স্ক্রু-গজের বৃত্তাকার স্কেল এক ভাগ ঘোরালে স্ক্রুটি যতটুকু সরণ করে, তাকে স্ক্রু-গজের ন্যূনাঙ্ক বলে।
ন্যূনাঙ্ক = স্ক্রুর পিচ/বৃত্তাকার স্কেলের মোট ভাগসংখ্যা।
20টি ভার্নিয়ার ঘর = 19টি মূল স্কেল ঘর এবং 1 MSD = 0.1 cm।
1 VSD = (19/20) × 0.1 = 0.095 cm।
ভার্নিয়ার ধ্রুবক, VC = 1 MSD − 1 VSD = 0.1 − 0.095 = 0.005 cm।
দৈর্ঘ্যের জন্য, 14 + A × 0.005 = 14.06।
অতএব A = 0.06/0.005 = 12।
ভার্নিয়ার ধ্রুবক 0.005 cm-কে প্রতিটি দৈর্ঘ্য পরিমাপের সর্বোচ্চ চূড়ান্ত ত্রুটি ধরা যায়।
প্রস্থ, b = 12 + 8 × 0.005 = 12.04 cm।
উচ্চতা, h = 13 + 10 × 0.005 = 13.05 cm।
আয়তন, V = lbh = 14.06 × 12.04 × 13.05 ≈ 2209.14 cm³।
গুণফলের সর্বোচ্চ আপেক্ষিক ত্রুটি,
ΔV/V = Δl/l + Δb/b + Δh/h
= 0.005/14.06 + 0.005/12.04 + 0.005/13.05
≈ 0.001154।
অতএব আয়তনের শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি ≈ 0.115%। তাই প্রদত্ত পাঠ ও যন্ত্রের ন্যূনাঙ্ক থেকে আয়তনের আপেক্ষিক ত্রুটি পরিমাপ করা সম্ভব।
লেখচিত্রে 25 s থেকে 35 s পর্যন্ত বেগ 6 m/s ধ্রুব।
সমবেগে অতিক্রান্ত দূরত্ব = বেগ × সময়
= 6 × (35 − 25)
= 60 m।
বেগ–সময় লেখচিত্রের ঢাল ত্বরণ নির্দেশ করে।
0–15 s: a₁ = (8 − 2)/(15 − 0) = +0.4 m/s²।
15–25 s: a₂ = (6 − 8)/(25 − 15) = −0.2 m/s²।
25–35 s: a₃ = (6 − 6)/10 = 0।
35–40 s: a₄ = (8 − 6)/5 = +0.4 m/s²।
40–45 s: a₅ = (0 − 8)/5 = −1.6 m/s²।
অতএব ত্বরণ পর্যায়ক্রমে +0.4, −0.2, 0, +0.4 এবং −1.6 m/s²। সংযুক্ত ত্বরণ–সময় লেখচিত্রে প্রতিটি সময়-পর্ব দেখানো হয়েছে।
ধরি +15 C আধানটি x = 0 এবং −10 C আধানটি x = 2 m-এ। বিপরীত আধানের মাঝখানে ক্ষেত্র একই দিকে, তাই সেখানে প্রাবল্য শূন্য হবে না। শূন্য বিন্দু ছোট আধান −10 C-এর বাইরের পাশে হবে।
+15 C থেকে বিন্দুটির দূরত্ব x হলে −10 C থেকে দূরত্ব x − 2।
k × 15/x² = k × 10/(x − 2)²।
√15/x = √10/(x − 2)।
x = 2√15/(√15 − √10) ≈ 10.90 m।
অতএব শূন্য-প্রাবল্য বিন্দুটি +15 C আধান থেকে 10.90 m বা −10 C আধান থেকে 8.90 m দূরে, −10 C আধানের বাইরের পাশে।
হ্যাঁ, তড়িৎ আবেশে সম্ভব। নিরপেক্ষ A ও B ধাতব গোলককে পরস্পর স্পর্শ করিয়ে A-এর কাছে +15 C আধান আনলে মুক্ত ইলেকট্রন B থেকে A-তে সরে আসে। ফলে A-তে ঋণাত্মক এবং B-তে ধনাত্মক আধানের বিভাজন ঘটে।
বাহ্যিক আধানটি কাছে রেখেই গোলক দুটিকে আলাদা করলে A ও B যথাক্রমে ঋণাত্মক ও ধনাত্মক আধান ধরে রাখে। পরে +15 C আধান সরিয়ে নিলেও গোলক দুটি বিপরীত প্রকৃতির দুই ভিন্ন আধানযুক্ত থাকে।
সুতা টানটান থাকলে 100 kg বস্তু নিচে এবং 50 kg বস্তু ওপরে ওঠে। সিস্টেমের ত্বরণ,
a = [(100 − 50)/(100 + 50)]g = g/3।
50 kg বস্তুটি x দূরত্ব ওপরে উঠলে v² = 2ax = 2gx/3।
তার গতিশক্তি, K = ½ × 50 × v² = 50gx/3।
ভূ-পৃষ্ঠ থেকে উচ্চতা 30 + x, তাই বিভবশক্তি U = 50g(30 + x)।
K = U/3 ধরলে, 50gx/3 = 50g(30 + x)/3।
এতে x = 30 + x বা 0 = 30 পাওয়া যায়, যা অসম্ভব।
অতএব pulley-তে যুক্ত অবস্থায় 50 kg বস্তুটি ওপরে ওঠায় কোনো সসীম উচ্চতায় তার গতিশক্তি বিভবশক্তির এক-তৃতীয়াংশ হবে না। প্রশ্নটি যদি 30 m থেকে স্বাধীন মুক্তপতন বোঝাত, তবে ফল 22.5 m হতো; কিন্তু তা প্রদত্ত pulley ব্যবস্থার সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়।
হালকা ও অপ্রসারণশীল একই সুতা কপিকলের উপর টানটান থাকায় উভয় প্রান্ত সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।
সিস্টেমের ত্বরণ, a = [(100 − 50)/(100 + 50)]g = g/3।
প্রতিটি বস্তু s = 2 m চললে,
v² = u² + 2as = 0 + 2 × (g/3) × 2 = 4g/3।
v = √(4 × 9.8/3) ≈ 3.61 m/s।
অতএব উভয় বস্তুর বেগের মান 3.61 m/s সমান; তবে 100 kg বস্তু নিচে এবং 50 kg বস্তু ওপরে চলে বলে তাদের বেগের দিক বিপরীত।
30°C তাপমাত্রায় শব্দের বেগ,
v = 330 + 0.6 × 30 = 348 m/s।
কম্পাঙ্ক f = 1500 Hz।
তরঙ্গ সমীকরণ v = fλ থেকে,
λ = v/f = 348/1500 = 0.232 m।
অতএব তরঙ্গদৈর্ঘ্য 0.232 m বা 23.2 cm।
প্রথম অবস্থানে প্রতিধ্বনির সময় 0.5 s। তাই ভবনের দূরত্ব,
d = vt/2 = 348 × 0.5/2 = 87 m।
সাফিন 7 s-এ অতিক্রম করে, s = 10 × 7 = 70 m।
নতুন দূরত্ব = 87 − 70 = 17 m।
নতুন অবস্থানে প্রতিফলিত শব্দ ফিরে আসার সময়,
t′ = 2 × 17/348 ≈ 0.0977 s।
মানুষের শ্রুতির স্থায়িত্ব প্রায় 0.1 s। যেহেতু 0.0977 s < 0.1 s, প্রতিফলিত শব্দ মূল শব্দ থেকে পৃথক শোনা যাবে না। অতএব সাফিন পুনরায় স্পষ্ট প্রতিধ্বনি শুনতে পারবে না।
B একটি উত্তল দর্পণ। চিত্রে ফোকাস দূরত্ব f = 6 cm এবং বস্তু দূরত্ব u = 4 cm। উত্তল দর্পণের জন্য বিম্ব দূরত্বের মান,
v = fu/(f + u)
= (6 × 4)/(6 + 4)
= 2.4 cm।
অতএব PQ-এর সোজা, অবাস্তব ও ছোট বিম্ব B দর্পণের পেছনে মেরু থেকে 2.4 cm দূরে তৈরি হবে।
হ্যাঁ, সম্ভব। A অবতল দর্পণে চিত্র অনুযায়ী বস্তু দূরত্ব 5 cm এবং ফোকাস F বস্তু ও মেরুর মধ্যবিন্দুতে; তাই f = 2.5 cm এবং u = 5 cm = 2f। অর্থাৎ বস্তুটি বক্রতার কেন্দ্র C-তে আছে।
দর্পণ সূত্রে u = 2f হলে v = 2f = 5 cm।
বিবর্ধন, m = −v/u = −5/5 = −1।
অতএব বিবর্ধনের মান |m| = 1; প্রতিবিম্ব C-তেই বাস্তব, উল্টো এবং বস্তুর সমান আকারের হয়। সংযুক্ত রশ্মিচিত্রে প্রধান অক্ষের সমান্তরাল রশ্মি প্রতিফলনের পর F দিয়ে এবং C-গামী রশ্মি একই পথে ফিরে গিয়ে C-তে প্রতিবিম্ব গঠন করেছে।
কোনো বস্তুর ভরবেগের পরিবর্তনের হার তার উপর প্রযুক্ত বলের সমানুপাতিক এবং ভরবেগের পরিবর্তন বলের দিকেই ঘটে—এটি নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র।
গাণিতিকভাবে, F = dp/dt; ভর ধ্রুব হলে F = ma।
A বস্তুর ভর m = 25 kg, ঘর্ষণ গুণাঙ্ক μ = 0.2।
অভিলম্ব প্রতিক্রিয়া N = mg = 25 × 9.8 N।
ঘর্ষণ বল, f = μN = 0.2 × 25 × 9.8 = 49 N।
অতএব A-এর উপর ঘর্ষণ বল 49 N, তার গতির বিপরীত দিকে।
A-এর ডানমুখী দিক ধনাত্মক ধরলে প্রাথমিক মোট ভরবেগ,
Pᵢ = 25 × 10 + 20 × (−20) = −150 kg·m/s।
সিস্টেমের জন্য নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রের ঘাতরূপ,
P𝒻 − Pᵢ = Jₑₓₜ = FₑₓₜΔt।
A-এর ঘর্ষণ 49 N বামে এবং B-এর ঘর্ষণ 0.2 × 20 × 9.8 = 39.2 N ডানে। তাই সংঘর্ষ-পূর্ব লব্ধ বাহ্যিক বল = 39.2 − 49 = −9.8 N, যা শূন্য নয়।
অতএব কঠোরভাবে ভরবেগ সংরক্ষিত হওয়ার শর্ত Jₑₓₜ = 0—অর্থাৎ ঘর্ষণ শূন্য, বাহ্যিক বলগুলোর লব্ধি শূন্য, অথবা সংঘর্ষকাল এত ক্ষুদ্র যে ঘর্ষণের ঘাত উপেক্ষণীয়। এই শর্তে P𝒻 = Pᵢ = −150 kg·m/s হবে। শুধু ‘স্থিতিস্থাপক সংঘর্ষ’ বলা যথেষ্ট নয়; সিস্টেমকে বাহ্যিক ঘাতমুক্তও হতে হবে।