এনট্রপি একটি তাপগতীয় অবস্থা-ফাংশন। প্রত্যাবর্তী প্রক্রিয়ায় পরম তাপমাত্রা $T$-তে সিস্টেমে অতিক্ষুদ্র তাপ $\delta Q_{\mathrm{rev}}$ যোগ করলে এনট্রপির পরিবর্তন

$dS=\dfrac{\delta Q_{\mathrm{rev}}}{T}$।

এর এসআই একক $\mathrm{J\,K^{-1}}$। প্রত্যাবর্তী রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় এনট্রপি অপরিবর্তিত থাকে।

উদ্দীপক হতে,

A বিন্দুতে চাপ, $\mathrm{P}_1=3.7 \times 10^5 \mathrm{Nm}^{-2}$

গ্যাসের আপেক্ষিক তাপদ্বয়ের অনুপাত, $\gamma=1.4$

যেহেতু সংকোচন বা প্রসারণের অনুপাত 2:1

তাই, $\frac{V_2}{V_1} = \frac{V_3}{V_2}=2$

AB পথে (সমোষ্ণ প্রক্রিয়া):

$P_1 V_1=P_2 V_2$

বা, $P_2=\frac{V_1}{V_2} P_1=\frac{1}{2} \times 3.7 \times 10^5=1.85 \times 10^5 \mathrm{Nm}^{-2}$

BC পথে (রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়া) :

$\mathrm{P}_3 \mathrm{~V}_3^\gamma=\mathrm{P}_2 \mathrm{~V}_2^\gamma$

বা, $P_3=\left(\frac{V_2}{V_3}\right)^\gamma P_2=\left(\frac{1}{2}\right)^{1.4} \times 1.85 \times 10^5=7.01 \times 10^4 \mathrm{Nm}^{-2}$

অতএব, $\mathrm{P}_3$ এর মান $7.01 \times 10^4 \mathrm{Nm}^{-2}$

উদ্দীপক হতে,

AB পথে তাপমাত্রা, $\mathrm{T}_1=127^{\circ} \mathrm{C}=(127+273) \mathrm{K}=400 \mathrm{~K}$

মোল সংখ্যা, n = 1

গ্যাসের আপেক্ষিক তাপদ্বয়ের অনুপাত, $\gamma=1.4$

যেহেতু সংকোচন বা প্রসারণের অনুপাত 2:1

তাই, $\frac{V_2}{V_1}=\frac{V_3}{V_2}=2$ এবং $\frac{V_4}{V_3}=\frac{V_1}{V_4}=\frac{1}{2}$

CD পথের তাপমাত্রা $\mathrm{T}_2$ হলে,

$\mathrm{T}_2 \mathrm{~V}_3^{\gamma-1}=\mathrm{T}_1 \mathrm{~V}_2^{\gamma-1}$

বা, $\mathrm{T}_2=\left(\frac{\mathrm{V}_2}{\mathrm{~V}_3}\right)^{\gamma-1} \times \mathrm{T}_1=\left(\frac{1}{2}\right)^{1.4-1} \times 400=303.14 \mathrm{~K}$

AB সমোষ্ণ প্রক্রিয়া:

∴ কৃতকাজ,

$\begin{aligned} \mathrm{W}_{\mathrm{AB}} & =\mathrm{nRT}_1 \ln \left(\frac{\mathrm{~V}_2}{\mathrm{~V}_1}\right) \\ & =1 \times 8.314 \times 400 \times \ln (2)=2305.13 \mathrm{~J}\end{aligned}$

BC রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়া:

∴ কৃতকাজ,

$\begin{aligned} \mathrm{W}_{\mathrm{BC}} & =\frac{\mathrm{nR}}{\gamma-1}\left(\mathrm{~T}_1-\mathrm{T}_2\right) \\ & =\frac{1 \times 8.314}{1.4-1} \times(400-303.14)=2013.24 \mathrm{~J}\end{aligned}$

CD সমোষ্ণ প্রক্রিয়া:

∴ কৃতকাজ,

$\begin{aligned} \mathrm{W}_{\mathrm{CD}} & =\mathrm{nRT}_2 \ln \left(\frac{\mathrm{~V}_4}{\mathrm{~V}_3}\right) \\ & =1 \times 8.314 \times 303.14 \times \ln \left(\frac{1}{2}\right) \\ & =-1746.943 \mathrm{~J}\end{aligned}$

DA বুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়া:

∴ কৃতকাজ,

$\begin{aligned} \mathrm{W}_{\mathrm{DA}} & =\frac{\mathrm{nR}}{\gamma-1}\left(\mathrm{~T}_2-\mathrm{T}_1\right) \\ & =\frac{1 \times 8.314}{1.4-1} \times(303.14-400)=-2013.24 \mathrm{~J}\end{aligned}$

ABCDA চক্রে মোট কৃতকাজ,

$\begin{aligned} W_{\text {net }} & =W_{A B}+W_{B C}+W_{C D}+W_{D A} \\ & =2305.13+2013.24-1746.943-2013.24 \\ & =558.2 \mathrm{~J}\end{aligned}$

এখানে, $W_{\text {net }} \neq 0$

অতএব, উদ্দীপকের চক্রে মোট কৃতকাজ শূন্য হবে না।

আমরা জানি, ধারকের সঞ্চিত শক্তি, $\mathrm{U}=\frac{1}{2} \mathrm{CV}^2$

অর্থাৎ, বর্তনীর বিভব অপরিবর্তিত থাকলে ধারকের সঞ্চিত শক্তি তার ধারকত্বের সমানুপাতিক। অর্থাৎ, ধারকত্ব যত বেশি হবে সঞ্চিত শক্তিও তত বেশি হবে। আবার ধারকের সমান্তরাল সমবায়ে তুল্য ধারকত্ব সর্বোচ্চ হয়।

$C_p=C_1+C_2+C_3+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .+C_n$

তাই বলা যায়, ধারকের সমান্তরাল সমবায়ের ক্ষেত্রে সর্বোচ্চ শক্তি পাওয়া যায়।

ত্রিভুজে $A$ ওপরে, $B$ নিচে বাঁয়ে ও $C$ নিচে ডানে। $B$-তে টান $T$ সুতার $BA$ বরাবর ওপরের ডানে, $T\sin\theta$ ঊর্ধ্বে, $T\cos\theta$ ডানে, বৈদ্যুতিক বল $F$ বাঁয়ে ও ওজন $mg$ নিচে। $\theta$ হলো $T$ ও অনুভূমিক $BC$-এর কোণ।

এখানে, B ও C বিন্দুর আধান, $q_B=q_C=5.4 \times 10^{-6} \mathrm{C}$

$ A B=A C=B C=1 \mathrm{~m} $
$ \therefore \theta=60^{\circ}$

প্রতিটি বস্তুর ভর, $m=$ ?
চিত্র হতে, $\mathrm{T} \sin \theta=\mathrm{mg}$

বা, $T=\frac{\mathrm{m} \times 9.8}{\sin 60^{\circ}}=11.316 \times \mathrm{m}$
আবার, $\mathrm{T} \cos \theta=\mathrm{F}$
বা, $T \cos \theta=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_B \times q_c}{B C^2}$

বা, $11.316 \times \mathrm{m} \times \cos 60^{\circ}=9 \times 10^9 \times \frac{5.4 \times 10^{-6} \times 5.4 \times 10^{-6}}{1^2}$

$\therefore \quad m=0.0464 \mathrm{~kg}=46.4 \mathrm{gm}$

অতএব, বস্তু দুটির প্রতিটির ভর 46.4 gm.

প্রথমে ধরে নিই তিনটি সমান ধনাত্মক আধান সমবাহু ত্রিভুজের নির্দিষ্ট শীর্ষে রাখা আছে এবং পরীক্ষণ আধানের উপর মহাকর্ষ উপেক্ষণীয়। বাহু $1~\mathrm m$ হলে কেন্দ্র $O$ থেকে প্রতিটি শীর্ষের দূরত্ব $1/\sqrt3~\mathrm m$।

কেন্দ্রে $q=-1~\mathrm C$ হলে প্রতিটি আকর্ষণ বলের মান

$F=\dfrac{k(5.4\times10^{-6})(1)}{(1/\sqrt3)^2} =1.458\times10^5~\mathrm N$।

বলগুলোর দিক $O$ থেকে যথাক্রমে $A,B,C$-এর দিকে। তিনটি সমান বলের পারস্পরিক কোণ $120^\circ$, তাই তাদের ভেক্টর যোগফল শূন্য।

অতএব নির্দিষ্ট এই জ্যামিতিতে ঠিক কেন্দ্রে স্থিরভাবে রাখা পরীক্ষণ আধানের তড়িৎ বল শূন্য। তবে শূন্য লব্ধি বল স্থিতিশীল সাম্যের নিশ্চয়তা দেয় না। মূল সমস্যায় $B,C$-এর বস্তু দুটি মুক্তভাবে ঝুলছে; বড় নতুন আধান ও কেন্দ্রে $-1~\mathrm C$ বসালে তাদের অবস্থান একই থাকবে—এটি নিশ্চিত নয়। সকল আধানের স্থির অবস্থান ও অন্য বলের শর্ত না দিলে নিঃশর্তভাবে 'স্থির রাখা সম্ভব' বলা যায় না।

এখানে, $\mathrm{R}_1=30 \Omega, \mathrm{R}_2=15 \Omega, \mathrm{R}_3=20 \Omega$ এবং $\mathrm{R}_4=15 \Omega$

অ্যামিটারের প্রবাহ শূন্য হলে,

$\frac{\mathrm{R}_1}{\mathrm{R}_3}=\frac{\mathrm{R}_2}{\mathrm{R}_4^{\prime}}$ বা, $\mathrm{R}_4^{\prime}=\frac{\mathrm{R}_2 \times \mathrm{R}_3}{\mathrm{R}_1}=\frac{15 \times 20}{30}=10 \Omega$

এখানে, $\mathrm{R}_4^{\prime}<\mathrm{R}_4$

অর্থাৎ, $\mathrm{R}_4$ এর সাথে $x$ মানের রোধ সমান্তরালে যুক্ত করতে হবে।

$\therefore \quad \frac{1}{\mathrm{R}_4}+\frac{1}{\mathrm{x}}=\frac{1}{\mathrm{R}_4^{\prime}}$

বা, $\mathrm{x}=\left(\frac{1}{\mathrm{R}_4^{\prime}}-\frac{1}{\mathrm{R}_4}\right)^{-1}=\left(\frac{1}{10}-\frac{1}{15}\right)^{-1}=30 \Omega$

অতএব, $\mathrm{R}_4$ এর সাথে $30 \Omega$ মানের রোধ সমান্তরালে যুক্ত করলে অ্যামিটারে বিক্ষেপ শূন্য হবে।

$R_1$ ও $R_4$ সরালে $R_2=15~\Omega$, অ্যামিটার এবং $R_3=20~\Omega$ শ্রেণিতে থাকে। অ্যামিটারের রোধ বাহ্যিক $35~\Omega$-এর তুলনায় উপেক্ষা করলে

$I\approx\dfrac{150}{15+20}=\dfrac{30}7=4.286~\mathrm A$।

এটি অ্যামিটারের $2~\mathrm A$ পাল্লার বেশি। তাই যন্ত্রের সঙ্গে সমান্তরালে কম মানের শান্ট বসাতে হবে। অ্যামিটারের নিজস্ব রোধ $r$ এবং লক্ষ্য পাল্লা $n=I/2=15/7$ গুণ হলে

$S=\dfrac r\{n-1\}=\dfrac{7r}8=0.875r$।

এই পরিচিত ফল যন্ত্রের বোঝা-প্রভাব উপেক্ষার আনুমানিক নকশা। ঠিক এই $150~\mathrm V$ ও $35~\Omega$ বর্তনীতে যন্ত্রের প্রবাহ ঠিক $2~\mathrm A$ রাখতে বোঝা-প্রভাবসহ হিসাব করলে $S=35r/(40-r)$ হয়; $r\ll35~\Omega$ হলে সেটিও প্রায় $0.875r$।

একটি সরু চিরের ফ্রাউনহোফার অপবর্তনে অন্ধকার ডোরার শর্ত $b\sin\theta=m\lambda$। ছোট কোণে প্রথম দুই পাশের অন্ধকারের মধ্যবর্তী কেন্দ্রীয় উজ্জ্বল ডোরার প্রস্থ প্রায় $2D\lambda/b$।

পরবর্তী অন্ধকারগুলোর মধ্যবর্তী দূরত্ব ছোট কোণে প্রায় $D\lambda/b$। তাই কেন্দ্রীয় উজ্জ্বল ডোরা পার্শ্ববর্তী উজ্জ্বল ডোরাগুলোর তুলনায় প্রায় দ্বিগুণ চওড়া। বৃহৎ কোণে $\sin\theta$ ও পর্দার সরণের অরৈখিক সম্পর্কেও ব্যবধানের পরিবর্তন হয়; সব পার্শ্বীয় ডোরা ছোট কোণেও নির্বিচারে অসম—এ কথা বলা ঠিক নয়।

উদ্দীপক হতে,

ব্যবহৃত আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য, $\lambda=5.88 \times 10^{-7} \mathrm{~m}$

চিরদ্ধয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, $\mathrm{a}=1 \mathrm{~mm}=1 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$

উজ্জ্বল ডোরার ক্রম, n = 17

আমরা জানি, উজ্জ্বল ডোরার জন্য,

$a \sin \theta=n \lambda$

বা, $\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{\mathrm{n} \lambda}{\mathrm{a}}\right)=\sin ^{-1}\left(\frac{17 \times 5.88 \times 10^{-7}}{1 \times 10^{-3}}\right)=0.573^{\circ}$

অতএব, কেন্দ্রীয় উজ্জ্বল ডোরা থেকে 17তম উজ্জ্বল ডোরার কৌণিক ব্যবধান $0.573^{\circ}$.

পানিতে তরঙ্গদৈর্ঘ্য $\lambda_w=\lambda/1.33$ এবং ডোরা প্রস্থ

$\beta_w=\dfrac{D\lambda}{a(1.33)} =4.4211\times10^{-4}~\mathrm m=0.44211~\mathrm{mm}$।

ছোট কোণের হিসাবে $P$-এর ক্রম

$\dfrac{y}{\beta_w} =\dfrac{25}{0.44211}\approx56.548$।

উজ্জ্বল কেন্দ্রের জন্য এটি পূর্ণসংখ্যা এবং অন্ধকার কেন্দ্রের জন্য অর্ধ-পূর্ণসংখ্যা হতে হয়। প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে নির্ভুল ধরলে $P$ ঠিক কোনো কেন্দ্রেই পড়ে না; এটি $56.5$-তম পথ-পার্থক্যের অন্ধকার কেন্দ্রের খুব কাছে।

নিকটতম অন্ধকার কেন্দ্রের অবস্থান $y_d=56.5\beta_w\approx24.979~\mathrm{mm}=2.498~\mathrm{cm}$, যা দুই তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কে $2.5~\mathrm{cm}$। তাই প্রদত্ত সীমিত নির্ভুলতার হিসাবে প্রায় অন্ধকার ডোরা বলা যায়, কিন্তু ভগ্নাংশকে ১১৩-তে পূর্ণ করে একেবারে নির্ভুল অন্ধকার দাবি করা যাবে না।

প্রদত্ত $6.9\times10^5~\mathrm{m\,s^{-1}}$-কে সর্বোচ্চ নির্গমন বেগ ধরে

$K_{\max}=\tfrac12mv^2=2.166255\times10^{-19}~\mathrm J$।

$W_0=hf-K_{\max}=3.515655\times10^{-19}~\mathrm J$।

তাই $\lambda_0=hc/W_0=5.658\times10^{-7}~\mathrm m$ এবং $f_0=W_0/h=5.30265\times10^{14}~\mathrm{Hz}$।

বেগটি সর্বোচ্চ না হয়ে শুধু একটি নির্গত ইলেকট্রনের বেগ হলে এ তথ্য থেকে কার্যাপেক্ষক এককভাবে নির্ণয় করা যায় না।

প্রদত্ত বেগকে সর্বোচ্চ ধরে আগের হিসাবে $f_0=5.30265\times10^{14}~\mathrm{Hz}$। নির্গমন থাকলে $K_{\max}=h(f-f_0)$।

সূচন কম্পাঙ্ক থেকে লেখটি সরলরেখা; জুল এককে ঢাল $h$। গতিশক্তি $f$-এর সরলরৈখিক ফাংশন, কিন্তু মূলবিন্দুগামী সমানুপাতিক সম্পর্ক নয়। সূচনের নিচে 'শূন্য গতিশক্তির ইলেকট্রন' নয়, কোনো আলোকইলেকট্রনই নির্গত হয় না। $5.3\times10^{14}~\mathrm{Hz}$ সূচনের খুব কাছে হওয়ায় মাপের নির্ভুলতা ও আগাম পূর্ণীকরণ এখানে গুরুত্বপূর্ণ।

প্রাথমিকভাবে স্থির ও প্রায় মুক্ত ইলেকট্রনে কম্পটন বিক্ষেপণে ফোটনের তরঙ্গদৈর্ঘ্যের পরিবর্তন

$\Delta\lambda=\dfrac{h}{m_ec}(1-\cos\theta)$।

ইলেকট্রনকে শক্তি দেওয়ায় অশূন্য বিক্ষেপণ কোণে ফোটনের শক্তি কমে ও তরঙ্গদৈর্ঘ্য বাড়ে। সামনের দিকে $\theta=0$ হলে পরিবর্তন শূন্য। এটি নির্দিষ্ট কম্পটন প্রক্রিয়ার ফল; সব ধরনের আলোক বিক্ষেপণে তরঙ্গদৈর্ঘ্য অবশ্যই বাড়ে—এমন নয়।

রকেটের নিজস্ব দৈর্ঘ্য $12~\mathrm m$ এবং স্টেশনের নিজস্ব দৈর্ঘ্য $36~\mathrm m$ ধরে, রকেটের পর্যবেক্ষক স্টেশনের দৈর্ঘ্য পান $24~\mathrm m$।

$\dfrac{L}{L_0}=\sqrt{1-v^2/c^2}=\dfrac{24}{36}=\dfrac23$।

সুতরাং $v=\dfrac{\sqrt5}{3}c=0.74536c\approx2.236\times10^8~\mathrm{m\,s^{-1}}$।

মহাকাশ স্টেশনের জড় কাঠামোতে পর্যবেক্ষক গতিশীল। আগের দৈর্ঘ্য অনুপাত থেকে $\gamma=L_0/L=3/2$।

তাঁর নিশ্চল শক্তি $E_0=mc^2=70(3\times10^8)^2=6.3\times10^{18}~\mathrm J$।

স্টেশনের কাঠামোতে মোট শক্তি $E=\gamma mc^2=9.45\times10^{18}~\mathrm J$ এবং গতিশক্তি $K=3.15\times10^{18}~\mathrm J$।

অতএব স্টেশনের হিসাবে মোট শক্তি নিশ্চল শক্তির চেয়ে বেশি। নিজের রকেটের কাঠামোতে পর্যবেক্ষক স্থির; সেখানে তাঁর শক্তি আবার $E_0$। উক্তিটি প্রসঙ্গ কাঠামোনির্ভর।

এখানে, A এর প্রারম্ভিক পরমাণু সংখ্যা = $\mathrm{N}_0$
$\mathrm{N}_0$ এর $15 \%$ ক্ষয় হতে সময়, $\mathrm{t}=5 \mathrm{y}$
অক্ষত পরমাণুর সংখ্যা, $\mathrm{N}=\mathrm{N}_0$ এর $(100-15) \%=0.85 \mathrm{~N}_0$

মোলটির ক্ষয় ধ্রুবক $\lambda$ হলে,

$N=N_0 e^{-\lambda t}$

বা, $-\lambda t=\ln \left(\frac{N}{N_0}\right)$

বা, $\lambda=\frac{\ln \left(\frac{0.85 \times \mathrm{N}_0}{\mathrm{~N}_0}\right)}{-5}=0.0325 \mathrm{y}^{-1}$

∴ মৌলটির গড় আয়ু, $\tau=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{0.0325}=30.77 \mathrm{y}$

অতএব, A মৌলটির গড় আয়ু 30.77 বছর।

ক্ষয় ধ্রুবক

$\lambda_A=-\dfrac{\ln0.85}{5}=0.0325038~\text{বছর}^{-1}$,

$\lambda_B=-\dfrac{\ln0.85}{15}=0.0108346~\text{বছর}^{-1}$।

একই প্রারম্ভিক পরমাণু সংখ্যার জন্য

$\dfrac{N_B}{N_A}=e^{(\lambda_A-\lambda_B)t}$।

তাই অনুপাত ৩ ও ৬ হতে যথাক্রমে

$t_3=\dfrac{\ln3}{\lambda_A-\lambda_B}\approx50.70~\text{বছর}$,

$t_6=\dfrac{\ln6}{\lambda_A-\lambda_B}\approx82.69~\text{বছর}$।

এবং $t_6/t_3=\ln6/\ln3\approx1.631$, দুই নয়। তাই ছয় গুণ হতে সময় তিন গুণের সময়ের দ্বিগুণ হবে না।

উদ্দীপক হতে,

পীঠ প্রবাহ, $\mathrm{I}_{\mathrm{B}}=0.2 \mathrm{~mA}$

সংগ্রাহক প্রবাহ, $\mathrm{I}_{\mathrm{C}}=10 \mathrm{~mA}$

∴ এমিটার প্রবাহ, $I_E=I_B+I_C=0.2+10=10.2 \mathrm{~mA}$

অতএব, উদ্দীপকের এমিটার কারেন্ট 10.2 mA.

চিত্রের $I_B=0.2~\mathrm{mA}$ ও $I_C=10~\mathrm{mA}$ থেকে সরাসরি প্রবাহ লাভ $\beta=I_C/I_B=50$। কিন্তু একই চিত্রে $\beta=49$ লেখা, তাই তথ্যদুটিতে সামান্য অসংগতি আছে।

সরল ক্ষুদ্র-সংকেত মডেলে $|A_v|=\beta R_L/R_{\mathrm{in}}$। প্রদত্ত লিখিত $\beta=49$ নিলে $|A_v|=2450/R_{\mathrm{in}}$; এক গুণ অর্থাৎ ১০০ শতাংশ প্রশস্ততা অনুপাত পেতে $R_{\mathrm{in}}=2450~\Omega$ লাগবে।

অন্যদিকে প্রবাহের অনুপাত থেকে $\beta=50$ নিলে প্রয়োজনীয় মান $2500~\Omega$। বাস্তব $R_{\mathrm{in}}$ দেওয়া নেই, তাই চিত্রের এই তথ্য থেকে নিঃশর্ত ১০০ শতাংশ ভোল্টেজ লাভ নিশ্চিত করা যায় না।