উত্তর যে ভৌত রাশি এক বা একাধিক মৌলিক রাশির সাহায্যে প্রকাশ করা যায়, তাকে লব্ধ রাশি বলে। যেমন ক্ষেত্রফল, আয়তন, বেগ ও বল।

উত্তর কেবল কোনো রাশির সংখ্যামান বললে তার পরিমাণ সুনির্দিষ্ট হয় না। একই রাশির পরিমাণ বিভিন্ন এককে ভিন্ন সংখ্যায় প্রকাশিত হতে পারে। একটি স্বীকৃত আদর্শ মানের সঙ্গে তুলনা করে সংখ্যামানসহ একক লিখলেই পরিমাপটি অর্থপূর্ণ, তুলনাযোগ্য ও সর্বজনবোধ্য হয়। তাই পরিমাপ প্রকাশে একক প্রয়োজন।

উত্তর

দৈর্ঘ্যের পাঠ,

X = প্রধান স্কেল পাঠ + (ভার্নিয়ার সমপাতন × ভার্নিয়ার ধ্রুবক)

= 20 + 6 × 0.05

= 20.30 mm

প্রস্থের পাঠ,

Y = 10 + 8 × 0.05

= 10.40 mm

আয়তাকার বস্তুটির ক্ষেত্রফল,

A = XY

= 20.30 × 10.40

= 211.12 mm²

অতএব বস্তুটির ক্ষেত্রফল 211.12 mm²।

উত্তর

শুধু প্রধান স্কেল দ্বারা পরিমাপকৃত দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 20 mm ও 10 mm। তাই পরিমাপকৃত ক্ষেত্রফল,

A = 20 × 10

= 200 mm²

প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম ভাগ 1 mm হলে প্রতিটি পাঠের চূড়ান্ত ত্রুটি ±0.5 mm।

সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল,

A_max = (20 + 0.5)(10 + 0.5)

= 20.5 × 10.5

= 215.25 mm²

সর্বনিম্ন ক্ষেত্রফল,

A_min = (20 − 0.5)(10 − 0.5)

= 19.5 × 9.5

= 185.25 mm²

ঊর্ধ্ব ত্রুটি = 215.25 − 200 = 15.25 mm²

নিম্ন ত্রুটি = 200 − 185.25 = 14.75 mm²

বৃহত্তর মান অনুযায়ী চূড়ান্ত ত্রুটি 15.25 mm²।

আপেক্ষিক ত্রুটি,

= 15.25/200

= 0.07625

শতকরা আপেক্ষিক ত্রুটি = 7.625%

অতএব প্রধান স্কেলে ক্ষেত্রফল 200 mm² এবং এর সর্বোচ্চ আপেক্ষিক ত্রুটি 0.07625 বা 7.625%।

উত্তর যে পর্যাবৃত্ত গতিতে কোনো বস্তু একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা বরাবর সাম্যাবস্থার দুই পাশে বারবার আসা-যাওয়া করে, তাকে সরল স্পন্দন গতি বলে।

উত্তর দূরত্ব হলো বস্তুর অতিক্রান্ত মোট পথের দৈর্ঘ্য; চলমান বস্তু সময়ের সঙ্গে কিছু পথ অতিক্রম করে বলে তার দূরত্ব শূন্য হয় না। কিন্তু সরণ হলো আদি অবস্থান থেকে শেষ অবস্থানের দিকযুক্ত সরলরৈখিক দূরত্ব। বস্তুটি ঘুরে আদি অবস্থানে ফিরে এলে শেষ ও আদি অবস্থান একই হয়, তাই সরণ শূন্য হলেও অতিক্রান্ত দূরত্ব শূন্য হয় না।

উত্তর

গাড়িটি স্থির অবস্থা থেকে চলছে, তাই

u = 0, a = 2 m s⁻², t = 6 s

6 s পরে বেগ,

v = u + at

= 0 + 2 × 6

= 12 m s⁻¹

অতএব প্রথম 6 s শেষে গাড়িটির বেগ 12 m s⁻¹।

উত্তর

প্রথম 100 m-এর জন্য,

v² = u² + 2as

= 0 + 2 × 2 × 100

v = 20 m s⁻¹

প্রথম পর্যায়ের সময়,

t₁ = (v − u)/a

= 20/2

= 10 s

পরের 100 m সমবেগে অতিক্রমের সময়,

t₂ = s/v

= 100/20

= 5 s

শেষ 200 m-এ,

0² = 20² + 2a × 200

a = −1 m s⁻²

থামতে সময়,

t₃ = (0 − 20)/(−1)

= 20 s

তাই লেখচিত্রের প্রধান বিন্দু হলো (0, 0), (10, 20), (15, 20) ও (35, 0)। 0–10 s অংশে গাড়ি 2 m s⁻² সমত্বরণে চলে, 10–15 s অংশে 20 m s⁻¹ সমবেগে চলে এবং 15–35 s অংশে 1 m s⁻² সমমন্দনে থেমে যায়।

উত্তর বস্তু যে ধর্মের কারণে তার স্থিরাবস্থা বা সমবেগে সরলরেখায় গতির অবস্থা বজায় রাখতে চায়, তাকে জড়তা বলে।

উত্তর জুতার তলার খাঁজ মাটি ও জুতার মধ্যে কার্যকর ঘর্ষণ বাড়ায়। ফলে দৌড়ানো, বাঁক নেওয়া বা হঠাৎ থামার সময় পা পিছলে যায় না এবং প্রয়োজনীয় প্রতিক্রিয়া বল পাওয়া যায়। তাই খেলোয়াড়দের নিরাপত্তা ও গতিনিয়ন্ত্রণের জন্য জুতার তলায় খাঁজ প্রয়োজন।

উত্তর

কারের ভর m = 500 kg, আদিবেগ u = 17 m s⁻¹, শেষ বেগ v = 0 এবং সময় t = 7 s।

ত্বরণ,

a = (v − u)/t

= (0 − 17)/7

= −17/7 m s⁻²

প্রযুক্ত বল,

F = ma

= 500 × (−17/7)

= −1214.29 N

ঋণাত্মক চিহ্ন বলটি গতির বিপরীতমুখী বোঝায়। অতএব কারটিকে 7 s-এ থামাতে প্রয়োজনীয় বলের মান প্রায় 1.21 × 10³ N।

উত্তর

ট্রাকের শুরুর স্থান থেকে সংঘর্ষস্থানের দূরত্ব x এবং সংঘর্ষকাল t ধরা যাক।

ট্রাকের জন্য,

x = ut + ½at²

= 0 + ½ × 2 × t²

= t²

কারটি বিপরীত দিক থেকে 17 m s⁻¹ সমবেগে আসে, তাই

x = 200 − 17t

অতএব,

t² = 200 − 17t

t² + 17t − 200 = 0

(t + 25)(t − 8) = 0

ধনাত্মক সময় t = 8 s।

সংঘর্ষের মুহূর্তে ট্রাকের বেগ,

v_T = 0 + 2 × 8

= 16 m s⁻¹

ট্রাকের ভরবেগের মান,

p_T = 2000 × 16

= 32000 kg m s⁻¹

কারের ভরবেগের মান,

p_C = 500 × 17

= 8500 kg m s⁻¹

দুটি ভরবেগ বিপরীতমুখী হলেও মানের তুলনায় 32000 > 8500। অতএব সংঘর্ষের মুহূর্তে ট্রাকটির ভরবেগ বেশি ছিল।

উত্তর

যন্ত্র থেকে প্রাপ্ত উপযোগী কাজ বা শক্তি এবং যন্ত্রে সরবরাহকৃত মোট কাজ বা শক্তির অনুপাতকে কর্মদক্ষতা বলে।

η = উপযোগী আউটপুট শক্তি/ইনপুট শক্তি × 100%

উত্তর ক্ষমতা হলো কাজ করার হার। কোনো যন্ত্রের ক্ষমতা 100 W অর্থ, যন্ত্রটি প্রতি 1 s-এ 100 J কাজ করে বা 100 J শক্তি রূপান্তর করে।

উত্তর

চিত্র থেকে A বিন্দুর উচ্চতা h = 30 m। বস্তুটি স্থির অবস্থা থেকে পড়ছে ধরে,

u = 0, g = 9.8 m s⁻²

h = ut + ½gt²

30 = 0 + ½ × 9.8 × t²

t² = 60/9.8

t = √(60/9.8)

≈ 2.47 s

অতএব P বস্তুটি A থেকে ভূ-পৃষ্ঠে পড়তে প্রায় 2.47 s সময় নেবে।

উত্তর

AB = BC = CD এবং AD = 30 m বলে প্রতিটি অংশ 10 m। D-কে শূন্য বিভব স্তর ও বায়ুর বাধা উপেক্ষা করলে মোট যান্ত্রিক শক্তি 30mg = 294m J।

বিন্দু	উচ্চতা h (m)	বিভবশক্তি mgh (J)	গতিশক্তি mg(30 − h) (J)
A	30	294m	0
B	20	196m	98m
C	10	98m	196m
D	0	0	294m

অতএব উচ্চতার সঙ্গে বিভবশক্তি সরলরৈখিকভাবে বাড়ে এবং গতিশক্তি একই হারে কমে; প্রতিটি উচ্চতায় তাদের যোগফল 294m J ধ্রুব থাকে। এখানে m হলো বস্তুটির kg-এ ভর।

উত্তর যে পর্যাবৃত্ত আলোড়ন কোনো মাধ্যম বা শূন্যস্থানের মধ্য দিয়ে শক্তি বহন করে এক স্থান থেকে অন্য স্থানে সঞ্চারিত হয়, তাকে তরঙ্গ বলে।

উত্তর কোনো শব্দের শ্রবণানুভূতি মানুষের মস্তিষ্কে প্রায় 0.1 s স্থায়ী থাকে। মূল শব্দ ও প্রতিফলিত শব্দের মধ্যে অন্তত 0.1 s ব্যবধান না হলে তারা আলাদা শোনা যায় না। তাই শব্দ প্রতিফলক পর্যন্ত গিয়ে ফিরে আসার জন্য পর্যাপ্ত পথ ও সময় দরকার; এ কারণেই স্পষ্ট প্রতিধ্বনি শোনার জন্য উৎস বা শ্রোতা থেকে প্রতিফলকের একটি ন্যূনতম দূরত্ব প্রয়োজন।

উত্তর

বায়ুতে শব্দের বেগ পরম তাপমাত্রার বর্গমূলের সমানুপাতিক।

v_t/v₀ = √[(273 + t)/273]

341.87/330 = √[(273 + t)/273]

উভয় পক্ষ বর্গ করে,

(341.87/330)² = (273 + t)/273

t = 273[(341.87/330)² − 1]

≈ 20°C

অতএব ঐ স্থানে বায়ুর তাপমাত্রা প্রায় 20°C।

উত্তর

চিত্রে PQ = 10 m এবং QR = 15 m।

Q থেকে P-তে সরাসরি শব্দের পথ = 10 m

প্রতিফলিত শব্দের পথ,

QR + RP = 15 + (15 + 10)

= 40 m

পথের পার্থক্য,

Δs = 40 − 10

= 30 m

শব্দের বেগ v = 341.87 m s⁻¹। তাই মূল ও প্রতিফলিত শব্দ পৌঁছানোর সময়ের ব্যবধান,

Δt = Δs/v

= 30/341.87

≈ 0.0878 s

যেহেতু 0.0878 s < 0.1 s, প্রতিফলিত শব্দটি মূল শব্দের শ্রবণানুভূতি শেষ হওয়ার আগেই পৌঁছাবে। অতএব P অবস্থানের শ্রোতা Q-এর শব্দের পৃথক প্রতিধ্বনি শুনতে পারবে না।

উত্তর যে মসৃণ ও পালিশ করা পৃষ্ঠে আলোর নিয়মিত প্রতিফলনের মাধ্যমে স্পষ্ট প্রতিবিম্ব গঠিত হয়, তাকে দর্পণ বলে।

উত্তর উত্তল দর্পণে যেকোনো সসীম দূরত্বের বাস্তব বস্তুর প্রতিবিম্ব দর্পণের পেছনে P ও F-এর মধ্যে গঠিত হয়। প্রতিবিম্বটি সর্বদা সোজা, অবাস্তব ও বস্তুর চেয়ে খর্বিত; তাই |v| < u এবং রৈখিক বিবর্ধন m = |v/u| < 1। কেবল বস্তু অসীমে গেলে বিবর্ধন শূন্যের দিকে যায়, কিন্তু সসীম বাস্তব বস্তুর জন্য m = 1 হয় না।

উত্তর

40 cm দূরের বস্তু 40 cm দূরে বাস্তব প্রতিবিম্ব গঠন করে বলে দর্পণটি অবতল।

দর্পণের সমীকরণ,

1/f = 1/u + 1/v

= 1/40 + 1/40

= 1/20

f = 20 cm

এখন বস্তু দূরত্ব u = 20 cm = f।

1/v = 1/f − 1/u

= 1/20 − 1/20

= 0

তাই v = ∞। অতএব 20 cm দূরে বস্তু রাখলে প্রতিফলিত রশ্মি সমান্তরাল হয় এবং প্রতিবিম্ব অসীম দূরে গঠিত হয়।

উত্তর

দর্পণটির ফোকাস দূরত্ব f = 20 cm এবং বস্তু দূরত্ব u = 10 cm; অর্থাৎ বস্তুটি P ও F-এর মধ্যে।

1/f = 1/u + 1/v

1/20 = 1/10 + 1/v

1/v = −1/20

v = −20 cm

ঋণাত্মক চিহ্ন প্রতিবিম্বটি দর্পণের পেছনে অবাস্তব হওয়া বোঝায়।

রৈখিক বিবর্ধন,

m = |v/u|

= 20/10

= 2

রশ্মিচিত্রে প্রতিফলিত রশ্মিগুলোর পশ্চাৎমুখী বর্ধিতাংশ দর্পণের পেছনে মিলিত হয়েছে। অতএব প্রতিবিম্বটি দর্পণের পেছনে 20 cm দূরে গঠিত, সোজা, অবাস্তব ও দ্বিগুণ বিবর্ধিত।

উত্তর কোনো অনাহিত পরিবাহীর কাছে একটি আহিত বস্তু আনলে স্পর্শ ছাড়াই পরিবাহীর নিকট ও দূর প্রান্তে বিপরীত প্রকৃতির আধান পৃথক হওয়ার ঘটনাকে তড়িৎ আবেশ বলে।

উত্তর কোনো বিন্দুর বিভব 25 V অর্থ, অসীম দূর থেকে 1 C ধনাত্মক পরীক্ষণ আধানকে ঐ বিন্দুতে আনতে 25 J কাজ করতে হয়। অর্থাৎ V = W/q = 25 J C⁻¹।

উত্তর

দেওয়া আছে,

q₁ = 100 C, q₂ = 400 C

r = 30 cm = 0.30 m

k = 9 × 10⁹ N m² C⁻²

কুলম্বের সূত্র অনুযায়ী,

F = kq₁q₂/r²

= (9 × 10⁹ × 100 × 400)/(0.30)²

= 4.0 × 10¹⁵ N

উভয় আধান ধনাত্মক হওয়ায় বলটি বিকর্ষণমূলক। অতএব A ও B-এর মধ্যবর্তী বলের মান 4.0 × 10¹⁵ N।

উত্তর

আধান দুটি সমজাতীয়, তাই শূন্য তড়িৎ প্রাবল্য বিন্দু তাদের মাঝখানে হবে। A থেকে বিন্দুটির দূরত্ব x m হলে B থেকে দূরত্ব (0.30 − x) m।

A ও B-এর তড়িৎ প্রাবল্যের মান সমান হলে,

k × 100/x² = k × 400/(0.30 − x)²

10/x = 20/(0.30 − x)

10(0.30 − x) = 20x

3 − 10x = 20x

x = 0.10 m

অতএব A ও B-এর সংযোগরেখায় তাদের মাঝখানে A থেকে 0.10 m বা 10 cm দূরে—অর্থাৎ B থেকে 20 cm দূরে—তড়িৎ প্রাবল্য শূন্য হবে।