উত্তর কোনো পরিমাপক যন্ত্র দিয়ে নির্ভরযোগ্যভাবে মাপা সম্ভব এমন ক্ষুদ্রতম মানকে যন্ত্রটির ন্যূনাঙ্ক বা লঘিষ্ঠ গণন বলে।

উত্তর

ক্ষমতা হলো কাজ করার হার,

P = W/t = Fs/t

বল F = ma বসালে,

P = mas/t

অতএব ক্ষমতার মাত্রা,

[P] = MLT⁻² × L × T⁻¹

= ML²T⁻³

ক্ষমতা ভর, দৈর্ঘ্য ও সময়—এই মৌলিক রাশিগুলোর সাহায্যে প্রকাশিত হয়। তাই ক্ষমতা একটি লব্ধ রাশি।

উত্তর

40 VSD = 39 MSD

1 MSD = 1 mm হলে,

1 VSD = 39/40 mm

ভার্নিয়ার ধ্রুবক,

VC = 1 MSD − 1 VSD

= 1 − 39/40

= 1/40 mm

= 0.025 mm

অতএব, স্কেলটির ভার্নিয়ার ধ্রুবক 0.025 mm বা 0.0025 cm।

উত্তর

পরিমাপকৃত আয়তন,

V = 8 × 6 × 4

= 192 cm³

প্রতিটি দৈর্ঘ্য পরিমাপে আপেক্ষিক ত্রুটি 5% হলে সর্বোচ্চ মাত্রাগুলো,

lₘₐₓ = 8 × 1.05 = 8.4 cm

bₘₐₓ = 6 × 1.05 = 6.3 cm

hₘₐₓ = 4 × 1.05 = 4.2 cm

সর্বোচ্চ আয়তন,

Vₘₐₓ = 8.4 × 6.3 × 4.2

= 222.264 cm³

ঊর্ধ্ব ত্রুটি = 222.264 − 192 = 30.264 cm³

একইভাবে সর্বনিম্ন মাত্রা 7.6 cm, 5.7 cm ও 3.8 cm হলে,

Vₘᵢₙ = 7.6 × 5.7 × 3.8

= 164.616 cm³

নিম্ন ত্রুটি = 192 − 164.616 = 27.384 cm³

বৃহত্তর ত্রুটি 30.264 cm³ ধরলে আয়তনের সর্বোচ্চ আপেক্ষিক শতকরা ত্রুটি,

= (30.264/192) × 100%

= 15.7625%

অতএব, আয়তনটি 192 cm³ হলেও এতে সর্বোচ্চ প্রায় 15.76% ত্রুটি থাকতে পারে; তাই পরিমাপকৃত আয়তন যথাযথ বা ত্রুটিমুক্ত নয়।

উত্তর কোনো অজানা বিন্দুর অবস্থান সুনির্দিষ্টভাবে প্রকাশের জন্য যে জানা ও স্থির বিন্দুকে ভিত্তি হিসেবে ধরা হয়, তাকে প্রসঙ্গ বিন্দু বলে।

উত্তর গড় বেগ = মোট সরণ/মোট সময় এবং গড় দ্রুতি = মোট দূরত্ব/মোট সময়। কোনো বস্তু চলার পর আবার আদি অবস্থানে ফিরে এলে তার মোট সরণ শূন্য, তাই গড় বেগ শূন্য। কিন্তু সে একটি সসীম দূরত্ব অতিক্রম করেছে বলে মোট দূরত্ব শূন্য নয় এবং গড় দ্রুতিও শূন্য নয়। তাই গড় বেগ শূন্য হলেও গড় দ্রুতি শূন্য নাও হতে পারে।

উত্তর

নিশাত স্থির অবস্থা থেকে যাত্রা শুরু করেছে ধরে,

u = 0, a = 2 m s⁻² এবং n = 9

n-তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব,

sₙ = u + ½a(2n − 1)

= 0 + ½ × 2 × (2 × 9 − 1)

= 17 m

অতএব, নিশাত 9ম সেকেন্ডে 17 m অতিক্রম করে।

উত্তর

শুভর শুরুর স্থান থেকে বিদ্যালয়ের দূরত্ব x এবং উভয় ভাই একই সময়ে t সেকেন্ডে বিদ্যালয়ে পৌঁছায় ধরে নিই।

শুভর জন্য,

x = 10t

নিশাত 20 m পেছন থেকে স্থির অবস্থা ও 2 m s⁻² ত্বরণে চললে তার অতিক্রান্ত দূরত্ব x + 20। তাই,

x + 20 = ½ × 2 × t²

10t + 20 = t²

t² − 10t − 20 = 0

t = [10 ± √(100 + 80)]/2

= [10 ± √180]/2

ধনাত্মক মান গ্রহণ করে,

t = 11.708 s

এ ক্ষেত্রে x = 10t = 117.08 m। অর্থাৎ স্কুলটি শুভর শুরুর স্থান থেকে 117.08 m দূরে হলে তারা 11.708 s পরে একই সময়ে পৌঁছাবে; এটি তাদের ধরা-পড়ার সময়ও।

তবে প্রশ্নে বিদ্যালয়ের দূরত্ব বা একই সময়ে পৌঁছানোর শর্ত স্পষ্টভাবে দেওয়া নেই। সাধারণভাবে স্কুলের দূরত্ব x হলে t_শুভ = x/10 এবং t_নিশাত = √(x + 20); তাই x না জানলে পৃথক পৌঁছানোর সময় এককভাবে নির্ণয় করা যায় না।

উত্তর অন্তরক দ্বারা পৃথক কাছাকাছি স্থাপিত দুইটি পরিবাহীতে বিপরীতধর্মী আধান সঞ্চয় করার ব্যবস্থাকে ধারক বলে। এর ধারকত্ব C = Q/V।

উত্তর ব্যবহারের সময় মনিটরের পর্দায় স্থির তড়িৎ আধান জমে। কাছের নিরপেক্ষ ধুলিকণায় তড়িৎ আবেশ ঘটিয়ে পর্দাটি তাদের নিকটবর্তী পাশে বিপরীত আধান সৃষ্টি করে। ফলে আকর্ষণ বলের কারণে ধুলো-বালি দ্রুত পর্দায় জমে যায়।

উত্তর

পৃথিবীর কেন্দ্র থেকে স্যাটেলাইটের দূরত্ব,

r = R + h

= 6.37 × 10⁶ + 300 × 10³

= 6.67 × 10⁶ m

স্যাটেলাইটের উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ,

gₕ = GM/r²

= (6.67 × 10⁻¹¹ × 5.97 × 10²⁴)/(6.67 × 10⁶)²

= 8.95 m s⁻² (প্রায়)

অতএব, স্যাটেলাইটটির অবস্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণ প্রায় 8.95 m s⁻²।

উত্তর

স্যাটেলাইট ও পৃথিবীতে একই চিহ্নের সমান আধান q রাখা হলে তাদের মধ্যে কুলম্ব বিকর্ষণ বল সৃষ্টি হবে। স্যাটেলাইটকে বৃত্তাকার কক্ষপথে ধরে রাখা মহাকর্ষ বল অন্তত বাতিল হওয়ার সীমায়,

Fₑ = F_g

kq²/r² = GMm/r²

q = √(GMm/k)

= √[(6.67 × 10⁻¹¹ × 5.97 × 10²⁴ × 150)/(9 × 10⁹)]

= 2576.17 C (প্রায়)

অতএব, পৃথিবী ও স্যাটেলাইটে একই চিহ্নের কমপক্ষে প্রায় 2.58 × 10³ C করে আধান রাখলে কুলম্ব বিকর্ষণ মহাকর্ষীয় আকর্ষণকে বাতিল বা অতিক্রম করবে এবং স্যাটেলাইটটি বৃত্তাকার কক্ষপথে আবদ্ধ থাকবে না। বিপরীত চিহ্নের আধান দিলে বিকর্ষণ নয়, অতিরিক্ত আকর্ষণ সৃষ্টি হবে।

উত্তর যে স্পন্দন গতিতে কণার গতিপথ সরলরৈখিক, ত্বরণ সাম্যাবস্থান থেকে সরণের সমানুপাতিক এবং সরণের বিপরীত দিকে তথা সাম্যাবস্থানমুখী, তাকে সরল স্পন্দন গতি বলে।

উত্তর বায়ুতে শব্দের বেগ v = √(γP/ρ) এবং আদর্শ গ্যাসের ক্ষেত্রে v ∝ √T। তাই তাপমাত্রা বাড়লে শব্দের বেগ বাড়ে। আর্দ্র বায়ুর কার্যকর ঘনত্ব শুষ্ক বায়ুর চেয়ে কম হওয়ায় আর্দ্রতা বাড়লেও বেগ বাড়ে। বায়ুর তাপমাত্রা, আর্দ্রতা ও ঘনত্বের পরিবর্তনের কারণেই বিভিন্ন অবস্থায় শব্দের বেগের তারতম্য হয়।

উত্তর

A থেকে সরাসরি শব্দ B-তে পৌঁছাতে সময়, t = 1.30 s

শব্দের বেগ, v = 344 m s⁻¹

A ও B-এর দূরত্ব,

AB = vt

= 344 × 1.30

= 447.2 m

অতএব, A ও B-এর মধ্যবর্তী দূরত্ব 447.2 m।

উত্তর

স্থির B-তে প্রতিফলিত শব্দ পৌঁছানোর মোট পথ,

s = 344 × 1.45 = 498.8 m

B থেকে প্রতিফলকের দূরত্ব x হলে,

AB + 2x = 498.8

447.2 + 2x = 498.8

x = 25.8 m

লোকটি 8 m s⁻¹ বেগে প্রতিফলকের দিকে দৌড়ালে সরাসরি শব্দের ক্ষেত্রে সে A থেকে দূরে সরে যায়। সরাসরি শব্দ শোনার সময় t₁,

344t₁ = 447.2 + 8t₁

t₁ = 447.2/336

= 1.331 s

প্রতিফলিত শব্দের ক্ষেত্রে লোকটি প্রতিফলকের দিকে এগোয়। সময় t₂ হলে,

344t₂ = 447.2 + 25.8 + (25.8 − 8t₂)

352t₂ = 498.8

t₂ = 1.417 s

দুই শব্দ শোনার সময় ব্যবধান,

Δt = t₂ − t₁

= 1.417 − 1.331

= 0.086 s

মানুষের শ্রবণ-স্থিতিকাল প্রায় 0.1 s এবং 0.086 s < 0.1 s। অতএব লোকটি মূল শব্দ থেকে পৃথক প্রতিধ্বনি শুনতে পারবে না।

উত্তর বাহ্যিক লব্ধ বল প্রয়োগ না করলে স্থির বস্তু স্থির থাকবে এবং গতিশীল বস্তু সমবেগে সরলরেখায় চলতে থাকবে—এটাই নিউটনের গতির প্রথম সূত্র।

উত্তর স্থিতিশীল বস্তু তার স্থিতি বজায় রাখতে চায়—এটি স্থিতিজড়তা; গতিশীল বস্তু তার সমবেগের গতি বজায় রাখতে চায়—এটি গতিজড়তা। বাহ্যিক বল স্থির বস্তুর বেগ সৃষ্টি করে স্থিতিজড়তাকে গতিজড়তায় এবং গতিশীল বস্তুর বেগ পরিবর্তন বা শূন্য করে গতিজড়তাকে স্থিতিজড়তায় রূপান্তর করতে পারে। অর্থাৎ বল জড়তার প্রভাব কাটিয়ে গতির অবস্থা পরিবর্তন করে।

উত্তর

নিক্ষেপণ বেগ, u = 28 m s⁻¹

সময়, t = 2 s এবং g = 9.8 m s⁻²

2 s পরে বলের বেগ,

v = u − gt

= 28 − 9.8 × 2

= 8.4 m s⁻¹

টেনিস বলটির ভর m kg হলে গতিশক্তি,

Eₖ = ½mv²

= ½ × m × 8.4²

= 35.28m J

অতএব, 2 s পরে বলটির গতিশক্তি 35.28m J, যেখানে m হলো বলটির kg-এ ভর। উদ্দীপকে ভর দেওয়া নেই বলে নির্দিষ্ট সংখ্যামান নির্ণয় করা সম্ভব নয়।

উত্তর

বলটি সর্বোচ্চ উচ্চতায় v = 0 হবে।

v² = u² − 2gH

0 = 28² − 2 × 9.8 × H

H = 28²/(2 × 9.8)

= 40 m

দালানের ছাদের উচ্চতা 41 m, কিন্তু বলটির সর্বোচ্চ উচ্চতা 40 m। অর্থাৎ বলটি ছাদের 1 m নিচে থেমে নিচে নামতে শুরু করবে। অতএব, শাফির উদ্দেশ্য সফল হবে না।

উত্তর প্রধান অক্ষের নিকটবর্তী সমান্তরাল আলোকরশ্মিগুলো গোলীয় দর্পণে প্রতিফলিত হয়ে প্রধান অক্ষের যে বিন্দুতে মিলিত হয় বা যে বিন্দু থেকে অপসৃত হচ্ছে বলে মনে হয়, তাকে দর্পণের প্রধান ফোকাস বা ফোকাস বিন্দু বলে।

উত্তর টেলিভিশনের রিমোট কন্ট্রোল থেকে অবলোহিত বা infrared রশ্মি নির্গত হয়। এর তরঙ্গদৈর্ঘ্য দৃশ্যমান আলোর প্রায় 380–780 nm সীমার চেয়ে বেশি। মানুষের রেটিনার আলোকসংবেদী কোষ এই তরঙ্গদৈর্ঘ্যে সাড়া দেয় না, তাই রিমোট থেকে নির্গত আলো আমরা দেখতে পাই না।

উত্তর

চিত্রে অবতল দর্পণের বক্রতার ব্যাসার্ধ,

R = CP = 24 cm

ফোকাস দূরত্ব,

f = R/2 = 12 cm

বস্তুর দূরত্ব, u = OP = 20 cm

দর্পণ সূত্রে,

1/f = 1/u + 1/v

1/v = 1/12 − 1/20

= 1/30

v = 30 cm

অতএব, OA-এর বাস্তব প্রতিবিম্ব দর্পণের সামনে 30 cm দূরে গঠিত হয়।

উত্তর

বিবর্ধনের মান |m| = 1.5 এবং অবতল দর্পণের f = 12 cm। বিবর্ধনের চিহ্ন না দিলে বাস্তব ও অবাস্তব—দুইটি গাণিতিক সম্ভাবনা থাকে।

বাস্তব, উল্টো প্রতিবিম্বের জন্য m = −1.5 এবং v = 1.5u।

1/12 = 1/u + 1/(1.5u)

= 5/(3u)

u = 20 cm

v = 1.5 × 20 = 30 cm

অতএব বস্তু F ও C-এর মধ্যে এবং প্রতিবিম্ব C-এর বাইরে; প্রতিবিম্ব বাস্তব, উল্টো ও 1.5 গুণ বিবর্ধিত।

অবাস্তব, সোজা প্রতিবিম্বের জন্য m = +1.5 এবং v = −1.5u।

1/12 = 1/u − 1/(1.5u)

= 1/(3u)

u = 4 cm

v = −1.5 × 4 = −6 cm

অতএব বস্তু P ও F-এর মধ্যে এবং প্রতিবিম্ব দর্পণের পেছনে 6 cm দূরে; এটি অবাস্তব, সোজা ও 1.5 গুণ বিবর্ধিত। প্রশ্নে m = +1.5-কে সইযুক্ত মান ধরা হলে দ্বিতীয় ঘটনাটিই নির্দিষ্ট উত্তর। রশ্মিচিত্রে দুই সম্ভাবনাই দেখানো হয়েছে।

উত্তর যে শক্তির উৎস ব্যবহারের সঙ্গে সঙ্গে প্রাকৃতিক প্রক্রিয়ায় পুনরায় পূরণ হয় এবং সহজে নিঃশেষ হয় না, তাকে নবায়নযোগ্য শক্তি বলে; যেমন সৌরশক্তি, বায়ুশক্তি ও জলবিদ্যুৎ।

উত্তর নিউক্লিয়ার বিভাজনে উৎপন্ন অতিরিক্ত নিউট্রন পরবর্তী বিভাজন ঘটিয়ে শৃঙ্খল বিক্রিয়া চালায়। ক্যাডমিয়াম বা বোরনের মতো নিউট্রন-শোষক পদার্থের control rod রিঅ্যাক্টরের ভেতরে ঢোকালে বেশি নিউট্রন শোষিত হয়ে বিক্রিয়ার হার কমে; রড কিছুটা বের করলে কম নিউট্রন শোষিত হয়ে হার বাড়ে। সম্পূর্ণ ঢুকিয়ে শৃঙ্খল বিক্রিয়া বন্ধও করা যায়। এভাবেই control rod রিঅ্যাক্টরের ক্ষমতা নিয়ন্ত্রণ করে।

উত্তর

স্প্রিং ধ্রুবক, k = 150 N m⁻¹

ভর, m = 1.5 kg এবং g = 9.8 m s⁻²

সাম্যাবস্থায়,

kx = mg

x = mg/k

= (1.5 × 9.8)/150

= 0.098 m

স্প্রিংয়ে সঞ্চিত স্থিতিস্থাপক বিভবশক্তি,

U = ½kx²

= ½ × 150 × 0.098²

= 0.7203 J

অতএব, স্প্রিংয়ে সঞ্চিত শক্তি 0.7203 J।

উত্তর

ভর–স্প্রিং ব্যবস্থার দোলনকাল,

T = 2π√(m/k)

= 2π√(1.5/150)

= 2π√0.01

= 0.2π

= 0.628 s (প্রায়)

0.628 s ≠ 1 s। অতএব, উৎপন্ন সরল স্পন্দনের দোলনকাল 1 s হবে না; প্রায় 0.628 s হবে।