চিত্র-১ হতে, A বিন্দুতে আয়তন, $\mathrm{V}_1=2 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^3$
$B$ বিন্দুতে আয়তন, $V_2=4 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^3$
মোল সংখ্যা, $\mathrm{n}=1$ mole
সার্বজনীন গ্যাস ধ্রুবক, $\mathrm{R}=8.314 \mathrm{~J} \mathrm{~mole}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}$

AB সমোষ্ণ প্রক্রিয়া:

∴ উৎস হতে গৃহীত তাপ, $\mathrm{Q}_1=\mathrm{W}_{\mathrm{AB}}=\mathrm{nRT}_1 \ln \left(\frac{\mathrm{~V}_2}{\mathrm{~V}_1}\right)$

∴ এন্ট্রপির পরিবর্তন,

$\begin{aligned} \Delta S_{A B} & =\frac{Q_1}{T_1}=n R \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right) \\ & =1 \times 8.314 \times \ln \left(\frac{4 \times 10^{-3}}{2 \times 10^{-3}}\right) \\ & =5.763 \mathrm{JK}^{-1}\end{aligned}$

অতএব, উদ্দীপকের চিত্র-১ অনুসারে গ্যাসকে A থেকে B অবস্থানে নিলে এন্ট্রপির পরিবর্তন $5.763 \mathrm{JK}^{-1}$

দুটি চক্রকেই আদর্শ প্রত্যাবর্তী কার্নো চক্র এবং হাইড্রোজেনের $\gamma=1.4$ ধরে তুলনা করা যাক। প্রথম চক্রে $BC$ রুদ্ধতাপীয় হলে

$T_{C1}=T_{H1}\left(\dfrac{V_B}{V_C}\right)^{\gamma-1} =323\left(\dfrac4\{13.258\}\right)^{0.4}\approx200~\mathrm K$।

তাই কার্নো দক্ষতা

$\eta_1=1-\dfrac{200}{323}\approx38.08\%$।

দ্বিতীয় চক্রে $T_{H2}=353~\mathrm K$ ও $T_{C2}=200~\mathrm K$ হলে

$\eta_2=1-\dfrac{200}{353}\approx43.34\%$।

অতএব আদর্শ কার্নো-ইঞ্জিনের শর্তে দ্বিতীয়টি বেশি দক্ষ। কিন্তু শুধু দুই চক্রের সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন তাপমাত্রা থেকে সাধারণ বাস্তব ইঞ্জিনের প্রকৃত দক্ষতা এই সূত্রে নির্ণয় করা যায় না; চক্রগুলো প্রত্যাবর্তী কার্নো চক্র না হলে প্রকৃত গৃহীত তাপ ও নিট কাজের তথ্য দরকার।

প্রথম চিত্রে ক্ষেত্রের দিক বরাবর দুটি পরাবৈদ্যুতিক স্তর; প্রতিটির পুরুত্ব $d/2=0.01~\mathrm m$ ও ক্ষেত্রফল $A=1.5~\mathrm{m^2}$। তাই তারা শ্রেণি ধারকের সমতুল্য।

$\dfrac1\{C_s\}=\dfrac{d/2}{k_1\epsilon_0A}+\dfrac{d/2}{k_2\epsilon_0A}$।

অতএব

$C_s=\dfrac{2\epsilon_0A}{d}\dfrac{k_1k_2}{k_1+k_2} =1.8973\times10^{-9}~\mathrm F$।

দুটি বিন্যাসই একই $20~\mathrm V$ উৎসের সঙ্গে যুক্ত। প্রথম বিন্যাসের শক্তি

$U_1=\tfrac12C_sV^2 =\tfrac12(1.8973\times10^{-9})(20)^2 =3.7946\times10^{-7}~\mathrm J$।

দ্বিতীয় বিন্যাসে দুটি অঞ্চল একই বিভবে থাকে; প্রতিটির ক্ষেত্রফল $A/2=0.75~\mathrm{m^2}$ ও পুরুত্ব $d=0.02~\mathrm m$।

$C_p=\dfrac{\epsilon_0(A/2)}d(k_1+k_2) =2.3242\times10^{-9}~\mathrm F$।

$U_2=\tfrac12C_pV^2=4.6484\times10^{-7}~\mathrm J$।

অতএব $U_2/U_1=1.225$; দ্বিতীয় বিন্যাসে একই বিভবে বেশি শক্তি সঞ্চিত থাকে।

চিরায়ত তরঙ্গতত্ত্ব আলোকতড়িৎ ক্রিয়ার সব বৈশিষ্ট্য ব্যাখ্যা করতে পারে না। বিশেষত সূচন কম্পাঙ্কের অস্তিত্ব, যথেষ্ট কম্পাঙ্কে প্রায় তাৎক্ষণিক নির্গমন এবং সর্বোচ্চ গতিশক্তির কম্পাঙ্কনির্ভরতা ফোটনের শক্তি $hf$ দিয়ে ব্যাখ্যা করা হয়।

সূচনের ওপরে একই কম্পাঙ্কে তীব্রতা বাড়লে সাধারণত নির্গত ইলেকট্রনের সংখ্যা ও আলোকতড়িৎ প্রবাহ বাড়ে। তাই পুরো ঘটনাটি তীব্রতার উপর একেবারেই নির্ভর করে না—এ দাবিও সঠিক নয়।

চিত্রের স্পষ্ট $R_1=3~\Omega$, $R_2=10~\Omega$, $R_3=5~\Omega$ এবং উৎস $30~\mathrm V,20~\mathrm V$ ধরে, কেন্দ্রীয় শাখায় অন্য কোনো রোধ না থাকলে

$I_1+I_2=I_3$,

$3I_1+5I_3=30,\qquad10I_2+5I_3=20$।

এগুলো থেকে $I_3=72/19=3.78947~\mathrm A$, দিক $N$ থেকে $Q$।

তবে কেন্দ্রীয় সরল তারের পাশে অতিরিক্ত $3~\Omega$ লেখা আছে, অথচ তার জন্য আলাদা রোধ-চিহ্ন নেই। সেটি অতিরিক্ত রোধ বা অন্য মান বোঝালে বর্তনীর ব্যাখ্যা ও এই ফল বদলাবে; এ অস্পষ্টতা নিষ্পত্তি দরকার।

আগের $R_3=5~\Omega$-এর ব্যাখ্যায় এবং তাপক্ষয় উপেক্ষা করলে

$H=I_3^2R_3t =\left(\dfrac{72}{19}\right)^2(5)(1200) \approx8.6161\times10^4~\mathrm J$।

স্বাভাবিক চাপে $0.2~\mathrm{kg}$ পানিকে $27^\circ\mathrm C$ থেকে ফুটতে শুরু করার $100^\circ\mathrm C$-এ নিতে

$Q=mc\Delta T=0.2(4200)(73)=61320~\mathrm J$।

এই আদর্শ হিসাবে $H>Q$, তাই ফুটতে শুরু করতে পারে। বাস্তবে উৎপন্ন তাপের অন্তত $Q/H\approx71.2\%$ পানিতে পৌঁছাতে হবে। এটি সব পানি বাষ্পীভূত করার হিসাব নয়।

তবে চিত্রের অতিরিক্ত $3~\Omega$-এর অস্পষ্টতা মিটিয়ে প্রকৃত বর্তনী নিশ্চিত না করলে নিঃশর্ত সিদ্ধান্ত দেওয়া যাবে না।

উদ্দীপক হতে,

লাল আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য, $\lambda_R=6500 \AA=6.5 \times 10^{-7} \mathrm{~m}$

চিরদ্বয়ের ব্যাবধান, $\mathrm{a}=0.36 \mathrm{~mm}=3.6 \times 10^{-4} \mathrm{~m}$

অন্ধকার ডোরার ক্রম, $\mathrm{n}=2$

আমরা জানি, অন্ধকার ডোরার জন্য,

$a \sin \theta=(2 n-1) \frac{\lambda_R}{2}$

বা, $\theta=\sin ^{-1}\left\{\frac{(2 \mathrm{n}-1) \lambda_{\mathrm{R}}}{2 \mathrm{a}}\right\}=\sin ^{-1}\left(\frac{3 \times 6.5 \times 10^{-7}}{2 \times 3.6 \times 10^{-4}}\right)=0.155^{\circ}$

কেন্দ্রীয় থেকে ২য় অন্ধকার ডোরার কৌণিক ব্যবধান $0.155°$ অতএব, কেন্দ্রীয় ডোরার উভয় পাশে ২য় অন্ধকার ডোরার কৌণিক বিস্তার $=2 \times 0.155^{\circ}=0.31^{\circ}$

একই চির-ব্যবধান $a=0.36~\mathrm{mm}$ ও একই পর্দা দূরত্ব $D=0.85~\mathrm m$-এ দশম উজ্জ্বল ডোরার সরণ $y_{10}=10D\lambda/a$।

তরঙ্গদৈর্ঘ্য ভিন্ন বলে একই পরীক্ষণ বিন্যাসে একই ক্রমের ডোরা একই অবস্থানে হয় না। তাই পর্দা ও চির অপরিবর্তিত রেখে উল্লিখিত শর্ত পূরণ সম্ভব নয়।

প্রথম ফোটনের শক্তি $E_1=hc/\lambda_1=5.2342\times10^{-19}~\mathrm J$ এবং $W_0=2.29(1.6\times10^{-19})=3.664\times10^{-19}~\mathrm J$।

তাই সর্বোচ্চ গতিশক্তি $K_{\max}=1.5702\times10^{-19}~\mathrm J$ এবং

$v_{\max}=\sqrt{2K_{\max}/m_e}\approx5.87\times10^5~\mathrm{m\,s^{-1}}$।

প্রথম ক্ষেত্রে নিবৃত্তি বিভবের মান

$V_{s1}=\dfrac{E_1-W_0}e\approx0.9814~\mathrm V$।

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে $E_2=hc/(7800~\mathrm{\mathring A})=2.55\times10^{-19}~\mathrm J

তরঙ্গদৈর্ঘ্য বাড়লে সূচন মান পর্যন্ত নিবৃত্তি বিভব কমে, পরে নির্গমন বন্ধ হয়।

মহাকাশযানের কাঠামোতে খেলোয়াড়ের দ্রুতি $0.8c$, তাই $\gamma=1/\sqrt{1-0.8^2}=5/3$।

পুরোনো আপেক্ষিক-ভর পরিভাষায় $m_{\mathrm{rel}}=E/c^2=\gamma m_0=(5/3)(70)=116.67~\mathrm{kg}$।

তবে খেলোয়াড়ের অপরিবর্তনীয় নিজস্ব ভর $70~\mathrm{kg}$-ই থাকে। এই ১১৬.৬৭ হলো ওই চলমান কাঠামোতে মোট শক্তির $E/c^2$ মান।

মাঠের নিজস্ব ব্যাসার্ধ $r_0=80~\mathrm m$। মহাকাশযানের কাঠামোতে একই সময়ে মাপলে গতি-সমান্তরাল অর্ধব্যাস $80\sqrt{1-0.8^2}=48~\mathrm m$ এবং লম্ব অর্ধব্যাস $80~\mathrm m$।

তাই পরিমাপকৃত উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল

$A'=\pi(48)(80)=3840\pi\approx12063.72~\mathrm{m^2}$।

স্থির মাঠের ক্ষেত্রফল $A_0=6400\pi\approx20106.19~\mathrm{m^2}$। অর্থাৎ $A'/A_0=0.6$; পরিমাপকৃত ক্ষেত্রফল কম। এটি একযোগে জ্যামিতিক পরিমাপ, আলো পৌঁছানোর সময়সহ সরাসরি আলোকচিত্রের বর্ণনা নয়।

উৎস হতে দূরবর্তী অঞ্চলে তরঙ্গমুখের বক্রতা কমতে থাকে। বহু দূরের উৎস হতে আগত তরঙ্গমুখ সমতল হবে। এজন্য সূর্যের বা অন্য কোনো নক্ষত্রের তরঙ্গমুখকে সমতল বিবেচনা করা হয়। চিত্রে $AB$ ও $CD$ সমতল তরঙ্গমুখ। অর্থাৎ তরঙ্গস্থিত সমদশাসম্পন্ন কণাগুলোর সঞ্চারপথ সমতল হলে তাকে সমতল তরঙ্গমুখ বলে। সমতল তরঙ্গমুখসম্পন্ন তরঙ্গকে সমতল তরঙ্গ বলে।

বাঁয়ে সমতল তরঙ্গমুখ $AB$-তে ওপর থেকে নিচে $1,2,3,4,5$ বিন্দু। সেখান থেকে ডানদিকে গৌণ অর্ধবৃত্তাকার তরঙ্গমুখ ছড়িয়েছে; $t$ সময় পরে তাদের সম্মুখ স্পর্শতল ডানের সমতল $CD$। $AB$ ও $CD$-এর ব্যবধান $vt$। ডানদিকে পৃথক পর্যবেক্ষণবিন্দু $P$ চিহ্নিত।

অতএব, সূর্য থেকে আগত আলোর তরঙ্গমুখের প্রকৃতি সমতল।

সমজাতীয় পরপর দুই ডোরার ব্যবধান

$\beta=\dfrac{D\lambda}{a} =\dfrac{1(5.8\times10^{-7})}{2\times10^{-4}} =2.9\times10^{-3}~\mathrm m=2.9~\mathrm{mm}$।

প্রথম 'চরম' বলতে কেন্দ্রীয় চরমের পরের প্রথম পার্শ্বীয় উজ্জ্বল চরম ধরে তুলনা করা হচ্ছে। ব্যতিচারে

$a\sin\theta=\lambda\quad\Rightarrow\quad \theta=\sin^{-1}(5.8\times10^{-7}/2\times10^{-4})=0.1662^\circ$।

একক চিরের সঠিক পার্শ্বীয় চরমের শর্ত $\tan u=u$, যেখানে $u=\pi b\sin\theta'/\lambda$। প্রথম অশূন্য মূল $u\approx4.4934$, তাই

$b\sin\theta'=(4.4934/\pi)\lambda\approx1.4303\lambda$,

$\theta'\approx0.2377^\circ$।

দুই পাশে প্রথম পার্শ্বীয় চরমের কৌণিক দূরত্ব যথাক্রমে $2\theta\approx0.3324^\circ$ ও $2\theta'\approx0.4754^\circ$; অভিন্ন নয়। প্রচলিত আনুমানিক অপবর্তন শর্ত $b\sin\theta'\approx3\lambda/2$ নিলে প্রায় $0.50^\circ$ পাওয়া যায়; এটি সঠিক চরমের সূত্র নয়।

কেন্দ্রীয় চরমের প্রস্থ ও প্রথম পার্শ্বীয় চরমের অবস্থান এক রাশি নয়; এখানে পার্শ্বীয় চরম তুলনা করা হয়েছে।

প্রদত্ত অর্ধায়ু $T_{1/2}=6~\mathrm h$। তাই গড় আয়ু

$\tau=\dfrac{T_{1/2}}{\ln2}=\dfrac6\{0.693147\}=8.656~\mathrm h$।

এখানে শুধু প্রশ্নের আদর্শ ক্ষয়-মডেল ও দেওয়া সংখ্যাগত সীমা ব্যবহার করা হচ্ছে।

$N_0=\dfrac{20}{99}(6.02\times10^{23}) =1.21616\times10^{23}$।

২৪ ঘণ্টা হলো চার অর্ধায়ু, তাই অবশিষ্ট $N=N_0/16$ এবং ক্ষয়সংখ্যা

$N_d=N_0(1-1/16) =1.14015\times10^{23}$।

সব প্রদত্ত সংখ্যা নির্ভুল ধরলে এটি $1.14\times10^{23}$ সীমার সামান্য বেশি; তখন নির্ধারিত শর্ত পূরণ হয় না। কিন্তু তিন তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কে একই $1.14\times10^{23}$ হয়, তাই শুধু পূর্ণীকৃত মান দিয়ে সীমান্তের নিরাপত্তা নিঃশর্ত ঘোষণা করা যায় না।

প্রকৃত রোগীর নিরাপত্তা শুধু মোট ক্ষয়সংখ্যার এই কল্পিত সীমা দিয়ে নির্ধারিত হয় না; এটি চিকিৎসাবিষয়ক নিরাপদ মাত্রার সিদ্ধান্ত নয়।