50 VSD = 49 MSD
1 MSD = 1 mm হলে,
1 VSD = 49/50 mm
ভার্নিয়ার ধ্রুবক,
VC = 1 MSD − 1 VSD
= 1 − 49/50
= 1/50 mm
= 0.02 mm = 0.002 cm
মোট পাঠ = প্রধান স্কেল পাঠ + (ভার্নিয়ার সমপাতন × VC)
12.52 = 12.5 + n × 0.002
n = (12.52 − 12.5)/0.002
= 10
অতএব ভার্নিয়ার সমপাতন 10 নম্বর দাগে।
প্রথম শিক্ষার্থীর স্লাইড ক্যালিপার্সের ন্যূনাঙ্ক Δl = 0.002 cm। বর্গের বাহু l = 12.52 cm হলে,
A₁ = l² = 12.52² = 156.7504 cm²
ক্ষেত্রফলের সর্বোচ্চ আপেক্ষিক শতকরা ত্রুটি,
ΔA₁/A₁ × 100% = 2Δl/l × 100%
= (2 × 0.002/12.52) × 100%
≈ 0.032%
দ্বিতীয় শিক্ষার্থীর 2.5 cm পাঠটি 0.1 cm পর্যন্ত লেখা হয়েছে ধরে Δd = 0.1 cm। তারের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল A₂ = πd²/4 হলে,
ΔA₂/A₂ × 100% = 2Δd/d × 100%
= (2 × 0.1/2.5) × 100%
= 8%
অতএব এই প্রচলিত পাঠ-নির্ভুলতার ভিত্তিতে প্রথম শিক্ষার্থীর ক্ষেত্রফল পরিমাপ বেশি গ্রহণযোগ্য। তবে উদ্দীপকে দ্বিতীয় শিক্ষার্থীর যন্ত্র বা ন্যূনাঙ্ক দেওয়া নেই; তাই তার প্রকৃত ত্রুটি এবং তুলনাটি শর্তহীনভাবে নির্ণয় করা যায় না।
দেওয়া আছে,
u = 10 m s⁻¹, a = 1 m s⁻², t = 10 s
অতিক্রান্ত দূরত্ব,
s = ut + ½at²
= 10 × 10 + ½ × 1 × 10²
= 100 + 50
= 150 m
অতএব প্রথম 10 s-এ গাড়িটি 150 m দূরত্ব অতিক্রম করে।
10 s শেষে গাড়ির বেগ,
v = u + at
= 10 + 1 × 10
= 20 m s⁻¹
তখন গতিশক্তি,
Eₖ = ½mv²
= ½ × 1 × 20²
= 200 J
ধাক্কা বন্ধ হওয়ার পর মেঝে ঘর্ষণহীন হওয়ায় গাড়ির ওপর কোনো লব্ধ অনুভূমিক বল নেই। তাই a = 0 এবং গাড়ির বেগ 20 m s⁻¹ অপরিবর্তিত থাকে। পরবর্তী যেকোনো সময়ে,
Eₖ′ = ½ × 1 × 20² = 200 J
অতএব উক্ত ঘটনার পর গতিশক্তির পরিবর্তন ΔEₖ = 200 − 200 = 0 J; গতিশক্তি অপরিবর্তিত থাকবে।
চিত্র থেকে,
m = 5 kg, C বিন্দুর উচ্চতা h = 21 m
C বিন্দুতে বিভবশক্তি,
Eₚ = mgh
= 5 × 9.8 × 21
= 1029 J
অতএব C বিন্দুতে বস্তুটির বিভবশক্তি 1029 J।
চিত্রে পরপর স্তরের ব্যবধান 21 m; তাই D-কে শূন্য স্তর ধরলে A-এর উচ্চতা 63 m এবং B-এর উচ্চতা 42 m। বস্তুটি A থেকে স্থির অবস্থা থেকে পড়ছে এবং বায়ুর বাধা উপেক্ষা করা হলো।
A বিন্দুতে,
E_A = Eₚ + Eₖ
= 5 × 9.8 × 63 + 0
= 3087 J
A থেকে B পর্যন্ত পতনের দূরত্ব 21 m। তাই B-তে অর্জিত গতিশক্তি,
Eₖ(B) = mg(63 − 42)
= 5 × 9.8 × 21
= 1029 J
B-তে বিভবশক্তি,
Eₚ(B) = 5 × 9.8 × 42
= 2058 J
মোট শক্তি,
E_B = 2058 + 1029
= 3087 J
অতএব E_A = E_B = 3087 J; যান্ত্রিক শক্তির সংরক্ষণ নীতি অনুযায়ী A ও B বিন্দুতে মোট শক্তি সমান।
সর্বোচ্চ উচ্চতায় বলের বেগ v = 0।
দেওয়া আছে,
u = 39.2 m s⁻¹, g = 9.8 m s⁻²
v = u − gt
0 = 39.2 − 9.8t
t = 39.2/9.8
= 4 s
অতএব বলটি সর্বোচ্চ উচ্চতায় উঠতে 4 s সময় নেবে।
আঘাতের পর প্রাথমিক অবস্থানকে শূন্য উচ্চতা ধরলে মোট যান্ত্রিক শক্তি,
E = ½mu²
= ½ × 0.3 × 39.2²
= 230.496 J
সর্বোচ্চ উচ্চতা,
H = u²/(2g)
= 39.2²/(2 × 9.8)
= 78.4 m
সর্বোচ্চ উচ্চতার এক-তৃতীয়াংশে,
h = H/3 = 78.4/3 m
সেখানে বিভবশক্তি,
Eₚ = mgh
= 0.3 × 9.8 × 78.4/3
= 76.832 J
অর্থাৎ Eₚ = E/3, মোট শক্তি E নয়। অতএব আঘাতের সময় বলটির মোট শক্তি এক-তৃতীয়াংশ সর্বোচ্চ উচ্চতায় বিভবশক্তির সমান হবে না।
দৃশ্যকল্প-১:
দৃশ্যকল্প-২: পরস্পর $60 \mathrm{~m}$ দূরত্বে অবস্থিত দুটি উঁচু দেয়ালের মাঝে দাঁড়িয়ে এক ব্যক্তি জোরে শব্দ সৃষ্টি করলো। ১ম দেয়াল থেকে ঐ ব্যক্তির দূরত্ব $20 \mathrm{~m}$ এবং ঐ সময় বায়ুর তাপমাত্রা $28^\circ C$ ছিলো।
চিত্রে A থেকে B পর্যন্ত 20 m দূরত্বে 2টি পূর্ণ তরঙ্গ আছে।
2λ = 20 m
λ = 10 m
তরঙ্গের বেগ v = 15 m s⁻¹।
v = fλ
f = v/λ
= 15/10
= 1.5 Hz
অতএব দৃশ্যকল্প-১-এর তরঙ্গের কম্পাঙ্ক 1.5 Hz।
28°C তাপমাত্রায় বায়ুতে শব্দের বেগ,
v = 331 + 0.6T
= 331 + 0.6 × 28
= 347.8 m s⁻¹
প্রথম দেয়াল 20 m দূরে। সেখান থেকে প্রতিধ্বনি ফেরার সময়,
t₁ = 2 × 20/347.8
≈ 0.115 s
দ্বিতীয় দেয়াল থেকে দূরত্ব = 60 − 20 = 40 m। সেখান থেকে প্রতিধ্বনি ফেরার সময়,
t₂ = 2 × 40/347.8
≈ 0.230 s
উভয় সময়ই 0.1 s-এর বেশি এবং দুই প্রতিধ্বনির সময়ের ব্যবধান,
Δt = 0.230 − 0.115
= 0.115 s > 0.1 s
অতএব ব্যক্তি দুই দেয়াল থেকে ফিরে আসা দুটি পৃথক প্রতিধ্বনি শুনতে পারবে; অর্থাৎ একাধিক প্রতিধ্বনি শোনা সম্ভব।
অবতল দর্পণের ফোকাস দূরত্ব f = 12 cm। বস্তুটি P ও F-এর মধ্যবিন্দুতে, তাই u = 6 cm।
দর্পণের সমীকরণ,
1/f = 1/u + 1/v
1/12 = 1/6 + 1/v
1/v = 1/12 − 1/6
= −1/12
v = −12 cm
ঋণাত্মক চিহ্ন প্রতিবিম্বটি দর্পণের পেছনে অবাস্তব হওয়া বোঝায়। অতএব প্রতিবিম্বটি দর্পণের পেছনে 12 cm দূরে গঠিত হবে।
বস্তুটি অবতল দর্পণের মেরু P ও ফোকাস F-এর মধ্যে আছে। বস্তু থেকে প্রধান অক্ষের সমান্তরাল একটি রশ্মি প্রতিফলনের পর F দিয়ে যায়। আরেকটি রশ্মি মেরুতে আপতিত হয়ে সমান কোণে প্রতিফলিত হয়। প্রতিফলিত রশ্মিগুলোর পশ্চাৎমুখী বর্ধিতাংশ দর্পণের পেছনে মিলিত হয়ে সোজা ও অবাস্তব প্রতিবিম্ব তৈরি করে।
রৈখিক বিবর্ধন,
m = |v/u|
= 12/6
= 2
অতএব প্রতিবিম্বটি লক্ষ্যবস্তুর দ্বিগুণ এবং তাই বিবর্ধিত।
A ও B-এর দূরত্ব,
r = AC + CB
= 30 cm + 10 cm
= 40 cm = 0.40 m
কুলম্বের সূত্র অনুযায়ী,
F = kq_Aq_B/r²
= (9 × 10⁹ × 50 × 30)/(0.40)²
= 8.4375 × 10¹³ N
উভয় আধান ধনাত্মক হওয়ায় বলটি বিকর্ষণমূলক। অতএব A ও B-এর মধ্যে ক্রিয়াশীল বল 8.4375 × 10¹³ N।
C-এর ওপর A-এর বিকর্ষণ বল,
F_AC = kq_Aq_C/(AC)²
= (9 × 10⁹ × 50 × 1)/(0.30)²
= 5.0 × 10¹² N
এই বল A থেকে B-এর দিকে।
C-এর ওপর B-এর বিকর্ষণ বল,
F_BC = kq_Bq_C/(BC)²
= (9 × 10⁹ × 30 × 1)/(0.10)²
= 2.7 × 10¹³ N
এই বল B থেকে A-এর দিকে।
লব্ধ বল,
F_net = 2.7 × 10¹³ − 5.0 × 10¹²
= 2.2 × 10¹³ N
লব্ধ বল B থেকে A-এর দিকে। অতএব C বস্তুটি A-এর দিকে ধাবিত হবে।
ব্যাট বলের ওপর অল্প সময়ের জন্য বড় বল প্রয়োগ করে। বলের ঘাত,
J = FΔt = Δp
অর্থাৎ ঘাতের কারণে বলের ভরবেগের বড় পরিবর্তন হয়। আঘাতের পর বলটি যথেষ্ট বেগ ও উপযুক্ত ঊর্ধ্বমুখী কোণে গেলে তার অনুভূমিক পাল্লা সীমানা অতিক্রম করে; তখন আঘাতটি ছক্কায় পরিণত হয়।
দেওয়া আছে,
m = 700 g = 0.7 kg
দেয়ালের দিকে ধনাত্মক দিক ধরলে u = +5 m s⁻¹ এবং ফিরে আসার সময় v = −5 m s⁻¹।
ভরবেগের পরিবর্তন,
Δp = mv − mu
= 0.7 × (−5) − 0.7 × 5
= −7 kg m s⁻¹
ঋণাত্মক চিহ্ন দিক পরিবর্তন বোঝায়। অতএব ভরবেগের পরিবর্তনের মান 7 kg m s⁻¹ এবং এর দিক প্রাথমিক গতির বিপরীত।
সমীকরণটির বাম পাশের মাত্রা,
[v] = LT⁻¹
ডান পাশে,
[u] = LT⁻¹
এবং
[at] = [a][t]
= LT⁻² × T
= LT⁻¹
অতএব [u] = [at] = [v] = LT⁻¹। সমজাতীয় রাশি যোগ হওয়ায় v = u + at সমীকরণটি মাত্রাগতভাবে সঠিক। তবে মাত্রা বিশ্লেষণ কোনো সমীকরণের সাংখ্যিক ধ্রুবক যাচাই করতে পারে না।
ক্ষমতা হলো একক সময়ে সম্পন্ন কাজের পরিমাণ।
P = W/t
ইঞ্জিনটির ক্ষমতা 60 W অর্থ, ইঞ্জিনটি প্রতি 1 s-এ 60 J কাজ করতে পারে বা 60 J শক্তি রূপান্তর করে।