ভার্নিয়ার ধ্রুবক = 0.05 mm = 0.005 cm।
গোলকের ব্যাস, d = 6.5 + 7 × 0.005 = 6.535 cm।
ব্যাসার্ধ, r = 3.2675 cm।
আয়তন, V = (4/3)πr³ = (π/6)d³ ≈ 146.13 cm³।
অতএব গোলকটির আয়তন প্রায় 146.13 cm³।
সরল দোলকের দোলনকাল, T = 2π√(l/g)।
এখানে g ধ্রুব হলে, T ∝ l¹ᐟ²।
অতএব ΔT/T = ½ × Δl/l।
দৈর্ঘ্যের আপেক্ষিক ত্রুটি 2% হলে, দোলনকালের আপেক্ষিক ত্রুটি = ½ × 2% = 1%।
দৃশ্যকল্প-১:
দৃশ্যকল্প-২ : একটি গাড়ি স্থির অবস্থা থেকে সুষম ত্বরণে 600 m দূরত্ব অতিক্রম করতে 60 s সময় লাগে।
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 4 cm। পাথরটি 180° ঘুরে বৃত্তের বিপরীত প্রান্তে পৌঁছায়। সরণ হলো আদি ও শেষ অবস্থানের সরলরৈখিক দূরত্ব, অর্থাৎ ব্যাস।
সরণ = 2r = 2 × 4 = 8 cm।
দেওয়া আছে, u = 0, s = 600 m এবং t = 60 s।
s = ut + ½at² থেকে, 600 = ½a × 60²; অতএব a = 1/3 m/s²।
প্রথম এক-চতুর্থাংশ সময় = 15 s।
s₁ = ½ × (1/3) × 15² = 37.5 m।
45 s-এ মোট দূরত্ব, s₄₅ = ½ × (1/3) × 45² = 337.5 m।
শেষ 15 s-এ দূরত্ব, s₂ = 600 − 337.5 = 262.5 m।
অতএব s₁ : s₂ = 37.5 : 262.5 = 1 : 7।
ঘর্ষণ বল, f = μN = μmg।
অতএব μ = f/(mg) = 5/(3 × 9.8) ≈ 0.17।
অতএব গতীয় ঘর্ষণ গুণাঙ্ক প্রায় 0.17।
বর্তমান লব্ধ বল = 60 − 5 = 55 N।
ত্বরণ, a = 55/3 m/s²।
10 s পরে বেগ, v = u + at = 6 + (55/3) × 10 ≈ 189.33 m/s।
লক্ষ্য বেগ = 3v = 568 m/s। একই 10 s-এ প্রয়োজনীয় ত্বরণ, a′ = (568 − 6)/10 = 56.2 m/s²।
প্রয়োজনীয় প্রয়োগবল F′ হলে, F′ − 5 = 3 × 56.2। তাই F′ = 173.6 N।
অতএব প্রয়োগবল 173.6 − 60 = 113.6 N বাড়াতে হবে।
পাথরের মোট যান্ত্রিক শক্তি, E = ½mu² = ½ × 0.2 × 49² = 240.1 J।
কোনো উচ্চতায় বিভবশক্তি U এবং গতিশক্তি K হলে E = U + K। শর্ত অনুযায়ী U = K/5, অর্থাৎ K = 5U।
তাই E = 6U এবং U = 240.1/6 J।
mgh = 240.1/6।
h = 240.1/(6 × 0.2 × 9.8) ≈ 20.42 m।
অতএব প্রায় 20.42 m উচ্চতায় বিভবশক্তি গতিশক্তির এক-পঞ্চমাংশ হবে।
মোটরের ইনপুট ক্ষমতা, P = 7.2 × 746 = 5371.2 W।
উপযোগী আউটপুট ক্ষমতা = mgh/t = (200 × 9.8 × 80)/50 = 3136 W।
প্রাথমিক কর্মদক্ষতা, η = 3136/5371.2 × 100% ≈ 58.38%।
কর্মদক্ষতা 5 শতাংশ-বিন্দু বাড়লে η′ = 63.38%। একই P, h ও t-তে উত্তোলিত ভর কর্মদক্ষতার সমানুপাতিক।
m′ = 200 × 63.38/58.38 ≈ 217.13 kg।
অতএব অতিরিক্ত পানি ≈ 217.13 − 200 = 17.13 kg।
চিত্রে 1.5 × 10⁻³ s সময়ে 2.5টি পূর্ণ কম্পন সম্পন্ন হয়েছে।
অতএব কম্পাঙ্ক, f = n/t = 2.5/(1.5 × 10⁻³) ≈ 1.67 × 10³ Hz।
35°C তাপমাত্রায় শব্দের বেগ, v = 330 + 0.6 × 35 = 351 m/s।
প্রতিফলকের প্রাথমিক দূরত্ব d = 24 m এবং ব্যক্তি বিপরীত দিকে u = 3.5 m/s বেগে দৌড়ায়। প্রতিধ্বনির মোট সময় t হলে শব্দের মোট পথ 2d + ut।
vt = 2d + ut। তাই t = 2d/(v − u) = 48/(351 − 3.5) ≈ 0.138 s।
যেহেতু 0.138 s > 0.1 s, প্রতিফলিত শব্দ মূল শব্দ থেকে পৃথক শোনা যাবে। অতএব B ব্যক্তি প্রতিধ্বনি শুনতে পাবে।
অবতল দর্পণের বক্রতার ব্যাসার্ধ R = 60 cm, তাই ফোকাস দূরত্ব f = R/2 = 30 cm।
চিত্রে CP = 60 cm এবং BC = 10 cm, তাই বস্তু দূরত্ব u = PB = 50 cm।
দর্পণ সূত্রে, 1/f = 1/u + 1/v।
1/30 = 1/50 + 1/v; তাই v = 75 cm।
বিবর্ধনের মান |m| = v/u = 75/50 = 1.5।
বস্তুর উচ্চতা 4 cm হলে প্রতিবিম্বের উচ্চতা = 1.5 × 4 = 6 cm। প্রতিবিম্বটি উল্টো, তাই চিহ্নসহ উচ্চতা −6 cm।
বস্তুটি 30 cm দর্পণের দিকে আনলে নতুন বস্তু দূরত্ব u = 50 − 30 = 20 cm। যেহেতু u < f, প্রতিবিম্ব অবাস্তব, সোজা ও বিবর্ধিত হবে।
কার্তেসীয় চিহ্নরীতিতে f = −30 cm এবং u = −20 cm।
1/f = 1/v + 1/u থেকে, −1/30 = 1/v − 1/20।
অতএব 1/v = 1/60 এবং v = +60 cm। অর্থাৎ প্রতিবিম্ব দর্পণের পেছনে 60 cm দূরে হবে।
বিবর্ধন, m = −v/u = −60/(−20) = 3। তাই 4 cm বস্তুর প্রতিবিম্ব 12 cm, সোজা ও অবাস্তব হবে।
রশ্মিচিত্রে প্রধান অক্ষের সমান্তরাল রশ্মি প্রতিফলনের পর F দিয়ে যায় এবং মেরুতে আপতিত রশ্মি সমান কোণে প্রতিফলিত হয়; প্রতিফলিত রশ্মিদ্বয়ের পশ্চাৎমুখী বর্ধিতাংশ দর্পণের পেছনে মিলিত হয়ে বিবর্ধিত অবাস্তব প্রতিবিম্ব গঠন করে।
বিচ্ছিন্ন পরিবাহী গোলকের সঞ্চিত তড়িৎ শক্তি, U = ½QV = kQ²/(2r)।
P গোলকের জন্য Q = 30 μC = 30 × 10⁻⁶ C এবং r = 6 cm = 0.06 m।
U = [9 × 10⁹ × (30 × 10⁻⁶)²]/(2 × 0.06) = 67.5 J।
অতএব P গোলকে সঞ্চিত শক্তি 67.5 J।
P ও Q গোলকের কেন্দ্রের দূরত্ব, d = 20 + 0.06 + 0.04 = 20.10 m।
P থেকে R-এর দূরত্ব x হলে Q থেকে দূরত্ব d − x। সাম্যাবস্থায় দুই দিকের তড়িৎ বল সমান হবে।
k(30)(25)/x² = k(10)(25)/(d − x)²।
অতএব √3/x = 1/(d − x), অর্থাৎ x = √3d/(1 + √3)।
x ≈ (1.732 × 20.10)/2.732 ≈ 12.74 m।
অতএব R-কে P-এর কেন্দ্র থেকে প্রায় 12.74 m বা Q-এর কেন্দ্র থেকে প্রায় 7.36 m দূরে, গোলকদ্বয়ের মাঝখানে রাখতে হবে। সমজাতীয় দুই উৎস আধানের মাঝের এই সাম্যাবস্থা অস্থিতিশীল।
নিউটনের মহাকর্ষ সূত্র অনুযায়ী, F = Gm₁m₂/r²।
অতএব G = Fr²/(m₁m₂)।
সুতরাং [G] = [MLT⁻²][L²]/[M²] = [M⁻¹L³T⁻²]।
অতএব মহাকর্ষীয় ধ্রুবক G-এর মাত্রা [M⁻¹L³T⁻²]।
গুলি ছোড়ার আগে বন্দুক-গুলির মোট ভরবেগ শূন্য।
ভরবেগ সংরক্ষণ সূত্রে,
2v + 0.010 × 300 = 0
অতএব v = −3/2 = −1.5 m/s।
ঋণাত্মক চিহ্ন বিপরীত দিক বোঝায়। তাই বন্দুকের পশ্চাৎবেগ 1.5 m/s।