক্ত বর্তনীর $\mathbf{R}_3$ এর সাথে $5 \Omega$ রোধ সমান্তরালে যুক্ত করলে বর্তনীর মূল প্রবাহ বেশি হবে।

ব্যতিচারে সুসংগত তরঙ্গের উপরিপাতনে দশা পার্থক্য অনুযায়ী তীব্রতার পুনর্বণ্টন হয়। অপবর্তনে সরু চির বা প্রতিবন্ধকের প্রান্ত অতিক্রম করে আলো জ্যামিতিক ছায়া অঞ্চলে ছড়ায়; একই তরঙ্গমুখের বিভিন্ন অংশের গৌণ তরঙ্গের উপরিপাতন দিয়ে এ বণ্টন ব্যাখ্যা করা যায়।

তাই দুটির পর্যবেক্ষণ ও সাধারণ বিন্যাস ভিন্ন হলেও উভয়ের ব্যাখ্যায় তরঙ্গের উপরিপাতন কাজ করে। অপবর্তনে একটিমাত্র চির থেকেও ডোরার বিন্যাস পাওয়া যায়; ব্যতিচারকে শুধু দুটি আলাদা মূল উৎসের উপস্থিতি দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা যথেষ্ট নয়।

উদ্দীপক হতে, আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য, $\lambda=5500 Å=5.5 \times 10^{-7} \mathrm{~m}$
আলোর বেগ, $\mathrm{c}=3 \times 10^8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$
প্লাংকের ধ্রুবক, $\mathrm{h}=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

ফোটনের শক্তি,

$\begin{aligned} \mathrm{E}=\frac{\mathrm{hc}}{\lambda} & =\frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{5.5 \times 10^{-7}} \\ & =3.6142 \times 10^{-19} \mathrm{~J} .\end{aligned}$

অতএব, উৎস থেকে নির্গত শক্তি $3.6142 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$

উৎসদ্বয় সমদশায় থাকায় $P$-তে পথ পার্থক্য থেকে দশা পার্থক্য

$\phi=\dfrac{2\pi\Delta x}{\lambda} =2\pi\dfrac{1100}{5500}=0.4\pi=72^\circ$।

পূর্ণ উজ্জ্বলতার জন্য $\Delta x=m\lambda$ এবং পূর্ণ অন্ধকারের জন্য $\Delta x=(m+\tfrac12)\lambda$ দরকার। এখানে $\Delta x=0.2\lambda$; কোনোটিই পূরণ হয় না।

এখানে $\cos\phi>0$, তাই উপরিপাতনে তীব্রতা পৃথক তীব্রতার যোগফলের চেয়ে বেশি: আংশিক গঠনমূলক ব্যতিচার। এটি পূর্ণ উজ্জ্বল বা সম্পূর্ণ অন্ধকার কেন্দ্র নয়।

দৃশ্যমান আলোর মধ্যে লাল আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য বেশি। ক্ষুদ্র বায়ুকণায় রেলি বিক্ষেপণের ক্ষেত্রে বিক্ষিপ্ত তীব্রতা প্রায় $1/\lambda^4$-এর সমানুপাতিক, তাই লাল আলো নীল আলোর তুলনায় কম বিক্ষিপ্ত হয় এবং দূর থেকে সংকেত দেখার সুবিধা দেয়।

এটি কাচে কম প্রতিসরণ বা বায়ুতে কম বাঁকার যুক্তি নয়; বিপদসংকেতে রঙের দৃশ্যমানতা ও প্রচলিত সংকেতরীতিও গুরুত্বপূর্ণ।

চিত্রে তরঙ্গদৈর্ঘ্য $600~\mathrm{mm}=0.6~\mathrm m$ এবং চিরের দূরত্ব $a=0.2~\mathrm{mm}=2\times10^{-4}~\mathrm m$ লেখা আছে।

দ্বি-চিরে তৃতীয় উজ্জ্বল ডোরার জন্য $a\sin\theta=3\lambda$ হওয়া দরকার। কিন্তু

$\sin\theta=\dfrac{3(0.6)}{2\times10^{-4}}=9000>1$।

অতএব এই আক্ষরিক মানে তৃতীয় উজ্জ্বল ডোরা তৈরি হওয়া সম্ভব নয়। $x_3=3D\lambda/a=9000~\mathrm m$ লেখা বৈধ নয়, কারণ ছোট কোণের শর্তও সম্পূর্ণ ব্যর্থ। তরঙ্গদৈর্ঘ্যের একক সংশোধিত না-হলে নির্ভরযোগ্য প্রত্যাশিত দূরত্ব দেওয়া যায় না।

গঠনমূলক বা ধ্বংসাত্মক ব্যতিচার নির্ণয়ে দরকার দুই পথের পার্থক্য $\Delta x=S_2P-S_1P$। চিত্রে $900~\mathrm{mm}$ একটি রশ্মিপথের পাশে লেখা; এটিকে সরাসরি পথ পার্থক্য ধরে নেওয়া যায় না।

আর চিরের সমতল থেকে পর্দার লম্ব দূরত্ব $D=1~\mathrm m$ হলেও চিত্রের রশ্মিপথের দৈর্ঘ্য $900~\mathrm{mm}=0.9~\mathrm m$ দেখানো, যা লম্ব দূরত্বের চেয়ে কম হতে পারে না। তাই আক্ষরিক জ্যামিতিতেই অসংগতি রয়েছে।

এমনকি $0.9~\mathrm m$-কে পথ পার্থক্য বলেও ধরলে তা চিরদ্বয়ের $0.0002~\mathrm m$ দূরত্বের চেয়ে বেশি হবে, যা সম্ভব নয়। একক ও জ্যামিতির অসংগতি না মিটিয়ে $P$-তে কোন ডোরা হবে তা নির্ভরযোগ্যভাবে বলা যায় না।

ধরি, নিঃসৃত ফটোইলেকট্রনের সর্বোচ্চ বেগ $V_{\text {max }}$

উদ্দীপক হতে, তরঙ্গদৈর্ঘ্য, $\lambda=2500 Å=2500 \times 10^{-10} \mathrm{~m}$

কার্য অপেক্ষক, $W_0=2.3 \mathrm{eV}=2.3 \times 1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$
ইলেকট্রনের ভর, $m=9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$
আলোর বেগ, $\mathrm{c}=3 \times 10^8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$
প্লাঙ্কের ধ্রুবক, $\mathrm{h}=6.63 \times 10^{-34} \mathrm{Js}$

আমরা জানি,

$\begin{aligned} \frac{1}{2} m v_{\max }^2 & =h f-W_0=h \frac{c}{\lambda}-W_0 \\ & =\frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{2500 \times 10^{-10}}-2.3 \times 1.6 \times 10^{-19} \\ & =7.956 \times 10^{-19}-3.68 \times 10^{-19}\end{aligned}$

বা, $v_{\max }^2=4.276 \times 10^{-19} \times \frac{2}{m}=\frac{4.276 \times 10^{-19} \times 2}{9.1 \times 10^{-31}}$

বা, $v_{\max }=9.694 \times 10^5 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$

সুতরাং নিঃসৃত ফটো ইলেকট্রনের সর্বোচ্চ বেগ $9.694 \times 10^5 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$

আইনস্টাইনের সমীকরণ

$K_{\max}=hf-W_0=h(f-f_0)$।

এখানে

$f_0=\dfrac{W_0}{h}=\dfrac{2.3\times1.6\times10^{-19}}{6.63\times10^{-34}} =5.55\times10^{14}~\mathrm{Hz}$।

আপতিত আলোর কম্পাঙ্ক $f=c/\lambda=1.20\times10^{15}~\mathrm{Hz}$ এবং $K_{\max}=4.276\times10^{-19}~\mathrm J=2.6725~\mathrm{eV}$।

লেখচিত্রের $B$ বিন্দুতে $K_{\max}=0$, তাই $f=f_0$। ফোটনের শক্তির একটি নির্দিষ্ট অংশ কার্যাপেক্ষক মেটাতে লাগে বলে রেখাটি মূলবিন্দুর বদলে ধনাত্মক কম্পাঙ্ক $f_0$-তে কম্পাঙ্ক অক্ষকে ছেদ করে। $f

একটি স্থায়ী নিউক্লিয়াসের ভর তার নিউক্লিয়নগুলোর ভরের যোগফলের চেয়ে সর্বদা কম হয়। অর্থাৎ একটি নিউক্লিয়াসের নিউক্লিয়নগুলোর ভরের যোগফল এবং ঐ নিউক্লিয়াসের ভরের পার্থক্যকে ভরত্রুটি বলে। একে △m দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

$\therefore \Delta m=\left\{Z m_p+(A-Z) m_N\right\}-M$

এখানে, M = নিউক্লিয়াসের প্রকৃত ভর,

$\mathrm{m}_{\mathrm{p}}=$ একটি প্রোটনের ভর, $\mathrm{m}_{\mathrm{N}}=$ একটি নিউট্রনের ভর,

A = ভর সংখ্যা বা নিউক্লিয়ন সংখ্যা, Z = প্রোটন সংখ্যা।

ধরি অর্ধায়ু $T_A,T_B$। প্রদত্ত $T_A+T_B=15~\text{বছর}$ ও $T_A=2T_B$ থেকে

$T_B=5~\text{বছর},\qquad T_A=10~\text{বছর}$।

তাই $A$-এর ক্ষয় ধ্রুবক

$\lambda_A=\dfrac{\ln2}{T_A}=\dfrac{0.693147}{10}=0.06931~\text{বছর}^{-1}$।

উভয়ের ৪০ শতাংশ ক্ষয়ে নিজ নিজ প্রারম্ভিক পরিমাণের $0.6$ অংশ অবশিষ্ট থাকে। সূচকীয় ক্ষয়সূত্র থেকে

$t=\dfrac{-\ln0.6}{\lambda}=\dfrac{\ln(1/0.6)}{\ln2}T_{1/2}$।

তাই

$t_A=7.370~\text{বছর},\qquad t_B=3.685~\text{বছর}$।

সুতরাং $t_A=2t_B$; একই প্রারম্ভিক সময় থেকে দুটিতেই একই সঙ্গে ৪০ শতাংশ ক্ষয় হবে না। এই ভগ্নাংশভিত্তিক সিদ্ধান্তে প্রারম্ভিক পরমাণুর সংখ্যা সমান ধরার প্রয়োজন নেই।

সহজে বিভাজ্য ভারী নিউক্লিয়াসে উপযুক্ত নিউট্রন শোষণের মাধ্যমে ফিশন ঘটানো যায়। নিউট্রন নিরপেক্ষ হওয়ায় ধনাত্মক নিউক্লিয়াসের কুলম্ব বাধা অতিক্রম করতে হয় না।

ফিউশনে দুটি হালকা কিন্তু ধনাত্মক নিউক্লিয়াসকে কাছাকাছি আনতে তাদের পারস্পরিক কুলম্ব বিকর্ষণ অতিক্রমের উপযুক্ত উচ্চ তাপমাত্রা ও আবদ্ধকরণ প্রয়োজন। তাই ব্যবহারিকভাবে নিয়ন্ত্রিত শক্তি উৎপাদনের জন্য ফিউশনের শর্ত তৈরি ও বজায় রাখা তুলনামূলক কঠিন।

চিত্রে ইনপুট পীঠে, আউটপুট সংগ্রাহকে এবং নিঃসারক দুই বর্তনীর সাধারণ প্রান্ত; এটি কমন-এমিটার সংযোগ। তাই এই সংযোগের প্রবাহ বিবর্ধন গুণক $\beta=80$।

সম্পর্ক থেকে কমন-বেস গুণক $\alpha=\beta/(1+\beta)=80/81\approx0.988$ পাওয়া যায়; কিন্তু সেটি চিত্রের কমন-এমিটার প্রবাহ লাভ নয়।

সরল ক্ষুদ্র-সংকেত মডেলে ভোল্টেজ লাভের মান

$|A_v|=\beta\dfrac{R_L}{R_{\mathrm{in}}} =80\times\dfrac{60}{40}=120$।

কমন-এমিটার সংযোগে আউটপুটের দশা ইনপুটের বিপরীত; চিহ্নযুক্ত লাভ আনুমানিক $A_v=-120$।

অতএব ভোল্টেজের প্রশস্ততার অনুপাত ১২০ গুণ, যা ১০০ শতাংশ অর্থাৎ এক গুণেরও বেশি। যদি প্রশ্নে ঠিক ১০০ গুণ বোঝানো হয়ে থাকে, প্রদত্ত মডেলের সরাসরি লাভ ঠিক ১০০ নয়; তা ১২০।