B = {3,4,5,6} এবং x = y−1
=> R = {(3,4),(4,5),(5,6)}

অতএব R-এর রেঞ্জ = {4,5,6}

U = {1,2,3,4,5,6,7} এবং A = {2,3,5,7}
=> A′ = {1,4,6}

B = {3,4,5,6}
=> B′ = {1,2,7}
=> A′−B′ = {4,6}

অতএব P(A′−B′) = {∅,{4},{6},{4,6}}

y⁴ = 110−$\frac{1}{y⁴}$

=> y⁴+$\frac{1}{y⁴}$ = 110
উভয় পক্ষকে y⁴ দিয়ে গুণ করে পাই
y⁸+1 = 110y⁴
অতএব y⁸−110y⁴+1 = 0

m²−2√30 = 11 এবং m>0
=> m² = 11+2√30 = (√6+√5)²
=> m = √6+√5

$\frac{1}{m}$ = √6−√5
=> m−$\frac{1}{m}$ = 2√5
=> m+$\frac{1}{m}$ = 2√6

$\frac{(m⁸−1)}{m⁴}$ = m⁴−$\frac{1}{m⁴}$
= (m²−$\frac{1}{m²}$)(m²+$\frac{1}{m²}$)
= 4√30×22
= 88√30

বিশেষ নির্বচন: M, L, P, N একই বৃত্তে অবস্থিত, প্রমাণ করতে হবে ∠LMN+∠LPN = 180°

প্রমাণ: MLPN একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ
অতএব ∠LMN+∠LPN = 180°

বিশেষ নির্বচন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ C বিন্দু থেকে CN ও CP স্পর্শক এবং CO স্পর্শ-জ্যা PN-কে ছেদ করে, প্রমাণ করতে হবে CO ⊥ PN এবং CO জ্যা PN-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে

অঙ্কন: ON ও OP যোগ করি
△OCN ও △OCP-এ ON = OP, CN = CP এবং OC সাধারণ
=> △OCN ≅ △OCP

প্রমাণ: ∠NCO = ∠OCP এবং ∠NOC = ∠COP
CO ও PN-এর ছেদবিন্দু Q হলে △ONQ ও △OPQ সর্বসম
=> NQ = PQ এবং ∠OQN = ∠OQP
সন্নিহিত সম্পূরক কোণ দুটি সমান বলে প্রত্যেকটি 90°
অতএব CO ⊥ PN এবং NQ = PQ

বিশেষ নির্বচন: ভূমি BC = 5 সেমি, ∠ABC = 30° এবং AB−AC = 3 সেমি এমন △ABC আঁকতে হবে
অঙ্কন: B-তে 30° কোণ এঁকে রশ্মিতে BD = 3 সেমি নিই, C ও D যোগ করি, D-তে DC-এর সঙ্গে যে কোণ হয় তার সমান কোণ C-তে এঁকে রশ্মিটি BD-এর বর্ধিতাংশকে A-তে ছেদ করাই

∠ADC = ∠DCA বলে AD = AC
আবার AB = AD+DB
=> AB−AC = DB = 3 সেমি
অতএব △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ

বিশেষ নির্বচন: 5 সেমি বাহুবিশিষ্ট সমবাহু △ABC এবং তার পরিবৃত্ত আঁকতে হবে

অঙ্কন: AB = 5 সেমি আঁকি
A ও B কেন্দ্র করে 5 সেমি ব্যাসার্ধের চাপদ্বয়ের ছেদবিন্দু C নিই এবং AC ও BC যোগ করি
AB ও AC-এর লম্বদ্বিখণ্ডকদ্বয়ের ছেদবিন্দু O নিই

OA = OB = OC
O কেন্দ্র এবং OA ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকলে তা A, B ও C দিয়ে যায়
অতএব বৃত্তটি △ABC-এর নির্ণেয় পরিবৃত্ত

বামপক্ষ = $\frac{1}{(2−\cos²θ)}$+$\frac{1}{(2+\cot²θ)}$
= $\frac{1}{(1+\sin²θ)}$+$\frac{\sin²θ}{(1+\sin²θ)}$

= $\frac{(1+\sin²θ)}{(1+\sin²θ)}$
= 1 = ডানপক্ষ

p = cosθ এবং q = cotθ = $\frac{\cosθ}{\sinθ}$
=> $\frac{(p−q)}{(p+q)}$ = $\frac{(\sinθ−1)}{(\sinθ+1)}$

প্রশ্নমতে $\frac{(\sinθ−1)}{(\sinθ+1)}$ = $\frac{(√3−2)}{(√3+2)}$
আড়গুণন করে পাই
(sinθ−1)(√3+2) = (sinθ+1)(√3−2)

=> 4sinθ = 2√3
=> sinθ = $\frac{√3}{2}$
θ সূক্ষ্মকোণ বলে θ = 60°

ভেতরের ব্যাসার্ধ r = 8 সেমি, বাইরের ব্যাসার্ধ R = 10 সেমি এবং উচ্চতা h = 300 সেমি
লোহার আয়তন = π(R²−r²)h
= π(10²−8²)×300 = 10800π ঘনসেমি

পাইপটির ওজন = 10800π×6.5 গ্রাম
= 70200π গ্রাম
= 70.2π কেজি
≈ 220.54 কেজি

পাইপের লোহার আয়তন = 10800π ঘনসেমি

নতুন সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ 4 সেমি ও উচ্চতা H
π×4²×H = 10800π
=> H = 675 সেমি

বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrH
= 2π×4×675
= 5400π বর্গসেমি

N = 30, $\frac{N}{2}$ = 15 এবং মধ্যক শ্রেণি 71–75
এখানে L = 70.5, F = 9, f = 8, h = 5
মধ্যক = 70.5+[$\frac{(15−9)}{8}$]×5
= 74.25

শ্রেণিগুলোর মধ্যমান 63, 68, 73, 78, 83 ও 88 এবং গণসংখ্যা 4, 5, 8, 6, 6 ও 1

বহুভুজ বন্ধ করার জন্য উভয় পাশের কাল্পনিক শ্রেণির মধ্যমান 58 ও 93-এ গণসংখ্যা 0 ধরা হয়

ছক কাগজে (58,0), (63,4), (68,5), (73,8), (78,6), (83,6), (88,1) ও (93,0) বিন্দুগুলো সরলরেখায় যোগ করলে গণসংখ্যা বহুভুজ পাওয়া যায়

সংক্ষিপ্ত পদ্ধতিতে A = 35.5, h = 8 এবং u = $\frac{(x−A)}{h}$

গড় = A+h×$\frac{Σfu}{Σf}$
= 35.5+8×$\frac{3}{56}$
≈ 35.93 কেজি

শ্রেণিগুলোর প্রকৃত উচ্চসীমা 23.5, 31.5, 39.5, 47.5 ও 55.5

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা যথাক্রমে 10, 15, 36, 48 ও 56
প্রারম্ভিক বিন্দু হবে (15.5,0)

ছক কাগজে (15.5,0), (23.5,10), (31.5,15), (39.5,36), (47.5,48) ও (55.5,56) বিন্দুগুলো মসৃণ রেখায় যোগ করলে অজিভ পাওয়া যায়