উত্তর

স্ক্রু-গজের বৃত্তাকার স্কেল এক ভাগ ঘোরালে তার প্রান্ত যতটুকু সরণ করে, তাকে স্ক্রু-গজের ন্যূনাঙ্ক বলে।

ন্যূনাঙ্ক = স্ক্রুর পিচ/বৃত্তাকার স্কেলের মোট ভাগসংখ্যা।

উত্তর মাত্রা বিশ্লেষণ দিয়ে কোনো ভৌত সমীকরণের দুই পাশের মাত্রা সমান কি না পরীক্ষা করে সমীকরণের মাত্রাগত শুদ্ধতা যাচাই করা যায়। এটি বিভিন্ন ভৌত রাশির মধ্যে সম্ভাব্য সম্পর্ক নির্ণয় এবং এক একক-পদ্ধতি থেকে অন্য একক-পদ্ধতিতে রাশির মান রূপান্তরেও সহায়তা করে। তবে মাত্রাহীন ধ্রুবকের মান বা একই মাত্রার পদযুক্ত সমীকরণের পূর্ণ শুদ্ধতা এটি নির্ণয় করতে পারে না।

উত্তর

ভার্নিয়ার ধ্রুবক,

VC = 1 mm/20

= 0.05 mm

= 0.005 cm।

পরিমাপ 4.06 cm-এ মূল স্কেল পাঠ = 4.00 cm ধরলে ভার্নিয়ার অংশের পাঠ,

= 4.06 − 4.00

= 0.06 cm।

ভার্নিয়ার সমপাতন n হলে,

n × 0.005 = 0.06

অতএব n = 12।

শূন্য ত্রুটি না থাকলে ভার্নিয়ার স্কেলের 12তম দাগ মূল স্কেলের কোনো দাগের সঙ্গে মিলে যায়।

উত্তর

গোলকের আয়তন,

V = (π/6)d³।

লগারিদমিক অন্তরীকরণ বা সর্বোচ্চ আপেক্ষিক ত্রুটির নিয়মে,

ΔV/V = 3Δd/d।

উভয় পাশে 100% গুণ করলে,

আয়তনের শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি = 3 × ব্যাসের শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি

= 3 × 1%

= 3%।

অতএব গোলকের আয়তন পরিমাপের আপেক্ষিক ত্রুটি ব্যাস পরিমাপের আপেক্ষিক ত্রুটির তিনগুণ।

উত্তর কোনো বস্তুর গতি যদি নির্দিষ্ট সময় পর পর একই অবস্থায় ফিরে আসে এবং একইভাবে পুনরাবৃত্ত হয়, তাকে পর্যায়বৃত্ত গতি বলে।

উত্তর গড় বেগ = মোট সরণ/মোট সময়, আর গড় দ্রুতি = মোট দূরত্ব/মোট সময়। কোনো বস্তু একটি বন্ধ পথে ঘুরে আবার শুরুর বিন্দুতে ফিরলে মোট সরণ শূন্য, তাই গড় বেগ শূন্য। কিন্তু বস্তুটি একটি নির্দিষ্ট পথ অতিক্রম করেছে বলে মোট দূরত্ব শূন্য নয়; ফলে গড় দ্রুতি শূন্য নয়।

উত্তর

প্রথম 1 min 20 s = 80 s। বেগ–সময় লেখের নিচের ক্ষেত্রফলই অতিক্রান্ত দূরত্ব।

0–60 s-এ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,

s₁ = ½ × 60 × 12

= 360 m।

60–80 s-এ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল,

s₂ = 20 × 12

= 240 m।

মোট দূরত্ব,

s = s₁ + s₂

= 360 + 240

= 600 m।

উত্তর

0–60 s-এ বেগ 0 থেকে 12 m s⁻¹-এ সমভাবে বাড়ে। তাই,

a₁ = (12 − 0)/(60 − 0)

= +0.2 m s⁻²।

60–80 s-এ বেগ ধ্রুব 12 m s⁻¹, তাই a₂ = 0।

80–120 s-এ বেগ 12 থেকে 0 m s⁻¹-এ সমভাবে কমে। তাই,

a₃ = (0 − 12)/(120 − 80)

= −0.3 m s⁻²।

অতএব ত্বরণ–সময় লেখটি 0–60 s-এ +0.2 m s⁻², 60–80 s-এ শূন্য এবং 80–120 s-এ −0.3 m s⁻²-এর তিনটি অনুভূমিক অংশ। সংযুক্ত চিত্রে লেখটি দেখানো হয়েছে।

উত্তর একটি বস্তু অন্য একটি তলের ওপর গড়িয়ে বা ঘুরতে ঘুরতে চলার সময় গতির বিপরীতে যে ঘর্ষণ বল ক্রিয়া করে, তাকে আবর্ত ঘর্ষণ বলে।

উত্তর চলন্ত গাড়িতে মানুষের শরীর গাড়ির বেগেই চলতে থাকে। নামার সময় পা মাটির সংস্পর্শে এসে ঘর্ষণের কারণে দ্রুত থেমে যায়, কিন্তু শরীরের ওপরের অংশ গতিজড়তার জন্য সামনের দিকে চলতে চায়। ফলে শরীর ভারসাম্য হারিয়ে মানুষ সামনের দিকে পড়ে যায়।

উত্তর

t সময় পরে A-এর অতিক্রান্ত দূরত্ব,

sA = 25t + ½ × 0.5t²

= 25t + 0.25t²।

একই সময়ে B-এর অতিক্রান্ত দূরত্ব,

sB = 20t + ½ × 0.4t²

= 20t + 0.20t²।

সংঘর্ষের সময় sA + sB = 187.2। তাই,

45t + 0.45t² = 187.2

বা, 0.45t² + 45t − 187.2 = 0।

সমাধান করে ধনাত্মক মূল পাই,

t = 4 s।

উত্তর

প্রাথমিক মোট গতিশক্তি,

K₁ = ½ × 8 × 25² + ½ × 2 × 20²

= 2500 + 400

= 2900 J।

4 s পরে সংঘর্ষের ঠিক আগে A-এর বেগ,

vA = 25 + 0.5 × 4

= 27 m s⁻¹।

B-এর বেগের মান,

vB = 20 + 0.4 × 4

= 21.6 m s⁻¹।

তখন মোট গতিশক্তি,

K₂ = ½ × 8 × 27² + ½ × 2 × 21.6²

= 2916 + 466.56

= 3382.56 J।

এখানে K₂ ≠ K₁; গতিশক্তি 482.56 J বেড়েছে। কারণ চলার সময় মার্বেল দুটির ওপর ত্বরণ সৃষ্টিকারী বাহ্যিক বল কাজ করেছে। তাই প্রাথমিক অবস্থা থেকে সংঘর্ষের মুহূর্ত পর্যন্ত ঘটনাটি গতিশক্তি সংরক্ষণ নীতি মেনে চলে না। সংঘর্ষের পরের গতিশক্তি বিচার করতে হলে সংঘর্ষোত্তর বেগও প্রয়োজন।

উত্তর যে বাহ্যিক প্রভাব কোনো বস্তুর স্থির বা গতিশীল অবস্থার পরিবর্তন করে বা পরিবর্তন করতে চায়, তাকে বল বলে।

উত্তর পাওয়ার স্টেশনটির ক্ষমতা 200 MW অর্থ, এটি প্রতি সেকেন্ডে 200 MJ বা 2 × 10⁸ J বৈদ্যুতিক শক্তি সরবরাহ বা রূপান্তর করতে পারে।

উত্তর

প্রথম মোটরের কার্যকর ক্ষমতা,

Pout = ηPin

= 0.70 × 1000

= 700 W।

5 min = 300 s-এ কার্যকর কাজ,

W = Poutt

= 700 × 300

= 210000 J।

পানি তুলতে W = mgh। তাই,

m = W/(gh)

= 210000/(9.8 × 30)

≈ 714.3 kg।

অতএব প্রথম মোটরটি 5 min-এ প্রায় 714 kg পানি 30 m উচ্চতায় তুলতে পারবে।

উত্তর

দ্বিতীয় মোটরের কার্যকর ক্ষমতা,

Pout = mgh/t

= (1000 × 9.8 × 10)/120

≈ 816.7 W।

এর কর্মদক্ষতা,

η₂ = (Pout/Pin) × 100%

= (816.7/2000) × 100%

≈ 40.8%।

প্রথম মোটরের কর্মদক্ষতা 70%, যা দ্বিতীয় মোটরের 40.8%-এর চেয়ে বেশি। একই উপযোগী উত্তোলনকাজে প্রথম মোটরে শক্তির অপচয় কম হবে। তাই শক্তি-সাশ্রয় ও কর্মদক্ষতার বিচারে প্রথম মোটর নির্বাচন করব। তবে নির্দিষ্ট সময়ে বেশি পানি তোলাই একমাত্র লক্ষ্য হলে দ্বিতীয় মোটরের কার্যকর ক্ষমতা 816.7 W, যা প্রথমটির 700 W-এর চেয়ে বেশি—সেক্ষেত্রে দ্বিতীয়টি দ্রুততর।

উত্তর কোনো কম্পনশীল বস্তু এক সেকেন্ডে যতটি পূর্ণ কম্পন সম্পন্ন করে, তাকে তার কম্পাঙ্ক বলে। এর SI একক Hz।

উত্তর

তরঙ্গের তীব্রতা I তার বিস্তার A-এর বর্গের সমানুপাতিক, অর্থাৎ I ∝ A²। বিস্তার দ্বিগুণ হলে A₂ = 2A₁। তাই,

I₂/I₁ = (A₂/A₁)²

= 2²

= 4।

অতএব শব্দতরঙ্গের বিস্তার দ্বিগুণ হলে তীব্রতা চারগুণ হয়।

উত্তর

30°C-এ শব্দের বেগ,

v = 330 + 0.6 × 30

= 348 m s⁻¹।

তরঙ্গদৈর্ঘ্য λ = 15 cm = 0.15 m।

কম্পাঙ্ক,

f = v/λ

= 348/0.15

= 2320 Hz।

পর্যায়কাল,

T = 1/f

= 1/2320

≈ 4.31 × 10⁻⁴ s।

উত্তর

প্রতিফলকের বিপরীত দিকে দৌড়ানোর সময় t = 0.5 s-এ শব্দের মোট পথ,

2d + ut = vt।

অতএব প্রাথমিক দূরত্ব,

d = (v − u)t/2

= (348 − 10) × 0.5/2

= 84.5 m।

একই প্রাথমিক দূরত্ব থেকে প্রতিফলকের দিকে 10 m s⁻¹ বেগে দৌড়ালে প্রতিধ্বনির সময় t′ হবে,

2d − ut′ = vt′

অথবা t′ = 2d/(v + u)

= 169/(348 + 10)

≈ 0.472 s।

0.472 s < 0.5 s। তাই প্রতিফলকের দিকে দৌড়ালে রাফিয়া একই সময় পরে নয়, প্রায় 0.472 s পরেই প্রতিধ্বনি শুনত।

উত্তর গোলীয় দর্পণের পোল ও প্রধান ফোকাসের মধ্যবর্তী দূরত্বকে দর্পণের ফোকাস দূরত্ব বলে।

উত্তর প্রধান অক্ষের সমান্তরাল আলোকরশ্মিগুলো অবতল দর্পণে প্রতিফলনের পর প্রধান অক্ষের ওপর একটি বিন্দুতে মিলিত হয়। এই বিন্দুটি প্রধান ফোকাস। প্রতিফলিত রশ্মিগুলোকে বাস্তবে একত্র করে বলে অবতল দর্পণকে অভিসারী দর্পণ বলা হয়।

উত্তর

নতুন কার্তেসীয় চিহ্নরীতিতে অবতল দর্পণের জন্য,

f = −20 cm এবং u = −50 cm।

দর্পণ সূত্র,

1/f = 1/v + 1/u।

তাই,

1/v = 1/f − 1/u

= −1/20 + 1/50

= −3/100।

অতএব v = −100/3 cm ≈ −33.3 cm।

বিম্বটি দর্পণের সামনে 33.3 cm দূরে গঠিত হয়; এটি বাস্তব ও উল্টো।

উত্তর

বস্তুটি প্রধান ফোকাস F-এ, অর্থাৎ দর্পণের সামনে 20 cm দূরে রাখলে প্রতিফলিত রশ্মিগুলো পরস্পরের সমান্তরাল হয়ে যায়। দর্পণ সূত্রেও u = f হলে,

1/v = 1/f − 1/u = 0

অতএব v → ∞।

অর্থাৎ রশ্মিগুলো কোনো সসীম দূরত্বে মিলিত হয় না; প্রতিবিম্ব অসীমে গঠিত বলে পর্দায় সসীম অবস্থানে প্রতিবিম্ব পাওয়া যায় না। সংযুক্ত রশ্মিচিত্রে সমান্তরাল প্রতিফলিত রশ্মি দেখানো হয়েছে।

উত্তর তড়িৎক্ষেত্রে একক ধনাত্মক আধানকে এক বিন্দু থেকে অন্য বিন্দুতে নিতে সম্পন্ন কাজের পরিমাণকে বিন্দু দুটির বিভব পার্থক্য বলে। অর্থাৎ V = W/q।

উত্তর কোনো বস্তুর ধারকত্ব 10 F অর্থ, বস্তুটির বিভব 1 V বাড়াতে তাকে 10 C আধান দিতে হয়; কারণ C = Q/V।

উত্তর

qP = +60 C, qQ = +30 C এবং r = 30 cm = 0.30 m।

কুলম্বের সূত্রে,

F = K|qPqQ|/r²

= (9 × 10⁹ × 60 × 30)/(0.30)²

= 1.8 × 10¹⁴ N।

আধান দুটি সমধর্মী বলে বলটি বিকর্ষণধর্মী।

উত্তর

R বিন্দুতে P-এর জন্য তড়িৎ প্রাবল্য,

EP = KqP/(PR)²

= 9 × 10⁹ × 60/(0.22)²

≈ 1.12 × 10¹³ N C⁻¹, Q-এর দিকে।

Q-এর জন্য তড়িৎ প্রাবল্য,

EQ = KqQ/(QR)²

= 9 × 10⁹ × 30/(0.08)²

≈ 4.22 × 10¹³ N C⁻¹, P-এর দিকে।

অতএব EP ≠ EQ; Q-এর ক্ষেত্রপ্রাবল্য প্রায় 3.78 গুণ বেশি। দুটি ক্ষেত্র বিপরীতমুখী হওয়ায় লব্ধ প্রাবল্য,

E = EQ − EP

≈ 3.10 × 10¹³ N C⁻¹, P-এর দিকে।

তাই R বিন্দুতে P ও Q-এর জন্য তড়িৎ প্রাবল্য একই নয়।